1、最新八年级数学北师大版教材下学期期末复习年级八年级学科数学版本北师大版课程标题八年级数学北师大版下学期期末复习编稿老师董志臣一校杨雪二校 审核郑建彬一、考点突破（1）掌握因式分解的知识及利用因式分解解决问题；（2）掌握分式相关知识以及利用分式方程解决实际问题；（3）掌握平行四边形性质、判定定理，利用相关定理解决实际问题；二、重难点提示重点：各单元知识点掌握。难点：灵活运用并解决实际问题。微课程1：因式分解技巧性问题【考点精讲】因式分解的技巧：1. 逐步降次代入求值使用环境：主要是在求值的题目中出现初中阶段不常见的高次多项式求值，通常采用逐步降次代入，技巧要求较高。如：已知m2m1=0，求代数式
2、m32m+2005的值。因为m3mm2，而通过已知可得m2m1，将其代入可达到降次的目的。2. 整体代入求值 注意观察所求多项式与已知系数的倍数关系，整体转化代入求值。如：已知a2a4=0，求a22（a2a+3）（a2a4）a的值。仔细观察已知式和所求式，它们当中都含有a2a，可以将a2a4=0转化为a2a=4，再把a2a的值直接代入所求式即可。3. 复杂多项式分组分解法：分组后能直接提公因式= 分组后使用公式法或十字相乘法=【典例精析】例题1 分解因式（x1）22（x1）+1的结果是（）A. （x1）（x2） B. x2 C. （x+1）2 D. （x2）2思路导航：首先把x1看做一个整体，
3、观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可。答案：解：（x1）22（x1）+1=（x11）2=（x2）2，故选：D。点评：此题主要考查了因式分解运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2。例题2 已知a、b、c是ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则ABC的形状是（）A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形思路导航：把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状。答案：解：a
4、3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，a3b3a2b+ab2ac2+bc2=0，（a3a2b）+（ab2b3）（ac2bc2）=0，a2（ab）+b2（ab）c2（ab）=0，（ab）（a2+b2c2）=0，所以ab=0或a2+b2c2=0，所以a=b或a2+b2=c2，故ABC的形状是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，故选C。点评：本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键。例题3 若代数式y2+y3的值是0，则代数式y3+4y2+2011的值为（）A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022思路导航：由条件可以得出y
5、2+y=3，再由结论变形为y（y2+4y）+2011，得到y（y2+y+3y）+2011，通过代换后就可以求出其值。答案：解：由题意，得y2+y3=0，y2+y=3。y3+4y2+2011=y（y2+y+3y）+2011，y3+4y2+2011=y（3+3y）+2011=3（y+y2）+2011=33+2011=2020，故选B。点评：本题考查了数学整体思想的运用和因式分解在整式的计算中的运用。【总结提升】一、因式分解方法：提公因式法：第一项是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“”号时，多项式的各项都要变号。ma+mb+mc=m（a+b+c）am+bm+cm=m（ab
6、c）； a（xy）+b（yx）=a（xy）b（xy）=（xy）（ab）。公式法：平方差公式：a2b2=（a+b）（ab）；完全平方公式：a22abb2（ab） 2；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。十字相乘法:x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。补充公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2； 二、总结：1. 分解要彻底，分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止；2. 最
7、后结果只有小括号，分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；3. 最后结果中多项式首项系数为正，每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数。微课程2：分式与分式方程【考点精讲】考点1：分式基础知识。1. 分式有意义时分母不等于0，分式无意义时分母等于0。分式值为0时分子等于0，同时分母不为0。分式值为正时分子、分母同号，值为负时分子、分母异号。等比性质的应用：，求k值？2. 化简求值：利用因式分解将分式进行化简，并将给定值或自己所选值代入求值，注意求值时的分母不能为0这一条件。考点2：分式方程及应用。解分式方程的时候，要将解方程与分式通分区别开。注意最后的检验是解分式方程必不可少的过程。注意方程解为
8、增根、解为正数（负数）、无解等特殊问题的出现。分式方程应用时，应注意要有全局观念，比如路程问题，无论先出发还是后出发，最终都是在总时间上作比较，列等式。【典例精析】例题1 对于非零的实数a、b，规定ab=。若2（2x1）=1，则x=（）A. B. C. D. 思路导航：根据新定义得到=1，然后把方程两边都乘以2（2x1）得到2（2x1）=2（2x1），解得x=，然后进行检验即可。答案：解：2（2x1）=1，=1，去分母得2（2x1）=2（2x1），解得x=，检验：当x=时，2（2x1）0，故分式方程的解为x=，故选A。点评：本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，
9、然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解，同时也考查了阅读理解能力。例题2 已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（）A. a1 B. a1且a2 C. a1且a2 D. a1思路导航：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围。答案：解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，x0且x+10，a+10且a+11，a1且a2，a1且a2，故选B。点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方。例题3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200
10、元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完。由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果。（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？思路导航：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；（2）先计算两次购
11、水果数量，赚钱情况：卖水果量（实际售价当次进价），两次合计，就可以回答问题了。答案：解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得：=20，解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，（2）第一次购水果12006=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），第一次赚钱为200（86）=400（元），第二次赚钱为100（96.6）+120（90.561.1）=12（元），所以两次共赚钱40012=388（元），答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元。点评：本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果
12、这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程。分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键。【总结提升】有条件求值解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识外，还常常用到如下技巧：（1）拆项变形或拆分变形；（2）整体代入；（3）利用比例性质；（4）恰当引入参数：在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能；（5）取倒数或利用倒数关系：有些分式的分母比分子含有更多的项，我们可以把分子和分
13、母颠倒位置再进行求解。例题 已知实数a满足a2+2a15=0，求的值。思路导航：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a2+2a15=0进行变形后，再把它整体代入即可求出答案。答案：解：=，a2+2a15=0，a2+2a=15，原式=点评：此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值。微课程3：平行四边形的证明问题【考点精讲】考点1：平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分。扩展性质： 平行四边形对
14、角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。平行四边形对角线分平行四边形成的四个小三角形中，相邻两个小三角形周长差等于边长差。平行四边形对角线的一半和大于任意一边长。过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分考点2：平行四边形的判定对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。考点3：中位线定理。三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。【典例精析】例题1 如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15
15、，MN=3。（1）求证：BN=DN；（2）求ABC的周长。思路导航：（1）证明ABNADN，即可得出结论；（2）先判断MN是BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可。答案：（1）证明：在ABN和ADN中，12 ANAN ANBAND，ABNADN，BN=DN；（2）解：ABNADN，AD=AB=10，DN=NB，又点M是BC中点，MN是BDC的中位线，CD=2MN=6，故ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。点评：本题考查了三角形的中位线定理及全等三角形判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角
16、形。例题2 如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F。（1）求证：ADEBFE；（2）若DF平分ADC，连接CE，试判断CE和DF的位置关系，并说明理由。思路导航：（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论；（2）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，1=2；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三线合一”的性质推知CEDF。答案：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，又点F在CB的延长线上，ADCF，1=2。点E是AB边的中点，AE=BE，在ADE与BFE中，12，DEAFEB，AEBE，ADEBF
17、E（AAS）；（2）解：CEDF。理由如下：如图，连接CE，由（1）知，ADEBFE，DE=FE，即点E是DF的中点，1=2。DF平分ADC，1=3，3=2，CD=CF，CEDF。点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角。例题3在ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E。（1）当点D在边BC上时，如图，求证：DE+DF=AC；（2）当点D在边BC的延长线上时，如图；当点D在边BC的反向延长线上时，如图，请分别写出图、图中DE，DF，AC之间的数量
18、关系，不需要证明；（3）若AC=6，DE=4，则DF= 。思路导航：（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且DEC和BDF是等腰三角形即可证得；（2）与（1）的证明方法相同；（3）根据（1）（2）中的结论直接求解。答案：（1）证明：DFAC，DEAB，四边形AFDE是平行四边形。AF=DE，DFAC，FDB=C又AB=AC，B=C，FDB=BDF=BFDE+DF=AB=AC；（2）图中：AC+DE=DF。图中：AC+DF=DE；（3）当如图的情况，DF=ACDE=64=2；当如图的情况，DF=AC+DE=6+4=10，故答案是：2或10。点评：本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定
19、，是一道基础题。【总结提升】一、平行四边形的面积：平行四边形的面积： 等于底和高的积，即SABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。平行四边形中的等积法使用：ABDE=BCDF二、已知平面内三点作平行四边形：过点、三点作对边平行线，图中四边形AEFG、BEGF、CFEG都是平行四边形。下学期期末试卷（答题时间：30分钟）因式分解技巧性问题1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（）A. a（x+y）=ax+ay B. x24x+4=x（x4）+4 C. 10x25x=5x（2x1） D. x216+6x=（x+4）（x4）+6x2.
20、下列因式分解正确的是（）A. x2xy+x=x（xy） B. a32a2b+ab2=a（ab）2 C. x22x+4=（x1）2+3 D. ax29=a（x+3）（x3）3. 下列多项式能分解因式的是（） A. x2+y2 B. x2y2 C. x2+2xyy2 D. x2xy+y24. 下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A. x2+1 B. x2+2x1 C. x2+x+1 D. x2+4x+45. 因式分解：4x336x= 。6. 已知实数a、b满足ab=1，a+b=2，求代数式a2b+ab2的值 。7. 已知2x+5y=2，求2x2+5xy+5y的值。 8. 给出三个整式a2，
21、b2和2ab。（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解。请写出你所选的式子及因式分解的过程。分式与分式方程1. 下列方程中不是分式方程的是（ ）A. B. C. D. 2. 分式方程的解为（ ）A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=43. 若解分式方程产生增根，则m的值是（ ）A. 1或2 B. 1或2 C. 1或2 D. 1或24. 若x1，y2，则的值等于（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则的值是（ ）A. B. C. 2 D. 26. 若关于x的方程=+1无解，则a的值
22、是 。7. 某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本。（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ 平行四边形的证明问题1. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A. 1=2 B. BAD=BCD C. AB=CD D. ACBD2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，
23、则OA的取值范围是（）A. 2cmOA5cm B. 2cmOA8cm C. 1cmOA4cm D. 3cmOA8cm 3. 下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（）A. 一组对边相等 B. 一组对角相等C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分4. 在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. ADBC，AD=BC B. AB=DC，AD=BC C. ABDC，AD=BC D. OA=OC，OD=OB5. 如图，已知：ABCD，BEAD，垂足为点E，CFAD，垂足为点F，并且AE=DF。求证：四边形BECF是平行四边形。6. 如图，
24、已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=EF。（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD。为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。我们从小学、中学到大学，学的知识总是限制在一定范围内，缺乏在商业统计、会计，理财税收等方面的知识；也无法把自己的创意准确而清晰地表达出来，缺少个性化的信息传递。对目标市场和竞争对手情况缺乏了解，分析时采用的数据经不起推敲，没有说服力等。这些都反映出我们大学生创业知识的缺乏；因式分解技巧性问题1. C 解析：A、是
25、多项式乘法，故选项错误；B、右边不是积的形式，x24x+4=（x2）2，故选项错误；C、提公因式法，故选项正确；D、右边不是积的形式，故选项错误。故选：C。 2. B 解析：A、x2xy+x=x（xy+1），故此选项错误；B、a32a2b+ab2=a（ab）2，故此选项正确；C、x22x+4=（x1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax29，无法因式分解，故此选项错误，故选：B。8-2购物环境与消费行为 2004年3月20日3. C 解析：A. 不能分解；B. x2y2 =（x2+y2），不能分解；C. x2+2xyy2=（x22xy+y2）=（xy）2，故能够分解；D. 不能分解；故
26、选C。据上述部分的分析可见，我校学生就达4000多人。附近还有两所学校，和一些居民楼。随着生活水平的逐渐提高，家长给孩子的零用钱也越来越多，人们对美的要求也越来越高，特别是大学生。他们总希望自己的无论是衣服还是首饰都希望与众不同，能穿出自己的个性。但在我们美丽的校园里缺少自己的个性和琳琅满目的饰品，所以我们的小饰品店存在的竞争力主要是南桥或是市区的。这给我们小组的创业项目提供了一个很好的市场机会。4. D 解析：根据完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2，故选D5. 4x（x+3）（x3）解析：原式=4x
27、（x29）=4x（x+3）（x3）。故答案是：4x（x+3）（x3）。6. 2 解析：当ab=1，a+b=2时，原式=ab（a+b）=12=2，故答案为：2。 此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）7. 2 解析：2x+5y=2，2x2+5xy+5y=x（2x+5y）+5y=2x+5y=2。 8. 解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49。（2）答案不唯一。例如，若选a2，b2，则a2b2=（a+b）（ab）。若选a2，2ab，则a22ab=a（a2b）。（三）上海的文化对饰品市场的影响据调查，大
28、学生对此类消费的态度是：手工艺制品消费比“负债”消费更得人心。分式与分式方程1. C 解析：观察分母中是否含有未知数即可判断出不是分式方程，故选C。（一）对“漂亮女生”饰品店的分析2. C 解析：把分式方程化为整式方程再进行求解整理得，得x=3，故选C。2、Google网站www。people。com。cn3. D 解析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值，由题意得增根是：x=0或x=1，化简原方程为：，把x=0或x=1代入解得m=1或2，故选择D。4. D 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可。原式，（四）大学生对手工艺制品消费的要求当x1，
29、y2时，原式，故选D。5. D 解析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数，则，故选D。6. 2或1 解析：x2=0，解得：x=2，方程去分母，得：ax=4+x2，即（a1）x=2把x=2代入方程得：2a=4+22，解得：a=2，当a1=0，即a=1时，原方程无解，故答案是：2或1。7. 解：（1）设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，由题意得，+10=，解得：x=4，经检验得：x=4是原方程的根，答：打折前每本笔记本的售价为4元；（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90y）件，由题意得，36040.9y+60.9（90y）365，解得：67y70，y为正整数，y可取68，69，70，故有三种购买方案：方案一：购买笔记本68
