1、中考数学精学巧练备考秘籍第3章函数第15课时反比例函数图象和性质2019-2020年中考数学精学巧练备考秘籍第3章函数第15课时反比例函数图象和性质【精学】考点一、反比例函数 1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像与性质（1）反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远
2、达不到坐标轴。反比例函数k的符号k0k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。（2）对称性：a.图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上b.图象关于直线y=x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上3、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出
3、k的值，从而确定其解析式。考点二、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PA，PB，则所得的矩形PAOB的面积S=PAPB=。【巧练】题型一、增减性的应用例1（xx黑龙江大庆）已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1x2x3，y2y1y3，则下列关系式不正确的是（）Ax1x20 Bx1x30 Cx2x30 Dx1+x20【分析】根据反比例函数y=和x1x2x3，y2y1y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1x20x3，再选择即可【解答】解：反比例函数y=中，20，在每一象限内，y随x的
4、增大而减小，x1x2x3，y2y1y3，点A，B在第三象限，点C在第一象限，x1x20x3，x1x20，故选A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大题型二、k的几何意义例2（xx河南）如图，过反比例函数y=（x0）的图象上一点A作ABx轴于点B，连接AO，若SAOB=2，则k的值为（）A2 B3 C4 D5【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值【解答】解：点A是反比例函数y=图象上一点，且A
5、Bx轴于点B，SAOB=|k|=2，解得：k=4反比例函数在第一象限有图象，k=4故选C【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键题型三、反比例函数与实际问题例3（xx广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）Av=320t Bv= Cv=20t Dv=【分析】根据路程=速度时间，利用路程相等列
6、出方程即可解决问题【解答】解：由题意vt=804，则v=故选B【点评】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型题型四、反比例函数与一次函数综合例4（xx烟台）反比例函数y=的图象与直线y=x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）At BtCt Dt【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论【解答】解：将y=x+2代入到反比例函数y=中
7、，得：x+2=，整理，得：x22x+16t=0反比例函数y=的图象与直线y=x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，解得：t故选B【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由交点的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键题型五、反比例函数与图形例5（xx济宁）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sinAOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则AOF的面积等于（）A60 B80 C30 D40【分析】过点A作
8、AMx轴于点M，过点F作FNx轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论【解答】解：过点A作AMx轴于点M，过点F作FNx轴于点N，如图所示设OA=a，BF=b，在RtOAM中，AMO=90，OA=a，sinAOB=，AM=OAsinAOB=a，OM=a，点A的坐标为（a， a）点A在反比例函数y=的图象上，aa=48，解得：a=10，或a=10（舍去）AM=8，OM=6四边形OACB是菱形，OA=OB=10，BCOA，
9、FBN=AOB在RtBNF中，BF=b，sinFBN=，BNF=90，FN=BFsinFBN=b，BN=b，点F的坐标为（10+b， b）点B在反比例函数y=的图象上，（10+b）b=48，解得：b=，或b=（舍去）FN=，BN=5，MN=OB+BNOM=1SAOF=SAOM+S梯形AMNFSOFN=S梯形AMNF=（AM+FN）MN=（8+）（1）=（+1）（1）=40故选D【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、解直角三角形、梯形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出S梯形AMNF本题属于中档题，难度不大，但数据较繁琐，解决该题型题目时，通过分割图形求面积法
10、找出所求三角形的面积与梯形面积相等是关键【限时突破】1（xx哈尔滨）点（2，4）在反比例函数y=的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A（2，4） B（1，8） C（2，4） D（4，2）2（xx苏州）已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）Ay1y2 By1y2Cy1=y2 D无法确定3（xx辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=（x0）图象上的一点，分别过点P作PAx轴于点A，PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A3 B3C D4（xx新疆）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函
11、数y=（k0）图象上的两个点，当x1x20时，y1y2，那么一次函数y=kxk的图象不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5（xx湖北宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）ABCD6（xx菏泽）如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为（）A36 B12 C6 D37（xx甘肃省兰州市）双曲线在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是 8.（xx湖北
12、鄂州）如图，已知直线 与x轴、y轴相交于P、Q两点，与y=的图像相交于A（2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB. 给出下列结论： k1k20；m+n=0； SAOP= SBOQ；不等式k1x+b的解集是x2或0x1，其中正确的结论的序号是 .9.（xx四川达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=（x0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为10（xx四川省巴中市）已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（n为常数且n0）的
13、图象在第二象限交于点CCDx轴，垂直为D，若OB=2OA=3OD=6（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；的解集【答案解析】1.【分析】由点（2，4）在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，再去验证四个选项中横纵坐标之积是否为k值，由此即可得出结论【解答】解：点（2，4）在反比例函数y=的图象上，k=2（4）=8A中24=8；B中1（8）=8；C中2（4）=8；D中4（2）=8，点（4，2）在反比例函数y=的图象上故选D【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例系数k本题属于基础题，
14、难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是关键2.【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案【解答】解：点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k0）的图象上，每个象限内，y随x的增大而增大，y1y2，故选：B【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键3.【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|再由函数图象所在的象限确定k的值即可【解答】解：点P是反比例函数y=（x0）图象上的一点，分别过点P作PAx轴于点A，PBy轴于点B若四边形OAPB的面积为3，
15、矩形OAPB的面积S=|k|=3，解得k=3 又反比例函数的图象在第一象限，k=3故选A【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义4.【分析】首先根据x1x20时，y1y2，确定反比例函数y=（k0）中k的符号，然后再确定一次函数y=kxk的图象所在象限【解答】解：当x1x20时，y1y2，k0，k0，一次函数y=kxk的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选：B【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数
16、的关系，解决此题的关键是确定k的符号5.分析：根据储存室的体积=底面积高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论解答：解：由储存室的体积公式知：104=Sd，故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d0）为反比例函数故选：A点评：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大6.【分析】设OAC和BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论【解答】解：设OAC和BAD的直角边长分别为a、b，则点B
17、的坐标为（a+b，ab） 点B在反比例函数y=的第一象限图象上，（a+b）（ab）=a2b2=6SOACSBAD=a2b2=（a2b2）=6=3故选D【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2b2的值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键7.【答案】m1【解析】试题分析：双曲线在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，m10，解得：m1故答案为：m18.【答案】.【解析】试题分析：由直线 的图像在二、四象限，知k10；y=的图像在二、四象限，知k20；因此k1k20，所以错
18、误；A，B两点在y=的图像上，故将A（2，m）、B（1，n）代入，得m=，n= k2；从而得出m+n=0，故正确；令x=0，则y=b，所以Q（0，b），则SBOQ=1b= -b；将A（2，m）、B（1，n）分别代入，解得k1=，所以y=x+b；令y=0，则x=-b，所以P（-b，0），则SAOP=|-2|-b= -b；所以SAOP= SBOQ，故正确；由图像知，在A点左边，不等式k1x+b的图像在的图像的上边，故满足k1x+b；在Q点与A点之间，不等式k1x+b的图像在的图像的上边，故满足k1x+b；因此不等式k1x+b的解集是x2或0x1. 故正确.9.【答案】（2，7）【解析】试题分析：过
19、点D作DF上x轴于点F，则AOBDFA=90，.OABABO=90.四边形ABCD是矩形，.BAD=90，AD=BC，.OABDAF =90,ABO=DAF，AOBDFA，OA：DF=OB：AF=AB：ADAB：BC=3:2，点A(3,0),B(0,6)，AB：AD=3:2，OA=3，OB=6，DF=2，AF=4.OF=OA+AF=7,.点D的坐标为：(7,2)反比例函数解析式为点C坐标为（4,8）设直线Bc的解析式为：ykx+b，联立得方程组解方程组得：x=2，y=7或x-14，y=-1（舍去）,故点E的坐标为：(2,7)10.【答案】（1）y=2x+6，；（2）（5，4）；（3）2x0或x5【解析】试题分析：(1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号试题解析：（1）OB=2OA=3OD=6，所以OB=6，OA=3，OD=2，因为CDOA，DCOB，解得CD=10.点C（-2,10），B（0,6），A（3，0），。故一次函数为y=-2x+6.
