1、教学中适当渗透数学思想方法培养学生演绎能力教学中适当渗透数学思想方法，培养学生演绎能力青阳实验小学 邓晓琴随着年级的升高，数学思想方法在教材中的孕伏更为突出，对能力目标的教学提出了明确的要求，如：在探索小数的性质和小数点移动引起的小数大小变化规律的过程中，发展抽象概括能力；在探索周期现象中的规律的过程中，发展分析综合能力和和合情推理能力；在运用面积公式计算图形面积和解决实际问题的过程中，发展演绎推理能力等等。这些要敦促着教师要将对数学思想方法的传承作为教学的重要内容来思考，合理铺垫，有所侧重。在对五年级上学期的教学实践进行反思后，觉得有以下几点需要被突出： 一、突出“转化”思想，引领学生经历数
2、学化的过程。 转化，作为一种重要的数学思想方法，在学生学习和探索数学知识的过程中有着非常广泛的应用。如在学习用“凑十法”进算20以内进位加时，就是将“九加几”的算式转化成“十加几”再进行计算的。这一思想方法贯穿于本单元的教学过程的始终，起着统领全局的作用，对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，有着非常积极的意义。为了使学生主动运用转化的方法探索平面图形的面积计算公式成为可能，教材从认识这些平面图形开始，就有意识地对转化的思想方法进行渗透。如四年级下册教材第27页第5题“把平行四边形纸剪成两个完全一样的锐角三角形”，第49页把“一个平行四边形剪开并拼成一个长方形”和“把两个完全一样的梯形
3、拼成一个平行四边形”的活动。再如本册教材第10页的第二个活动，通过移动图形的一部分，把一个不规则的图形转化成长方形或正方形；第15页例4，让学生用不同的策略求出涂色三角形的面积，并通过比较体会图中三角形和平行四边形面积之间的关系。 在第一课时的教学中，引导学生建立平行四边形与长方形面积计算的联系都是教师重视的环节，也是“转化”思想的重要体现，让我们关注一则案例： 在学生动手实践过后，接下来就要引导学生探究转化成的图形与原来图形之间的联系。例如在例3的表格下面，设计了如下讨论题： （1） 转化成的长方形与平行四边形的面积相等吗？ （2） 长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么关系？ （3） 根
4、据长方形的面积公式，怎样求平行四边形的面积？ 这一过程，目的在于引导学生沟通“转化成的长方形”与“平行四边形”之间的联系，教材中表格的安排，与问题中的比较顺序相对应，有利于学生的观察比较，发现规律，同时也便于学生对结论的表述。 不少教师的设想是让学生先填出平行四边形的底和高，然后将其转化成长方形，再找出长方形的长和宽，算出面积，从而得到平行四边形的面积，这样的安排可谓滴水不漏。但是学生在探究过程中真是这样按部就班地操作吗？第二天在上课时，尽管我费尽口舌地把原先设想的操作程序重复了好几遍，但是大部分学生一拿到平行四边形，首先做的就是折、剪早就把我的千叮咛万嘱咐扔到九霄云外去了。等到转化成了长方形
5、后，他们才拿起笔来填表格中的数据。填好了长方形，怎样填原来的平行四边形呢？这可没有难倒他们，再把长方形还原成平行四边形不就行了吗？在这一“还原”的过程中，学生自然而然地体会到了“等积变形”，不少学生一下子就发现了长和底的相等关系，这恐怕比单纯看数据要直观、有效的多。 看到这则案例的时候特别有共鸣，当我们想方设法自以为需要多么精妙的设计来让学生理解“转化”思想时，其实孩子们自有自己的认知规律。我们要做的只是放手给学生充分的自主空间，方为上策。 二、突出“不完全归纳”思想 增添计算教学的灵动性。 五年级（上册）教材在学生掌握小数乘小数的计算方法和小数乘法分配率后，在第92页联系中安排了三道题，引导
6、学生进一步研究积与因数的大小关系，即“一个数与1相乘，积与原数相等；一个数与比1大的数相乘，积大于原数；一个数与比1小的数相乘，积小于原数。” 看了一则案例深受启发，以下为案例片段： 出示：小明每小时行3.4千米，他1.5小时行多少千米？0.8小时行多少千米？ 学生解答。 师：为什么3.41.5的结果大于3.4，而3.40.8的结果小于3.4？（板书：3.41.53.4，3.40.83.4) 生1：因为1.5小时比1小时多,1.5小时行的路程也比1小时行的路程多,所以3.41.5的结果大于3.4；0.8小时比1小时少,0.8小时行的路程也比1小时行的路程少,所以3.40.8的结果小于3.4。
7、师：你能结合实例来说明理由,真聪明！ 生2：还可以用乘法分配率加以解释。3.41.5=3.4（1+0.5）=3.4+1.7，所以3.41.5的结果大于3.4；3.40.8=3.4（1-0.2）=3.4-0.68，所以3.40.8的结果小于3.4. 师：你能用乘法分配率来说明理由，说明你的思维更深刻了！结合刚才的认识，想一想3.41.01，3.41，3.40.99这三道算式的积分别与3.4相比，谁大谁小？ 生：3.41.013.4，3.41=3.4，3.40.993.4. 师：到底大家的判断对不对呢？请同学们算一算，验证一下，好吗？ 学生验证、汇报。 师：看着这些算式，大家还能想到什么数学问题？
8、 生1：3.4乘比1大的数，积一定比3.4大；3.4乘比1小的数，积一定比3.4小。 生2：一个数与比1大的数相乘，积大于原数；一个数与比1小的数相乘，积小于原数；一个数与1相乘，积等于原数。 我接着出示下列两组题，先让学生比较大小，说理，再任选一组计算验证。 2.40.982.4 8.20.970.97 2.41.022.4 0.060.970.97 然后出示：马小虎做了三道计算题，你能帮他判断哪题的结果是错的吗？说说理由。 8.70.93=8.89 10.751.3=0.675 1.420.073=0.8948 学生的思维非常活跃，有的学生根据本节课学习的规律来判断，有的学生根据积的末位上
9、的数字来判断，有的学生根据积的首位上的数字来判断，有的学生根据积的小数位数来判断。 同样的一堂课我也上过，但课堂沉闷，最后还是我自己揭示了规律，学生也没什么找到规律的热情，对比之下，感觉案例中的成功之处在于以下几点： 1、活用教材资源，提供探究支点。 教材编排的意图很明显，即让学生感悟“一个数与比1大的数相乘，积大于原数；一个数与比1小的数相乘，积小于原数；一个数与1相乘，积等于原数”。当然这里发现的规律是一种初步的归纳，主要是结合已有的生活经验和计算经验进行体会。这个规律对培养学生的数感有两点作用：一是突破了原来的乘法观念。整数乘法的积总是大于因数，在小数乘法里还会出现积比因数小的情况。二是
10、渗透估算意识，估计和反思笔算的结果是否合理。案例中教师能做到既尊重教材，又不拘泥于教材，不仅精简了计算量，把更多的时间留给学生探索规律，还给学生提供了一个发现规律的“支点”，把实际问题引入课堂，便于学生利用自己的生活经验进行估算。并且在教师的引导下，学生由利用生活经验思考提升到利用乘法分配率来解释，在理解的基础上顺利概括出其中的数学规律。 2、渗透估算意识，体会数学价值。 本节课研究积和因数的大小关系，教学的最终目标并不是让学生机械地掌握“一个数与比1大的数相乘，积大于原数；一个数与比1小的数相乘，积小于原数；一个数与1相乘，积等于原数”这个规律，而是让学生理解这一规律，并能自觉利用这一规律进
11、行估算，体会数学的价值。重视估算意识和能力的培养，不仅可以使学生思维灵活，而且对于学生直觉思维能力和数感的发展具有十分重要的意义。案例中教师不仅重视规律的探究谋害增加了帮助“马小虎”判断计算是否出现错误，激发学生估算的兴趣，使学生体验规律的应用价值，尝到估算的甜头。而且，学生在积极的互动中还自觉运用了其他有价值的、常用的估算方法，不仅提高了估算能力，而且有助于将估算内化为一种自觉意识。 三、突出“建模”思想 ，擦亮学生数学的眼光。 “找规律”的过程本身恰是一个建立数学模型的过程，体现了一种建模的数学思想。建模的过程蕴涵着丰富的数学思考，比如观察、发现、抽象、概括、推理、符号化、结构化、模型化、
12、解释和应用、数学表达等，这些对于发展学生的数学思维能力及解体策略有重要作用。同时、学生学习“找规律”要比认识其他一般的数学内容承担更重要的认知负荷。以教材的第2个例题为例： （图片） 看起来问题的表述简单明了，数学信息的呈现方式也相对单一，然而，如果我们将问题解决背后，学生需要经历相当丰富的思维过程：对问题的准确理解、展开观察、发现排列规律、规律的表达及数学化、列出除法算式，对运算过程及结果的解释，如：除数表示什么，商和余数呢？再次运算，如：每组的灰兔只数 组数 余数中的灰兔只数、获得结论、必要的反思、结论的合理性解释等等。对于小学生而言，获得的认知难度可想而知。 在教学的时候要注意设置坡度，
13、并且将重点落脚在“找”上，在过程中获得丰富的数学思考和体验、把握建立数学模型的一般方法即可。教材主编王林先生就曾说过：“找规律单元的重点在找上，而不是规律的应用，不是做竞赛题。通过增加找规律的机会和活动，让学生不断拓宽获取数学知识的渠道，感受数学思考的合理性，激发找规律的兴趣，产生对数学的好奇心和求知欲，培养观察、抽象、概括的能力。”让我们在本单元的第一课时教学中感受王主编的这句话。 （一）1. 初步感知。 谈话：昨天五（3）班同学在文劳技课上做了一个游戏：穿珠子比赛。老师从中选择三串珠子，想看吗？（出示三串不同颜色有规律排放的珠子，图略。） 提问：好看吗？仔细看一看，有什么样的规律？（板书：
14、规律） 学生可能这样回答：一个红珠和一个黄珠间隔排列；两个红珠夹着一个黄珠 引导：我们可以把几个珠子看作一组照这样依次往下排呢？ 明确：第一串以“红黄”两个为一组依次往下排列，第二串以“红蓝黄”三个为一组依次往下排列，第三串以“蓝蓝红红”四个为一组依次往下排列。 2. 提出问题。 谈话：刚才，同学们很快找到了三串珠子排列的规律，（板书：找）非常好。看到这样有规律排列的珠子，你想研究什么样的数学问题？ 学生可能这样回答：想研究第200颗是什么颜色？想研究第一串珠子中有几颗红珠？ （根据情况加以肯定） 谈话：我也想提一个问题，行吗？照这样穿下去，第17颗珠子是什么颜色？ 分析：学生的学习兴趣经常源
15、于对学习内容的兴趣，激发学生的学习积极性是教师“引导者”作用的体现之一。这一段教学，利用学生熟悉的、喜欢的现实材料，让他们感受现象中存在规律，把学习心向凝聚到发现规律上来。 发现规律需要逐一研究各个客观事物的特点，还要概括一类现象共同的本质特征。引导学生展开数学思考是教师“引导者”作用的又一体现。在教学中，抓住“把几个珠子看成一组”这一关键问题，引导学生经历由表及里、从富有个性到具有共性的认识过程。 （二）发现周期规律 1. 独立思考（出示第一串珠子）。 启发：第17颗珠子是什么颜色？你有什么办法来解决？动动脑，动动笔吧。 2. 小组交流。 谈话：你是用什么方法来解决的？四人小组交流一下。一人
16、介绍，其他三人做评委，看他的方法究竟行不行？ 3. 全班交流。 提问：谁来告诉大家你是用什么方法解决的？ 学生中可能会出现： （1） 红 （2）奇数为红珠，偶数为黄珠，17是奇数红 （3） 172 = 8（组）1（个）红 交流时重点理解算式所表示的意思。 提问：谁能讲讲算式中的四个数分别表示什么意思？（着重引导学生理解余数“1”表示的是第9组珠子中的第一个。） 4. 解决第二、三串珠子里的问题。 谈话：刚才大家想出了不同的方法解决了第一串珠子里的问题，这几种方法都很好。那么第二串、第三串珠子中，第17颗珠子分别是什么颜色呢？用你喜欢的方法试试看。 估计大多数学生会采用计算的方法： 173 =
17、5（组）2（个）蓝 174 = 4（组）1（个）蓝 引导：采用计算的方法的人举手。为什么不用刚才的第一种或第二种方法呢？ 5. 小结。 引导学生交流下列三个问题。 （1）这三题都是求第17颗珠子的颜色，为什么第1题除以2，第2题除以3，第3题除以4呢？ （2）你怎么知道第1题是红色，第2题、第3题是蓝色的呢？ （3）要算出某一颗珠子是什么颜色？关键是找准什么？然后看什么来确定？ 分析：学生用自己的方法解决问题，由于各人的思维习惯、认知策略以及选择的学习活动不同，因而班集体内必然会呈现多样的方法。教学应该尊重学生提出的每一种方法，还要适度优化方法。 解决第一串珠子的问题，学生分别使用了画图、用奇
18、数与偶数推理、用除法计算等多种方法。教学把精力放在解释除法算式的具体含义上，让学生体会这种方法的数学化程度高，适用面宽，从而在解决第二、三串珠子的问题时，自觉使用除法，达到优化方法的目的。 （三）运用周期规律 1. 出示例题中彩旗、彩灯、盆花画面。 谈适：每逢过节，一些单位都喜欢用彩旗、彩灯、盆花来装扮，一起来看这幅图。漂亮吗？彩旗、彩灯、盆花的排列有规律吗？每组图中排在第21个的是什么？用计算的方法算算看。 学生自主解决，并组织交流。 （1） 214 = 5（组）1（面）红旗 （2） 213 = 7（组）绿灯 （3） 212 = 10（组）1（盆）蓝花 提问：第（2）题没有余数，你怎么知道是
19、绿灯的？ 追问：像这样的题目，有余数的怎样看？没有余数的又怎样看？ 谈话：那现在我来说余数，你来抢答是什么，好吗？ 师生共同活动。（第1题彩旗，余2、3；第2题彩灯：余1；第3题盆花：没有余数） 2. 谈话：我发现你们学数学很有灵感，想不想再来检测一下自己？（出示“练一练”第3题） 提问：你能画出每组的第32个图形是什么吗？ 3. 当回设计师。 谈话：你也能设计像这样有规律的图形吗？试试看，再算出第32个图形是什么。 学生活动，并与同桌交流。 小结：你觉得像这样有规律排列的物体怎样知道第几个是什么？ 4. 拓展练习。 谈话：小军还在穿珠子呢！一起来看，他用红、黄两种珠子，按这样的顺序穿的。（黄
20、、黄、红） 结合情境引导学生解决以下三个问题： （1）第18颗珠子是什么颜色？ （2）还是3颗为一组，为确保第18颗是红色，还可以怎样穿？你是怎么知道的？ （3）还是3颗为一组，确保第22颗是红色，可以怎样穿？你又是怎样知道的？ 分析：在变式或开放的问题情境中进一步理解周期规律，是本课的一个亮点。判断第21盏灯的颜色，把根据余数作判断的经验迁移到没有余数的情况；设计的穿红、黄珠子的拓展练习，能有效地培养学生思维的深刻性和灵活性。 5. 联系生活实际举例。 提问：其实生活中像这样有规律的事情太多了，你能举例吗？ 提问：你们对十二生肖有了解吗？说说看。 （1）你今年几岁？属什么？今年多少岁的人跟你
21、是同一属相？ （2）小明今年11岁，属牛，他妈妈也属牛，他妈妈今年多大？ （四） 课堂总结 提问：这节课有收获吗？有疑问吗？ 设疑：还是继续来看穿珠子吧：（出示画面）小红穿的60颗珠子中，有几颗红珠，几颗蓝珠呢？课后去研究。 总评 综观这节课，在教学目标里合理处理了知识技能、过程方法与情感态度的关系，重视解决问题策略的形成和优化，关注学生的成功体验和学习数学的自信心。在教学中，努力创造性地使用教材，联系实际提供丰富的研究材料，让学生充分开展“找”规律的活动；营造和谐的教学氛围，鼓励学生独立思考、合作交流，激发并维持了学习热情；利用挑战性的问题情境，引导学生经历研究、发现周期规律的过程，实现了预
22、设的目标 四、突出“化归思想” 启发学生探索方法内化策略。 一一列举是把事情发生的各种可能逐个罗列，并用某种形式进行整理，从而找到问题的答案。本册“解决问题的策略”的教学目标为：进一步加深对现实问题中基本数量关系的理解，增强分析问题的有序性；进一步体会解决问题策略的多样化，增强灵活选用策略的能力。在落实教学目标方面要避免以下问题。 不重视一一列举的有序性。某些教师认为苏教版教材在教学一一列举策略之前，每个学期都或多或少地渗透了这个策略，只是没有提炼出策略名称而已。特别是四年级下册学习搭配的规律时，学生已经会不重复、不遗漏地进行搭配，因此本课无须强调有序。苏教版关于“解决问题的策略”的编排特点是
23、，先将要学习的策略渗透到各部分内容之中，然后从四年级上册开始安排“解决问题的策略”单元，集中教学解决问题的策略，促进学生掌握一些基本的策略，提高学生解决问题的能力。这就要求教师在教学时正确处理好策略的分散教学和集中教学的关系，唤醒学生已有的一一列举经验，引导学生探究一一列举策略的内涵，学会有序思考。 呆板、僵化地理解一一列举策略。教材中的一一列举策略主要是借助表格呈现的，因此部分教师错误地认为一一列举策略就是用表格呈现所有可能的策略。事实上，列表策略强调的是用表格呈现信息，一一列举策略强调的是列出所有的可能情况。用表格列出所有可能的情况只是一一列举策略的一种具体表现形式，这种形式能较清晰地列出
24、所有的可能，但并不是唯一的形式。教师可引导学生在掌握用列表法进行一一列举的基础上思考不用表格如何做到一一列举。 孤立地学习某种策略。苏教版教材从四年级上册开始组织学生集中学习列表、画图、一一列举、倒推、假设、替换、转化等策略。教学时，教师不能孤立地教学其中的某种策略，而应了解编者的意图，有机地将前后策略联系起来，提高策略教学 案例： （一）感受情境，唤醒记忆 1以“宝贝向前冲”为情境，引出3道不同年级的数学题。 (1)把7个苹果分成2堆，有哪几种分法? (2)有3个木偶娃娃和2顶帽子，最多有多少种不同的搭配方法? (3)用小数点和2、3、4最多可以组成几个不同的两位小数? 2引导学生找这3道题
25、的解法的共同特点，并想一想在解题时要注意什么。(要注意有序性，做到不重复、不遗漏。) 3揭题。 【分析：用学生已会解决的不同层次的3个实际问题为教学引子，唤醒学生关于有序的经验，并在反思解题的共同特点和注意点时，让学生感知本课教学的重点有序思考。这样的设计旨在梳理分散在各个年级的与一一列举有关的内容。】 （二）整理信息，感悟策略 例l：王大叔用18根l米长的栅栏围一个长方形羊圈，有多少种不同的围法? 1整理信息。提问：从题目中能获得哪些数学信息? 2出示表格。小组先动手围一围，再将不同的围法填入表格(表格主要包含长、宽、周长、面积等项目)。 3汇报结果。交流所填表格，并思考为什么会出现重复和遗
26、漏的现象。 4整理表格。让学生结合具体的无序的表格谈谈怎样使之有序。 5探寻规律。引导学生结合有序排列的表格，探寻表格中隐含的数学规律，得出：周长不变。不管怎样 围，周长都是18米。长、宽和面积都在变。长由8米变到5米，宽由1米变到4米，相应的面积由8平方米变到20平方米。长与宽的差越小，长方形的面积就越大。从充分利用资源的角度考虑，应选择面积最大的围法。 6回顾反思。引导学生回顾帮王大叔解决围羊圈问题的过程，思考有哪些收获、有哪些要注意的事项。教师归纳；用一一列举的策略能列出解决问题的所有可能策略；有序思考不仅能保证列举时不重复、不遗漏，还有助于发现规律。 【分析：本环节旨在促进学生用表格进
27、行一一列举，并借助表格理解基本的数量关系、发现数量的变化趋势。教学时要突显有序思考，可分四个层次展开：第一层，整理信息。为了防止学生囫囵吞枣地理解题意，可先让学生读题后说一说自己的理解，再相互交流，认识基本的数量关系。第二层，无序列举。可故意将表格多设计几行，设置陷阱，“诱使”学生出现重复或遗漏的情况，还可在学生汇报时有意展示有重复、遗漏现象的表格，让学生意识到无序会导致遗漏或重复，引发学生的思考。第三层，有序列举。引导学生思考怎样才能做到不重复、不遗漏，让学生认识到列举时要有条理、有序，体验有序的重要性，增强思维的条理性和严密性。第四层，反思提升。在回顾解决；问题的过程中， 反思、感受一一列
28、举的特点和价值。】 例2：订阅下面的杂志(图中杂志为科学世界、数学乐园、七彩文学，图略)，最少订阅1种，最多订阅3种，有多少种不同的订阅方法? 1学生独立整理信息，理解“最少订阅1种，最多订阅3种”的意思。 2引导学生按独立思考同桌交流全班交流的步骤列出所有可能的订阅情况，重点交流订阅2种的可能情况，突出有序思考。 3引导学生思考“如果不列表，还可以怎样列举所有可能的订阅情况”，并尝试用字母、数字、符号或其他形式表示这3种杂志，列出所有可能的订阅情况。 4引导学生比较哪种方法简便，并说说理由。 【分析：本环节旨在让学生进一步体会解决问题策略的多样性，增强灵活选用策略的能力。让学生探索不列表时怎
29、样列举所有可能的订阅情况，能促使学生多视角、多形式地解决问题，有效预防学生把解决具体问题作为学习目标，或片面地将一一列举策略理解为通过表格列举的策略，提高他们灵活选用策略的能力。】 （三）解决问题，巩固策略 1独立完成教材第64页“练一练”：“一张靶纸共3圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中2次，可能得到多少环?” 2独立思考：把“小华投中2次”改为“小华投了2次”，结果怎样? 3说说生活中哪些地方用到了一一列举策略，具体是如何应用的。 【分析：本环节旨在让学生独立应用一一列举策略解决实际问题，进一步内化一一列举策略。】 随着学习的深入，学生所遇到问题的类型不断变化，而解决这些不同问题的策略却始终如一，学生对一一列举策略的运用越来越熟，对策略的理解也越来越深，从而形成“化归”的数学思想。
