1、辽宁省沈阳市重点高中联合体学年高三上学期联考数学试题2020-2021学年度（上）市级重点高中联合体12月联考高三数学第I卷（选择题）一、单项选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合 A = 2,70.1,2,集合 B = xly = log2（l x）,则 AB=（）C先利用函数的定义域求法化简集合B,再利用交集的运算求解. 因为集合B = x|y = log2（l-x） = U|x0,他+為0,则陽前项和S“的最小值为( )A.S4 B. S、 C. $6 D. S?C先通过数列性质判断咳0,再通过数列的正负判断S”的最小值.等差数列仏中，+9 0 , A
2、a5 +a() = 2a6 0 ,即 a60, .的前项和 S” 的最小值为Se 故答案选c本题考查了数列和的最小值，将S”的最小值转化为W”的正负关系是解题的关键.5.(l-x)(l + x)3的展开式中，疋的系数为()A.2 B. -2 C. 3 D. -3B由题意转化条件得(1 X)(l +才=(l+x)x(l+x)，再由二项式定理写出(1 +才的通项公式, 分别令厂=3、r = 2,求和即可得解.详解】由题意(1-x)(1 + x)3=(1 + a-)3-a(1 + a-)(1 +才的通项公式为几=C； 严才=C； 0 ,令广=3,则C；=C； = 1；令广=2,则 CJ = C;=3
3、；所以(l-x)(l + x)的展开式中，F的系数为1-3 = -2.故选：B.本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.已知平面向量方，石满足”卜5, p+%4, p-b| = 6,则向量方在向量乙方向上的投影为( )A. 1 B. 0 C. 1 D. 一2Ca-b通过条件可得bS 根据公式-7代值计算即可.b解：由Q十b =4 , a-b =6半方相减可得a巧=一5,crb -5 ,所以向量方在向量乙方向上的投影为-g- = y = -1.故选：C.方=匕）/ =也2），计算向量方在向量乙方向上的投影的两个公式:*aa-b（1）已知向量数量积和模长： 丁；（2）已知向
4、量的坐标:Vx22 + y227抛物线C： y2 = 4x的焦点为N为准线上一点，M为）轴上一点，ZMNF为直角,若线段MF的中点E在抛物线C,则4WVF的面积为（）C设M（OgE（g冷）,E在抛物线C上可得匸2血，由抛物线的对称性，不妨设川=2血， ”（一1/）,而 =（1,271 ），兩=（一2丿）和页 =02迈-心（-2）=0,可得”=血，由两 点距离公式可得MN =也、NF = x/6,. S=-MNNF =JJx点=也2 2 2点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据MF的中点E在抛物线C上， 确定M点的坐标,再根据ZMVF为直角，二血万V = （l,2血-2/） =
5、0可得N点的坐标,由两点距离公式可得MN = *,NF = EUf mN NF =辱屁屁洋.8.已知函数f（x） = sin血+acoss:,周期Tja2 +1 sin( co+(p) = Ja2 +1 sin( co+ + 2ktt- d) = ja2 +1 cos = /5 , k eZ ,3 3 3 2 6 6:.sin2 + cos2 = + = 1,6 6 a2 + a2(a2+)即-2/-3 = 0,解得 u = d a = y/3 (舍去),ill得 tail = tan( + k兀),keZ ,6 6v cos06在第一象限，o.取Q = tan（ + 2炽）,k gZ ,3
6、637T由心着2/r,即kwZ,:co=2k + , k eZ,使lol最小，则k=-,即 I(t) Lwi= 11，若不等式小5恒成立，则 T 审 故选：B关键点点睛：解答本题的关键点是求出d的值，需要转化= 且在x = 处取得最大k 3 y 6值，得到COS?妇爭p Si吟再根据同角的平方关系得到关于。的方程，解方 程即得解.也是方程思想的体现.二、多项选择题.(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)9.下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布B 6,：,则P(X=3)= 4V 2 丿 16B.已知随机变量X服从正态分布N(2&)且P(X4) = 0.9,则P(0X2)
7、= 0.4C.E(2X+3) = 2E(X)+3； D(2X+3) = 2D(X) + 3D.已知随机变量纟满足P( = O) = x, P( = l) = l-x, 0x|，贝随着x的增大而减 小，D(?)随着x的增大而增大ABD对于选项 ZD都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项C,根据方差的性质，即可判断 选项C.对于选项A,设随机变量x , 则 p(x=3)= C：所以选项A正确；对于选项5因为随机变量gN(2qT，所以正态曲线的对称轴是x = 2,因为 P(Xv4) = 0.9,所以 P(X0) = 0.1,所以P(0X4l*/(r) = r-4 + 2(?+/)0,当且仅当/=0
8、取等号故此时/(有唯一零点x = 22当m = 2时,f(t)=t2-4+2(e+e-l)f同理满足题意.故选：BC.方法点睛：函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.y = f(x)的图象关于直线x = a对称 /(-x) = /(+x)/(-x) = /(2+x) 第II卷(非选择题)三、填空题.2工一匕一1Sxv313.函数/= 贝99)= /(x-4),x31根据自变量范围代入对应解析式，即得结果.2x 1,lx3故答案为1.本题考查分段函数求值，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知正项等
9、比数列仏的前”项和S“，若5=1, S3=7,则公比歼 ,前8项和为(1). 2 (2). 255根据等比数列基本量的讣算，可得q = 2,代入等比数列求和公式汁算可得前8项和.解：由题意得= l + g + b=7,1一又0,所以0, b0）的左右焦点分别为匚 耳，点人在C的左支上,设 M的中点为必 由（弔+莘）乔=0,得到丽丄屈，进而得到AFy = FBf再由 f-Fb = f ,得到阿| = |稲=网，设0用r ,由双曲线的定义 网|-阳=纠呵-阿| =加,联立求得阳=加,|明=|的=4进而得到|聊| = 2&, MF2 = 4af由同Mf+|M耳f =|斤耳求解.如图所示:设M的中点为
10、必所以FA + FB = 2FM , 又（帀 + 丽）丽=0, 所以2顾丽=0, 所以顾丄瓦5, 申一丽卜网| = |丽 因为M为M的中点，且丽丄亦 所以用=|巧8|,设BF2 = xf由双曲线的定义得|叭| =兀+勿= 用,乂AF2 = BF2+AB = 2x+2a ,所以|4列一帆用= 2x + 2d_(x+2d) = x = 2c ,所以 |B| = |AB| = | 生 |=加=滋, 所以闪M| = 2VL, |M坊| = 4, 因为F.M+MF2 =FF2, 所以(2屈+(4=4c2,即2&=牡2, 解得e = yp .故答案为：V7利用双曲线的定义进而得解.16.函数.f(x) =
11、 x(lnx_aY)CaeR, x0 )在区间护)上存在极大值，则实数的取值范围是 【分析】对函数求导并化简，设(A)= 1(XO),求导判断出单调性和最值，若函数存在 极大值，则需函数先增后减，即导函数的函数值先正后负，列不等式可得实数d的取值范用.令g(Q0,解得xvl,即g(x)在(.1)上单调递增;令g)vo,解得A1,即g(x)在(1,)上单调递减;z、 2且&(叽=(1)=1，乂 g()= ，e则当2g,1,即耐弓时，爪)先增后减，即函数存在极大值故答案为：f-41锐2)关键点点睛：本题考查导函数在极值中的应用，解决本题的关键点是将函数存在极大值，转化为导函数零点问题，进而成为函数
12、g(x) = (x0)与)，=加的图象问题，列不等式可得出X参数的范圉，考查学生转化思想和讣算能力，属于中档题.四、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在aABC中，b, c分别是角4, b, C的对边，并且b2+c2-a2=bc,已知 ,计算aABC的面积，请从“ = 0 = 2,sinC = 2sinB这三个条件中任选两个，将问题补充完整，并作答.答案见解析.根据余弦定理求出人=,若选择d = b = 2,根据余弦定理求出c = 3,然后根据面积公式可求得结果；若选择a = h，sinC = 2sinB,根据正弦定理和余弦定理求出&及利 用&与c的关系，根据面积公式可求得
13、结果；若选择2,sinC = 2sinB,根据正弦定理 求出5再根据面积公式可求得结果.因为b2+c2-a2=bc,所以匕二二匚所以cosA = l2bc 2 2因为Ae(O,),所以A = p第一种：若选择 = b = 2 ,由 a2 =b2 +c2 -2bccosA得7 = 4+c2-2c,即c2-2c-3 = 0,解得c=3 （负值舍去）,第二种：若选择 = sinC = 2sinB, illsinC = 2sinB以及正弦定理可得c = 2b,由7 a2=b2+c2-2加cos A得7 =戻 + 4戻 一2戻，得口 =三, 所以,BC=-bcsinA = -b-2b = x- = .C
14、 2 2 2236第三种:若选择b = 2,sinC = 2sinB,由sinC = 2sinB以及正弦定理可得c = 2b,所以c = 4,所以 S =lsinA = lx2x4x = 2.本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解题的关键点是熟练掌握正弦定理、余 弦定理公式及利用它们进行边角正确的转换，属于基础题.18.数歹lj满足 aA + 2（h +3佝 +%/”=（77-1）2/，+1 + 2（/? 1）.（1） 求数列厲的通项公式；（2） 设乞=口，S”为数列0”的前“项和，求S”.（1） 直接利用数列的递推关系式的应用求岀数列的通项公式；（2） 利用（1）的结论，进一步利
15、用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.解：(1) ill题意,1=2.由 ci + 2 + + + na” = (,? 1) 2 + 2( n 1), Q)得q +2tij +3q + (n l)q_ =(“一2)2 +2(mn2), ()am得nan = (“ 一 1) 2rt+l + 2-(/?- 2) T + 2= n 2 (2),所以 an=2n(n2)乂因为当” =1时，上式也成立，所以数列”的通项公式为=2.亠. 2畀 +1 2/? + 12由题意，汗丁二十所以o , 3 5 7 2/ + 1 以=也+2+乞+4=57 +尹+歹+一，2 +1 2/7 +1 F数列求和的方法技巧(1
16、)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.19.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCQ为边长为2的菱形，P4丄平面ABCD,ZABC = 60f E, F分别是BC, PC的中点.(1)证明：由四边形ABCD为菱形，ZABC = 60 ,可得A3C为正三角形,TE为BC的中点，A AE丄AD.PA 丄 ABCD, AEu 面 ABCD, PA 丄 AE.而QAu面PAD, APu面PAD,且PArAD = AAE丄面PAD.又QAu面PAD, :-AE丄
17、PD.(2)由(1)知AE, AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系, 又E, F分别是BC, PC的中点，4(0,0,0), 5(/3-1,0), (0,2,0), P(0,0,2), (/,0,0), F -y-, ，: AE =(5/,0,0), AF = ,1L 厶 乙 厶 厶设平面AEF的法向量为/H = (xpypz,),取石=一1,则 772 = (0,2,-1)./ BD丄 AC, 3D丄PA , PA(AC = A, : BD 丄面 AFC.故丽为平面AFC的一个法向量，乂丽= (-713,0)所以二面角一7的余弦值为乎.方法点睛：空间向量解答立体儿
18、何问题的一般步骤是：(1)观察图形，建立恰当的空间直角坐 标系；(2)写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；(3)设出相应平面的法向量，利用 两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根 据定理结论求出相应的角和距离.20.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县 调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部60人上镇有基层干部60人,C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A.B.C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组,5,15）,15,25）,25,
19、35）,35,45）,45,55,绘制成如图所示（1） 求这40人中有多少人来自C镇,并估计A.B.C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困 户；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2） 如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从AB.C三镇的所 有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X ,求X的分布列及数学期望.（1）40人中有16人来自C镇，28.5户（2）见解析（1） 先确定抽样比，再由C镇有基层干部80人即可求出结果：求平均数时，只需每组的中间 值乘以该组的频率再求和即可；（2） 先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，山题意可知X服从 二项分布，进而可求出结果.解：（1）因为A,3,C三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，40利用分层抽样的方法选40人，则C镇应选取80x = 16 （人），200所以这40人中有16人来自C镇因为元= 10 x 0.15 + 20 x 0.25 + 30x 0.3 +40 x 0.2 + 50x 0=28.5,所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28. 5户(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机
