1、第60讲立体几何中的向量方法(二)利用空间向量求空间角与距离夯实基础【p138】【学习目标】会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离【基础检测】1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1，0，1)，b(0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A90 B30 C45 D602已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45 B135 C45或135 D903如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C.
2、 D.4如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则DB到平面EFG的距离为()A. B. C. D1【知识要点】1空间角和空间距离的向量表示(1)直线与平面所成的角直线a的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线a与平面所成的角等于向量m，n所成的锐角的余角(若所成角为钝角，则取其补角的余角)，即_sin_特例：若mn，则_a_或_a_若mn，则a.(2)二面角的平面角设二面角l的两个半平面和的法向量分别为m，n，二面角l的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面角为锐角时，cos |cos m，n|；当二面角为钝角时，
3、_cos_|cos_m，n|_特例：若mn，则_，若mn，则_2点到平面的距离设平面的法向量为_n_，P是平面外一点，Q是平面内任一点，则点P到平面的距离d等于在法向量n上的投影的绝对值，即d_典 例 剖 析【p138】考点1求异面直线所成的角如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值考点2求直线与平面所成的角四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，AB2，BC2，SASB.(1)证明
4、：SABC；(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值考点3求二面角如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求二面角FDEB的正弦值考点4求空间距离如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离；(3)求异面直线AF与BE之间的距离方 法 总 结【p139】1利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条
5、件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解2利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系表示出已知点(或向量)的坐标难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法3向量法求空间角与距离一般在易建系而又不易直接作出所求角与距离时使用，事半功倍走 进 高 考【p139】1(2017天津)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90. 点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CE
6、MN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长2(2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值考 点 集 训【p260】A组题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()
7、A30 B60C120 D1503如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，DBC90，BCBD2，AB1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为_4二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_5P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_6如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中正确的是_(填写序号)ACBE；EF平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；异面直线A
8、E，BF所成的角为定值B组题1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为_2如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，且AB4，SA3.E，F分别为线段BC，SB上的点(端点除外)，满足，当实数的值为_时，AFE为直角3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值4在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF1，点P在棱D
9、F上(1)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；(2)若二面角DAPC的余弦值为，求PF的长度第60讲立体几何中的向量方法(二)利用空间向量求空间角与距离夯实基础【p138】【学习目标】会用向量法计算直线与直线、直线与平面的夹角及二面角，会用向量法计算空间距离【基础检测】1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1，0，1)，b(0，1，1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A90 B30 C45 D60【答案】D2已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为()A45 B135 C45或135 D90【答案】C3
10、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A. B. C. D.【解析】以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)，则(1，1，2)，(1，0，0)，cos，.【答案】D4如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，则DB到平面EFG的距离为()A. B. C. D1【解析】以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CG为z轴建立空间直角坐标系，F(4，2，0)，E(2
11、，4，0)，G(0，0，2)，(2，2，0)，(2，4，2)，平面EFG的一个法向量为m(1，1，3)，BD平面EFG，直线BD到平面EFG的距离即点B到平面EFG的距离，d.【答案】B【知识要点】1空间角和空间距离的向量表示(1)直线与平面所成的角直线a的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线a与平面所成的角等于向量m，n所成的锐角的余角(若所成角为钝角，则取其补角的余角)，即_sin_特例：若mn，则_a_或_a_若mn，则a.(2)二面角的平面角设二面角l的两个半平面和的法向量分别为m，n，二面角l的大小为，则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补当二面角为锐角时，cos |co
12、s m，n|；当二面角为钝角时，_cos_|cos_m，n|_特例：若mn，则_，若mn，则_2点到平面的距离设平面的法向量为_n_，P是平面外一点，Q是平面内任一点，则点P到平面的距离d等于在法向量n上的投影的绝对值，即d_典 例 剖 析【p138】考点1求异面直线所成的角如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值【解析】(1)证明：如图，连接BD，设BDAC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC
13、120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1，0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.考点2求直线与平面所成的角四棱锥SABCD
14、中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，AB2，BC2，SASB.(1)证明：SABC；(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值【解析】(1)作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD.因为SASB，所以AOBO，又ABC45，所以AOB为等腰直角三角形，AOOB，如图，以O为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立空间直角坐标系Oxyz.A(，0，0)，B(0，0)，C(0，0)，S(0，0，1)，D(，2，0)，(，0，1)，(0，2，0)，0，所以SABC.(2)设n(x，y，z)为平面SAB的法向量，则得所以令
15、x1，得n(1，1，)，|cosn，|，SD与平面SAB所成的角与与n所成的角互余所以，直线SD与平面SAB所成角的正弦值为.考点3求二面角如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)求证：PA平面EDB；(2)求二面角FDEB的正弦值【解析】如图，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC1.(1)证明：连结AC，AC交BD于点G，连结EG.依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E.因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且(1，0，1)，.所以2，即PAEG，而EG平面ED
16、B，且PA平面EDB，因此PA平面EDB.(2)B(1，1，0)，(1，1，1)，又，故0，所以PBDE.由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.所以平面EFD的一个法向量为(1，1，1)，(1，1，0)，不妨设平面DEB的法向量为a(x，y，z)，则不妨取x1，则y1，z1，即a(1，1，1)，设二面角FDEB的平面角为，则cos ，因为0，所以sin .即二面角FDEB的正弦值大小为. 考点4求空间距离如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E，F分别为D1D，B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离；(3
17、)求异面直线AF与BE之间的距离【解析】(1)以D为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，5)，E(0，0，1)，F(2，2，4)于是(2，2，0)，(0，2，4)，(2，2，1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA，BE平面ACF.(2)由(1)知，为平面ACF的一个法向量，向量在上的射影的大小即为E到平面ACF的距离，设为d1，于是d1|cos ，|，故点E到平面ACF的距离为.(3)由(1)知(0，2，4)，(2，2，1)，设AF与BE的公垂线的方向向量d(x，y，z)
18、，则得取z2，得d(5，4，2)又(0，2，0)，设AF与BE之间的距离为d2，则d2.【点评】利用向量法求距离关键是应用一个向量在另一个向量上的投影方 法 总 结【p139】1利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量(注意量的集中)，然后利用向量运算解决该向量问题，从而原问题得解2利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立恰当、正确的空间坐标系表示出已知点(或向量)的坐标难点是通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数解法3向量法求空间角与距离一般在易建系而
19、又不易直接作出所求角与距离时使用，事半功倍走 进 高 考【p139】1(2017天津)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90. 点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2. (1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【解析】如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)(
20、1)(0，2，0)，(2，0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1，0，1)又(1，2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1，0，0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则因为(0，2，1)，(1，2，1)，所以不妨设y11，可得n2(4，1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0，0，h)，进而可得(1，2，h)，(2，2，2)由已知，得|cos|，整理得10h221h80，解得h，或h.2(2017
21、全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值【解析】(1)由题设可得，ABDDBC，从而ADDC.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO.又由于ABC是正三角形，故BOAC.所以DOB为二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由题设及(1)
22、知，OA，OB，OD两两垂直. 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1)由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E. 故(1，0，1)，(2，0，0)，.设n(x，y，z)是平面DAE的法向量，则即可取n.设m是平面AEC的法向量，则同理可取m.则cosn，m.所以二面角DAEC的余弦值为.考 点 集 训【p260】A组题1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，
23、则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B. C. D.【解析】建立坐标系如图所示则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【答案】B2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60C120 D150【解析】设l与所成角为，cosm，n，sin |cosm，n|，090，30.故选A.【答案】A3如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，DBC90，BCBD2，AB1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为_【解析】以B
24、为原点，分别以射线BC，BD，BA为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，BCBD2，AB1，B(0，0，0)，A(0，0，1)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，(2，0，0)，(2，0，1)，(2，2，0)，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)则可取n(1，1，2)，设直线BC和平面ACD所成角为，则sin |cos ，n|.【答案】4二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_【解析】，|2.|cos，24.cos，.而二面角与，互补，所求二面角为60.【答案】605P是二面角AB棱
25、上的一点，分别在平面、上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_【解析】不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.【答案】906如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中正确的是_(填写序号)ACBE；EF平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；异面直线AE，BF所成的角为定值【解析】AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D.ACBE，故正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD，故正确中，由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VABEF为定值，正确当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(1，0，1)，F，(0，1，1)，.又|，|，cos，.此时异面直线AE与BF成30角当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0，1，1)，(0，0，1)，1，|，cos，故不正确
