1、数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_。答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列的前项和为已知,，设,求数列的通项公式; 答案： ,(2）（4)在数列中,，且（)（）设（），证明是等比数列；（)求数列的通项公式；答案： (3）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；答案:(4）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2)设，求答案： 注意：由数列的递推
2、式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1. 2 . .3 （其中p,q均为常数，)。4 . (1） 。（其中p，q均为常数,）。（或，其中p，q, r均为常数）（2）5。递推公式为（其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s,t满足6、 递推公式为与的关系式.（或）7、8。 9。或 10.双数列型数列知识点求和问题一、掌握数列求和的常见方法:1.公式法求和：（1）等差数列 (2)等比数列 2。错位相减法:主要用于求数列的前n项和,其中、中一个为等差数列,另一个为等比数列.3.裂项相消法：一般适用于通项为的前n项和，其中为等差数列.常见的裂项技巧有：4。倒序相加法： 5.分类相加法:将数列
3、适当拆分,重新组合,变成几个可以求和的部分再分别求和。6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固例1.求和：解:例2求和Sn1。解：Sn22n2.例3（08安徽卷）在等差数列中，前项和满足条件， (）求数列的通项公式;（）记，求数列的前项和。解：（）。()例4在数列an中,a11，当n2时，其前n项和Sn满足San。(1）求Sn的表达式;（2)设bn，求bn的前n项和Tn。解 (1) Sn。（2） Tn.例5正数数列的前n项和为，且对任意的，满足（1）求数列的通项公式；（2）记，数列前n项和为，求证：解：（1）（）数列知识点-数列的单调性例1、已知函数（1）求的反函数；(2）设 （nN*),求；（3
4、）设，否存在最小正整数，使得对任意nN*，有成立？若存在，求出的值;若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，,（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（) ,(）所求的的取值范围是例3设为常数，且（1）证明对任意；（2)假设对任意有，求的取值范围.解： a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN，点(n，Sn）均在函数ybxr（b0且b1，b,r均为常数）的图象上（1)求r的值；(2）当b2时，记bn(nN*），求数列bn的前n项和Tn。解：（1）r1.(2)Tn。练1 （2011福建
5、)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1）求数列an的通项公式；（2)若函数f（x）Asin(2x）（A0，0）在x处取得最大值,且最大值为a3，求函数f(x)的解析式解 （1） an3n13n2。(2)函数f(x）的解析式为f(x)3sin.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列an的前n项和Sn,=an-2n+1+,n=1,2，3,。（I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2，3，.,证明：解：（） n=1,2，3， 练2在数列,中，a1=2,b1=4，且成等差数列，成等比数列(）()求a2,a3,a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（）
6、证明：解:（）练3.数列(）求并求数列的通项公式； （）设证明：当解 （）的通项公式为三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P1(0，0)作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1(0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1,QI；P2,Q2Pn，Qn，记点的坐标为(，0）(k=1，2，,n）。(）试求与的关系(2kn）;（）求解（）.()四、数列与三角交汇例4（2011安徽) 在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作，再令，n1.（）求数列的通项公式；（）
7、设，求数列的前n项和。解：（）（）所以五、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列,并且所有公比相等，已知，, 试求的值。解:.数列知识点-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-猜测-证明（略）二、由an与Sn的关系求通项an例1已知数列an的前n项和为Sn3n1，则它的通项公式为an_.答案23n1练1 已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_答案an三、由数列的递推公式求通项例3、（1)设数列的前项和为已知，设，求数列的通项公式； 答案： ，（2）在数列中,，其中（）求数列的通项公式；（)求数列的前项和;答案
8、:（3)已知数列满足：（1）求数列的通项公式;（2）设，求答案： (4)在数列中，且（)（）设（）,证明是等比数列；（)求数列的通项公式；答案: 注意：由数列的递推式求通项常见类型(请同学们查看高一笔记)1. 2 。 。3 （其中p，q均为常数，）。4 。 (1) 。（其中p，q均为常数,).(或，其中p，q, r均为常数）（2）5。递推公式为(其中p，q均为常数）先把原递推公式转化为其中s，t满足6、 递推公式为与的关系式.（或)7、8. 9.或 10。双数列型数列知识点-求和问题一、掌握数列求和的常见方法：1.公式法求和：（1）等差数列 （2）等比数列 2.错位相减法：主要用于求数列的前n
9、项和，其中、中一个为等差数列，另一个为等比数列。3。裂项相消法:一般适用于通项为的前n项和,其中为等差数列。常见的裂项技巧有：4。倒序相加法： 5.分类相加法:将数列适当拆分，重新组合，变成几个可以求和的部分再分别求和.6。分奇数项,偶数项求和二、例题巩固例1。求和：解：例2求和Sn1。解和式中第k项为ak12.Sn2222n2。例3(08安徽卷)在等差数列中，,前项和满足条件, （）求数列的通项公式；（)记,求数列的前项和。解：（)设等差数列的公差为,由得：，所以,即，又，所以.（）由，得。所以，当时，；当时,，即，= 即例4在数列an中，a11,当n2时，其前n项和Sn满足San.（1）求
10、Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn。解（1）San，anSnSn1(n2）,S（SnSn1),即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn。例5正数数列的前n项和为,且对任意的,满足（1）求数列的通项公式；(2）记，数列前n项和为，求证：解：（1），令,，且）数列是以1为首项，1为公差的等差数列,，（且）当时，(）(2）14分数列知识点-数列的单调性例1、已知函数(1）求的反函数；（2)设 （nN*），求;（3）设，否存在最小正整数，使得对任意nN，有成立？若
11、存在,求出的值；若不存在，说明理由例2、设数列的前项和为已知，,（）设,求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解:（）依题意，,即，由此得因此,所求通项公式为,（）由知,，于是,当时，,当时，又综上，所求的的取值范围是例3设为常数,且（1）证明对任意；（2）假设对任意有，求的取值范围。（1）证法一：（i)当n=1时,由已知a1=12a0,等式成立；(ii）假设当n=k（k1）等式成立，则那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立。 根据(i)和（ii），可知等式对任何nN，成立。 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一:由通项公式 等价于 （i）
12、当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii)当n=2k,k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1,2，都成立,有 综上,式对任意nN，成立，有故a0的取值范围为解法二:如果(nN*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时,对任意nN*， 由an的通项公式 （i）当n=2k1，k=1，2时， （ii）当n=2k，k=1,2时， 故a0的取值范围为数列知识点-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012南昌模拟）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn）均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数）的图象上(1)求r的值；（2
13、）当b2时，记bn（nN*），求数列bn的前n项和Tn。审题视点 第（1)问将点(n，Sn）代入函数解析式，利用anSnSn1(n2）,得到an,再利用a1S1可求r.第（2)问错位相减求和解(1）由题意，Snbnr，当n2时,Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1），由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列，又a1br,a2b（b1)，b，即b，解得r1.(2）由(1)知，nN，an（b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两式相减得Tn，Tn。此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等二、数列与不等式的综合应用
14、例2、设数列an的前n项和 （I)求首项a1与通项an； (II）设Tn=, n=1，2，3,。.，证明:解：（)由 得 所以 a1=2再由有 将和相减得 整理得 ，因而数列是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即 ，n=1，2,3，因而 n=1,2，3，()将代入得所以，练2在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列(）（）求a2,a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；()证明：解:（）由条件得由此可得猜测用数学归纳法证明:当n=1时，由上可得结论成立假设当n=k时，结论成立，即,那么当n=k+1时,所以当n=k+1时，结论也成立由,可知对一切
15、正整数都成立(）n2时，由（）知故综上，原不等式成立 练3.数列(）求并求数列的通项公式； (）设证明：当 解 ()因为一般地,当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为（)由()知, -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时,成立。 证法一 （1)当n=6时,成立。 (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1）、（2)所述,当n6时,，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述,当时，三、数列与解析几何的综合应用（点列问题)例3如图,从点P1(0，0）作x轴的垂线交于曲
16、线y=ex于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2Pn，Qn，记点的坐标为（，0)（k=1,2,n）。（）试求与的关系（2kn）;（）求解()设，由得点处切线方程为由得。（），得，所以于是,例4如图，直线与相交于点P。直线与x轴交于点,过点作x轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线直线于点,过点作x轴的垂线交直线于点,，这样一直作下去，可得到一系列点，.点的横坐标构成数列。OP1P2Q2P3PQ1xyl1l2（）证明；(）求数列的通项公式;()比较与的大小。（)证明：设点Pn的坐标是，由已知条
17、件得点Qn、Pn+1的坐标分别是：由Pn+1在直线l1上,得 所以 即 （)解:由题设知 又由（）知 ,所以数列 是首项为公比为的等比数列。从而 (）解：由得点P的坐标为（1，1）。所以 （i)当时，1+9=10.而此时 (ii）当时，1+9=10.而此时四、数阵问题例5练习个正数排成几行几列: 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知，, 试求的值。解：设第一行数列公差为，各列数列的公比为，则第四行数列公差是，于是可得 解此方程组，得，由于所给个数都是正数，必有,从而有，于是对任意的，有。得， 又 两式相减后得：所以 。例6（)设中所有的数从小到大排列成的数列,
18、即将数列各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表: 3 5 6 9 10 12 - - （i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （i i）求。(）（本小题为附加题，如果解答正确,加4分，但全卷总分不超过150分）设中所有的数都是从小到大排列成的数列，已知22（本小题满分12分，附加题4分) （）解:（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i)解:设，只须确定正整数 数列中小于的项构成的子集为 其元素个数为满足等式的最大整数为14，所以取因为100（)解：令 因 现在求M的元素个数：其元素个数为： 某元素个数为某元素个数为五、数列与三角交汇例4（2011安徽） 在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作，再令，n1。（)求数列的通项公式；（)设,求数列的前n项和。解:（）设构成等比数列，其中,则并利用，得（）由题意和（）中计算结果，知另一方面，利用得所以第 39 页 共 39 页
