1、八上培优半角模型 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#八上培优半角模型八上培优5 半角模型 方法 ：截长补短图形中，往往出现90套45的情况，或者120套60的情况。还有套的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是：截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等，翻折分割构全等。截长法，补短法。勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。这些题大同小异，只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。下面是新观察第34页14题1.如图，四边形ABCD中，A=C=90，D=60，
2、AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且EBF=60求证：EF=AE+CF2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF3.如图 ，A=B=90, CA=CB=4, ACB=120，ECF=60，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE的面积.4如图1在四边形ABCD中AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且BAD=2EAF（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系3.如图3，在四边形ABDC中，
3、B+C=180，DB=DC，BDC=120，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB=?AC, BAC=90，?MAN=45, 过点C作NC?AC交AN于点N，过点B作BM?垂直AB交AM于点M，当MAN在BAC内部时，求证：BM+CN?=MN; 证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证ABGACN(SAS),AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM=CAN+ BAM=45= LMAN,证AMNAMG(SAS), MN= MG= BM +
4、 BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120套 602. 如图，ABC中,CA=CB,ACB=120,E为AB上一点，DCE=60,DAE= 120，求证:DE=BE证明:(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则CBFCAD，CEDCEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,ABC中,CA=CB,ACB=120，点E为AB上一点，DCE=DAE= 60，求证:AD+DE= BE.证明:(截长法)在
5、BE上截取BF=AD,连接CF，易证CBFCAD，CEDACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页 例4如 图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角，BDC= 120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB、AC于M、N, 连结MN, 试求AMN的周长. 分析:由于MDN=60,BDC=120，所以BDM十CDN=60，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将BDM和CDN移到一起，寻找全等三角形。另一方面,AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.新观察培优6
6、8页 例5 如图， 点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分ACB.(1)求A点坐标;(2)如图1, AQ在CAB内部，P是AQ上一点， 满足ACB=AQB, AP=BQ. 试判断CPQ的形状，并予以证明;(3)如图2. BDBC交y轴负半轴于D. BDO=60, F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足CFD+E=180. 当F在AC上移动时，结论: CE+CF值不变; CE- CF 值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.分析:(1)由A0CBOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2)由ACPBCQ得CP=CQ.(3)由BDBC,BDO=
7、60，可证得等边ABC.由角平分线和DB_BC的条件,运用对称性知DA AC, 连结DA, 加上条件CFD+E=180，可证得ADFBDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三 2套4.(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,B+D=180, E,F分别是BC,CD上的点，且EAF= BAD, 求证:EF= BE+ DF;(2)如图2,在(1)的条件下,若将AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF, 延长FD到点G，使DG=BE,连接AG,证ABEADG (SAS),
8、 .AE = AG,BAE=DAG，EAF=BAD,GAF=DAG+DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, EAF= GAF,证AEFGAF(SAS),.EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地试题：4探究：如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连结EF，求证：EF=BE+DF应用：如图，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，B+D=90，EAF=BAD，若EF=3，BE=2，则DF= 5通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完
9、整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，求证：EF=BE+DF（1）思路梳理AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADG=B=90，FDG=ADG+ADC=180，则点F、D、G共线根据 ，易证AFG AFE，从而得EF=BE+DF；（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，但当B与D满足等量关系 B+D=180时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DA
10、E=45，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程7（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，EAF=BAD现有三种添加辅助线的方式：延长EB至G，使BG=BE，连接AG；延长FD至G，使DG=BE，连接AG；过点A作AGEF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：EF=BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若B+D=180，EAF=BAD，证明（1）中结论是否还成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1
11、）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明8（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立
12、，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子1如图1，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B点坐标；（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=90，连接OD，求AOD的度数；（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰RtEGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立若成立，请说明；若不成立，说明理由解：（1）如图所示，作AEOB于E，A（4，4），OE=4，AOB为等腰直角三角形，且AEOB
13、，OE=EB=4，OB=8，B（8，0）；（2）如图所示，作AEOB于E，DFOB于F， ACD为等腰直角三角形，AC=DC，ACD=90即ACF+DCF=90，FDC+DCF=90，ACF=FDC，又DFC=AEC=90，DFCCEA（AAS），EC=DF=4，FC=AE，A（4，4），AE=OE=4，FC=OE，即OF+EF=CE+EF，OF=CE，OF=DF，DOF=45，AOB为等腰直角三角形，AOB=45，AOD=AOB+DOF=90；（3）AM=FM+OF成立，理由：如图所示，在AM上截取AN=OF，连ENA（4，4），AE=OE=4，又EAN=EOF=90，AN=OF，EANEO
14、F（SAS），OEF=AEN，EF=EN，又EGH为等腰直角三角形，GEH=45，即OEF+OEM=45，AEN+OEM=45又AEO=90，NEM=45=FEM，又EM=EM，NEMFEM（SAS），MN=MF，AM-MF=AM-MN=AN，AM-MF=OF，即AM=FM+OF；【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型2如图，直线L交x轴、y轴分别于A、B两点，A（a，0）B（0，b），且（a-b）2+|b-4|=0（1）求A、B两点坐标；（2）C为线段AB上一点，C点
15、的横坐标是3，P是y轴正半轴上一点，且满足OCP=45，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，过B作BDOC，交OC、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且CEA=BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由（1）解：（a-b）2+|b-4|=0，a-b=0，b-4=0，a=4，b=4，A（4，0），B（0，4）；（2）3如图，已知A（a，b），ABy轴于B，且满足|a-2|+（b-2）2=0，（1）求A点坐标；（2）如图1，分别以AB，AO为边作等边三角形ABC和AOD，试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，过A作AEx轴于E，点F、G分别为线段OE、AE
16、上两个动点，满足FBG=45，试探究的值是否发生变化如果不变，求其值；如果变化，请说明理由2017-2018江汉期中 如图点P为ABC的外角BCD的平分线上一点，PA=PB（1）求证：PAC=PBC；（2）作PEBC于E，若AC=5，BC=11，求SPCE：SPBE；（3）若M、N分别是边AC、BC上的点，且MPN=APB，则线段AM、MN、BN之间有何数量关系，并说明理由解：（1）如图1，过点P作PEBC于E，PFAC于F，PC平分DCB，PE=PF，在RtPAF和RtPEB中，PFPEPAPB，RtPAFRtPEB，PAC=PBC，（2）如图2，过点P作PFAC于F，PEBC，CP是BCD
17、的平分线，PE=PF，PCF=PCE，PC=PC，PCFPCE，CF=CE，由（1）知，RtPAFRtPEB，AF=BE，AF=AC+CF，BE=BC-CE，AC+CF=BC-CE，5+CF=11-CE，CE=CF=3，PFCPEC，SPFC=SPEC，RtPAFRtPEB，SPAF=SPEB，SPCE：SPBE=SPFC：SPFA=CFPF：ACPF=CF：AC=3：（3+5）=3：8；（3）如图3，在BC上截取BQ=AM，在PMA和PQB中， PMAPQB，PM=PQ，MPA=QPB，APM+QPA=APQ+QPB，即：APB=MPQ，MPN=APB，MPN=MPQ，MPN=QPN，在MP
18、N和QPC中，MPNQPC，MN=QN，BN=AM+MN【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理和角平分线的定义，解（1）的关键是判断出PE=PF，解（2）的关键是求出CE=CF=3，解（3）的关键是构造全等三角形判断出APB=MPQ，是一道中等难度的中考常考题2015-2016江岸八上期末 已知在ABC中，AB=AC，射线BM、BN在ABC内部，分别交线段AC于点G、H（1）如图1，若ABC=60、MBN=30，作AEBN于点D，分别交BC、BM于点E、F求证：CE=AG；若BF=2AF，连接CF，求CFE的度数；（2）如图2，点E为BC上一点，AE交BM于
19、点F，连接CF，若BFE=BAC=2CFE，直接写出= 【分析】（1）由AB=AC，ABC=60得到ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到BAC=ACB=60，AB=CA，求得BFD=AFG=60，推出EAC=GBA证得GBAEAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；如图1，取BF的中点K连接AK，由BF=2AF，推出FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到FAK=FKA，求得AKFBFD30，根据全等三角形的性质得到AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，推出GAKEFC，根据全等三角形的性质得到CFE=AKF即可得到结论；（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，推出EAC=
20、FBA，根据全等三角形的性质得到SABK=SACF，AKB=AFC，证得FAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到AF=FK，即可得到结论【解答】解：（1）AB=AC，ABC=60ABC为等边三角形，则BAC=ACB=60，AB=CA，ADBN，MBN=30，BFD=AFG=60，ABF+BAF=60，BAF+EAC=60EAC=GBA在GBA与EAC中，GBAEACABCAGABECA，GBAEAC，CE=AG；如图1，取BF的中点K连接AK，BF=2AF，AF=BK=FK=BF，FAK是等腰三角形，FAK=FKA，BFD=FAK+FKA=2AKF，BFD=60，AKFBFD30，GBAE
21、AC，AG=CE，BG=AE，AGB=AEC，KG=BG-BK=AE-AF=FE，在GAK与EFC中，AGCEAGBAECKGFE，GAKEFC，CFE=AKF，CFE=AKF=30；方法二：只要证明ADBBFC即可解决问题；（2）如图2，在BF上取BK=AF，连接AK，BFE=BAF+ABF，BFE=BAC，BAF+EAC=BAF+ABF，EAC=FBA，在ABK与ACF中，ABACABKFACBKAF，ABKAFC，SABK=SACF，AKB=AFC，BFE=2CFE，BFE=2AKF，BFE=2AKF=AKF+KAF，AKF=KAF，FAK是等腰三角形，AF=FK，BK=AF=FK，SABK=SAFK，SABF=SABK+SAFK=2SABK=2SACF，=2故答案为：2
