1、2013年高考数学各地名校文科立体几何试题解析汇编各地解析分类汇编:立体几何1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】设 是平面 内两条不同的直线， 是平面 外的一条直线，则“ ， ”是“ ”的( )A.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】若直线 相交，则能推出 ，若直线 不相交，则不能推出 ，所以“ ， ”是“ ”的必要不充分条件，选C.2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为 的正方形，主视图与左视图是边长为 的正三角形，则其全面积是 （ ） A B C D 【答案】B【
2、解析】由题意可知，该几何体为正四棱锥，底面边长为2，侧面斜高为2，所以底面积为 ，侧面积为 ，所以表面积为 ，选B.3 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】四面体 中， 则四面体外接球的表面积为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心 在 上，可以证明 为 中点， ， ,所以 ，球半径 ，所以外接球的表面积为 ，选A.4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】设直线m、n和平面 ,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 【答案】D【解析】因为选项A中，两条直线同时平行与同一个
3、平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D5 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为 长方形；直角三角形；圆；椭圆.其中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】当俯视图为圆时，由三视图可知为圆柱，此时主视图和左视图应该相同，所以俯视图不可能是圆，选C.6 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A16 B4 C8 D2 【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是三棱锥，且三棱锥的高为1
4、，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积 ，选B.7 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】设 是直线，a，是两个不同的平面A. 若 a， ，则a B. 若 a， ，则aC. 若a， a，则 D. 若a, a，则 【答案】B【解析】根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。8 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解
5、析】由三视图可知该组合体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，那么根据体积公式可得组合体的体积为 ，选C.9 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A B C D32【答案】B【解析】根据三视图可知，这是一个四棱台 ， ， ，所以表面积为 ，选B.10 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】如图， 在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E，则点E为A1BC1的 A垂心 B内心 C外心 D重心【答案】D【解析】如图 ， ,所以 ,且 为 的中点
6、，选D.11 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】对于直线m，n和平面 ，有如下四个命题：（1）若 （2）若 （3）若 （4）若 其中真命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】（1）错误。（2）当 时，则不成立。（3）不正确。当 有 ，又 所以有 ，所以只有（4）正确。选A.12 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为 A1 B C D 【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图 ，其中正视图为 ，是边长为2的正三角形， ，且 ，底面 为等腰直角三角
7、形， ，所以体积为 ，故选B 13 【天津市新华中学2012届高 三上学期第二次月考文】如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A. 24 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为 ，所以三角形的底面积为 ，所以三棱柱的体积为 ，所以该几何体的体积为 ， 选B.14 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是 【答案】D【解析】因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图
8、和和侧视图不同。15 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】设 为两个平面， 为两条直线，且 ，有如下两个命题： 若 ；若 . 那么（ ） A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C、都是真命题 D、都是假命题 【答案】D【解析】若 ，则 或 异面，所以错误。同理也错误，所以选D.16 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】正三棱锥 内接于球 ，且底面边长为 ，侧棱长为2，则球 的表面积为 【答案】 【解析】 如图，设三棱锥 的外接球球心为O，半径为r，BC=CD=BD= ，AB=AC=AD=2， ，M为正 的中心，则DM=1，AM= ，OA=OD=r，所以 ，
9、解得 ，所以 17 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱 ，则正三棱锥 外接球的表面积为_.【答案】 【解析】因为侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长 ，设外接球的半径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 .18 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】某四面体的三视图如上图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 【答案】10【解析】由三视图还原几何体如下图，8,6, ，10显然面积的最大值为10该四面体
10、四个面的面积中最大的是 PAC，面积为1 0。 19 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体AEFB的体积V等于 。 【答案】 【解析】连结BD交AC与O ,则OA为四面体AEFB的高且 , ,所以 。20 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm . 【答案】10，400【解析】设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图： 由勾股定理可知，
11、 ，解得r =10.所以表面积为 。21 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是_. 【答案】 【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱柱，所以体积为 。22 【北京四中2013届高三上学期期中测验数学（文）】（本小题满分13分） 如图，正三棱柱 中，D是BC的中点， （）求证： ； （）求证： ； （）求三棱锥 的体积.【答案】 （）证明：ABCA1B1C1是正三棱柱， BB1平面ABC， BD是B1D在平面ABC上的射影 在正ABC中，D是BC的中点， ADBD， 根据三垂线定理得，ADB1D （）解：连接A1B，设A1BAB1 = E，
12、连接DE. AA1=AB 四边形A1ABB1是正方形， E是A1B的中点， 又D是BC的中点， DEA1C. 7分 DE 平面AB1D，A1C 平面AB1D， A1C平面AB1D. 9分 （） 13分23 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。（1） 求证：CE平面PAD； （11）若PA=AB=1，AD=3，CD= ，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】(1)证明:因为PA平面ABCD,CE 平面ABCD,所以PACE,因为ABAD,CEAB,所以CEA
13、D,又PA AD=A,所以CE平面PAD5分(2)解:由(1)可知CEAD,在直角三角形ECD中,DE=CD ,CE=CD .又因为AB=CE=1,ABCE,所以四边形ABCE为矩形,所以 = = ,又PA平面ABCD,PA=1,所以四棱锥P-ABCD的体积等于 .12分24 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】（本小题满分14分）如图，正三棱柱 中， 为 的中点， 为 边上的动点.（）当点 为 的中点时，证明DP/平面 ；（）若 ，求三棱锥 的体积. 【答案】 25 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】（本小题满分12分）如图，在长方体 ，中， ，点 在棱AB上移动
14、.（1）证明： ； （2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离. 【答案】解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 2分 （1） 6分（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ， ，设平面 的法向量为 ，则 也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为 12分26 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】本小题满分12分）如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相垂直 ， ， ， （1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使 / 平面 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由 【答案】解：（1）证明：取 中点 ，连
15、结 ， 因为 ，所以 因为四边形 为直角梯形， ， ，所以四边形 为正方形，所以 所以 平面 所以 4分（2）解法1：因为平面 平面 ，且 所以BC平面 则 即为直线 与平面 所成的角设BC=a，则AB=2a， ，所以 则直角三角形CBE中， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 8分解法2：因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，所以 由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 因为三角形 为等腰直角三角形，所以 ，设 ，则 所以 ，平面 的一个法向量为 设直线 与平面 所成的角为 ，所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 8分 （3）解：存在点 ，且 时，有 / 平面 证明如下：由 ， ，所
16、以 设平面 的法向量为 ，则有 所以 取 ，得 因为 ，且 平面 ，所以 / 平面 即点 满足 时，有 / 平面 12分27 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测 文】(本小题满分12分)如图，几何体 是四棱锥， 为正三角形， .(1)求证： ；(2)若 ，M为线段 AE的中点，求证： 平面 . 【答案】(I)设 中点为O，连接OC，OE，则由 知， ，2分又已知 ，所以 平面OCE. 分所以 ，即OE是BD的垂直平分线，所以 .分(II)取AB中点N，连接 ，M是AE的中点， ，分 是等边三角形， .由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即 ，所以NDBC，1分所以
17、平面MND平面BEC，故DM平面BEC. 12分28 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】（本题满分12分）如图所示，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAAB12PD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值 【答案】(1)证明：由条件知PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQ22PD，则PQQD.所以PQ平面DCQ.(2)解：设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高， 所
18、以棱锥QABCD的体积V113a3.由(1)知PQ 为棱锥PDCQ的高，而PQ2a，DCQ的面积为22a2，所以棱锥PDCQ的体积V213a3. 故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1:1.29 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，平面 平面ABCD，AB/DC，PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8， .（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积. 【答案】 30 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】（本小题满分12分）如图5，已知三棱锥 中
19、， ， 为 的中点， 为 的中点，且 为正三角形 （1）求证： 平面 ；（2）若 ， ，求点 到平面 的距离【答案】（）证明：如图4，PMB为正三角形，且D为PB的中点，MDPB 又M为AB的中点，D为PB的中点，MD/AP，APPB又已知APPC，AP平面PBC，APBC，又ACBC， ，BC平面APC， （6分）（）解：记点B 到平面MDC的距离为h，则有 .AB=10，MB=PB=5，又BC=3， ， ， 又 ， 在 中， ，又 ， ， ，即点B到平面MDC的距离为 （12分）31 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】（本小题满分12分）如图，在多面体ABCA1B
20、1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C =A1B，B1C1/BC， . （I）求证：面 ；（II）求证：AB1/面A1C1C.【答案】 32 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】如图， 为等边三角形， 为矩形，平面 平面 ， ， 、 、 分别为 、 、 中点， 。 （1）求 与平面 所成角；（2）求证： ；（3）求多面体 的体积。【答案】解：（1）取 中点 ，连 、 平面 平面 ，交线为 正 平面 即为所求。 （2）正 是 中点 平面 平面 ，交线为 平面 平面 平面 （3） 33 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】（本小题满分12分） 如图所示，在棱长为2的正方体 中， 、 分别为 、 的中点 （）求证： ；（）求三棱锥 的体积【答案】解: （）以D为原点建立如图空间直角坐标系，则 从而 因为 所以
