1、第三章圆锥曲线的方程3.3.1 抛物线及其标准方程CONTENTS04课堂总结02抛物线及其标准方程03典型例题目 录01知识回顾01 知识回顾知识回顾1.椭圆的定义是什么?平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线的定义是什么?今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线抛物线平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹引入如图，把一根直尺固定在画图板内，直线 l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点 A，截取绳子的长等于
2、A 到 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线抛物线动画示意图02 抛物线及其标准方程抛物线的定义lFMdH|MF|=d1定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹2焦点：点 F 叫做抛物线的焦点3准线：直线 l 叫做抛物线的准线注意：抛物线的定义可归结为“一动三定”：“一动”即一个动点，设为 M；“三定”即一个定点 F、一条定直线 l、一个定值(即动点 M 与定点 F 和定直线 l 的距离的比值为
3、常数 1).思考 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？-1yxO-21xy=x2-2x-1y=x2-2y=x2 lFMdHyO抛物线的标准方程x lFyOM(x,y)KHp两边平方两边平方,整理整理得得|MF|=d(,)02p=-2px22()|22ppxyx-+=+-+=+22(0)ypx p=取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂足为 K，原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy设|KF|p(p0)，焦点 F 为(p2，0)，准线 l 的方程为 xp2抛物线的标准方程lFyxO(,)02p=-2px方程 y
4、22px(p0)叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,其中焦点 Fp2，0，准线方程 l：xp2，其中 p 为正常数，p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离,称为焦准距.抛物线的标准方程yxo探究：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置(即：开口方向)不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有哪些形式？抛物线的标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)y2-2px(p0)p2，0 xp2p2，0 xp2抛物线的标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程x22py(p0)x2-2py(p0)yp2yp20，p20，p2注意：焦点在一次项变量
5、对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向抛物线的标准方程典例：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y 2=20 x;(2)x 2=4y;(3)2y2+16x=0;(4)x2+8y=0.焦点 F(5,0),准线方程为 x=-5焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1焦点 F(2,0),准线方程为 x=-2焦点 F(0,-2),准线方程为 y=2抛物线的焦半径公式思考：M 是抛物线 y2=2px(p 0)上一点，若点 M 的横坐标为 x0，则点 M到焦点的距离是这就是抛物线的焦半径公式!xlFMdHyX0+p2抛物线的
6、焦半径公式图形标准方程焦半径公式lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)四种抛物线的焦半径公式|PF|=x0+p2|PF|=p2-y0|PF|=p2-x0|PF|=y0+p2|PF|=|x0|+p2|PF|=|y0|+p2抛物线的焦半径公式典例:(1)抛物线 x2=4y 上一点 M 的纵坐标为 4,则点 M 与抛物线焦点的距离为 .5(2)抛物线 y2=8x 上一点到 y 轴的距离为 4，则点 M 到抛物线焦点的距离为 .6xlFMHyxyOFM H l抛物线的焦半径公式（3）若抛物线 y22px(p0)上有一
7、点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，则点 M 的坐标为_解：由 y22px(p0)，焦点为 F(p2，0)，准线方程为 xp2设点 M 到准线的距离为 d=|MF|10，即p2(9)10，得 p2，故抛物线方程为 y24x由点 M(9，y)在抛物线上，得 y6，故点 M 的坐标为(9，6)或(9，6)03 典型例题抛物线的标准方程例 1：求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点 M(6，6)；(2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上解：(1)由于点 M(6，6)在第二象限，过 M 的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22px(p0)，将点
8、M(6，6)代入，可得 362p(6)，p3.抛物线的方程为 y26x.若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22py(p0)，抛物线的标准方程解：将点 M(6，6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为 x26y.综上所述，抛物线的标准方程为 y26x 或 x26y.(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2，0)，抛物线的焦点是 F(2，0)，p22，p4，抛物线的标准方程是 y28x.直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)，p23，p6，抛物线的标准方程是 x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或 x212y.抛物线的标准方程
9、例 2：（1）抛物线 2y25x0 的焦点坐标为_，准线方程为_（2）焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为 5 的抛物线的标准方程为_58，0 x58x210y 和 x210y例 3：抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，|AF|5，求抛物线的标准方程解：设所求焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程为 y22ax(a0)，点 A(m，3).由抛物线的定义得|AF|ma2|5，又(3)22am，a1 或 a9.所求抛物线的标准方程为 y22x 或 y218x.抛物线的定义的应用例 4：（1）已知动点 P 到定点(0，2)的距离和它到直线 l：y2 的距离相等，则点 P的轨迹
10、方程为_（2）设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 6，则点 P 到该抛物线焦点的距离为_（3）一动圆过点(0，1)且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x24y 上，则 l 的方程为_x28y8y=-1抛物线的定义的应用例 5：若动圆 M 与圆 C：(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，求动圆圆心的轨迹方程解：(1)设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R.由已知可得定圆圆心为 C(2，0)，半径 r1.因为两圆外切，所以|MC|R1.又动圆 M 与已知直线 x10 相切，所以圆心 M 到直线 x10 的距离 dR.所以|MC|d1.即动点 M 到定点 C(2，0)的距离
11、等于它到定直线 x20 的距离由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x20 为准线的抛物线，且p22，故其方程为 y28x.抛物线的定义的应用例 6：（1）已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，点 P，点(0，2)和抛物线的焦点 F12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离 d0122（20）2172.抛物线的定义的应用例 6：（2）已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(3，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值解：将 x3 代入 y22x，得 y6.所以点 A 在抛物线内部设点 P 为其上一点，点 P 到准线(设为 l)x12的距离为 d.则|PA|PF|PA|d.由图可知，当 PAl 时，|PA|d 最小，最小值是72.即|PA|PF|的最小值为72.04 课堂总结课堂总结1.抛物线的定义；2.抛物线的标准方程；3.抛物线的定义的应用。谢谢大家！THANK YOU FOR WATCHING
