1、结构动力学结构动力学*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。*学习本章注重动力学的特征-惯性力惯性力。*结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。*动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。一、本章重点 1振动方程的建立 2振动频率和振型的计算 3振型分解法求解多自由度体系 4最大动位移及最大动应力 二、基础知识 1高等数学 2线性代数 3结构力学 三、动力荷载的特征 1大小和方向是时间 t 的函数 例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2具有加速度，因而产生惯性力 四、动力荷载的分类
2、1周期性动力荷载 例如：机械运转产生的动力荷载，打桩时的锤击荷载。P（t）P（t）t t （机械运转荷载）（打桩荷载）2冲击荷载 例如：爆炸力产生的动力荷载，车轮对轨道连接处的冲击。P（t）P（t）P（t）t t t （爆炸力动力荷载）（吊车起吊钢索的受力）（随机动力荷载）3 突加常量荷载 例如：吊车起吊重物时钢索的受力。4随机动力荷载 前 3 类荷在是时间 t 的确定函数，称为确定性动力荷载；而地震作用，波浪对船体的作用，风荷载等其作用大小只能用统计的方法获得。五、动力荷载的计算方法 1原理：达朗贝尔原理，动静法建立方程 2计算工具：微分方程，线性代数，结构力学 六、体系振动的自由度-动力自
3、由度 结构具有质量，有质量在运动时就有惯性力。在进行动力计算时，一般把结构的质量简化为若干质点的质量，整个结构的惯性力就成为各质点的惯性力问题。1质点简化的一般要求 简单，能反映主要的振动特性 例如：楼房；质量集中在各层楼板平面内 水塔：质量集中在水箱部分 梁：无限自由度 集中质量 mdx （无限自由度）（有限自由度）（楼房质量集中）（水塔质量集中）（梁的质量集中）2 位移 y（t）即指质点的位移 y（t），其加速度为y&)(t 3动力自由度的确定 即质点位移数量的确定。方法：附加链杆法，即附加链杆的最少的链杆数（独立个数）使所有质点不能发生位移。从以上确定动力自由度的例题中可以看出：质点的个
4、数与自由度的数目不一定相同 与结构是静定的还是超静定的没有确定的关系。4从数学方面考虑振动位移 以 y（x，t）=nkkktx1),(代表结构中位置 x 处在时刻 t 时的位移反应。式中，),(txk为满足边界条件的一组正交函数，k为待定系数，称为广义坐标。振型分解法的思想即源出于此。一、单自由度体系的振动方程 本节概述单自由度体系振动方程的建立过程。基本原理是达朗贝尔原理，按动静法建立振动方程。考虑图示单质点的振动过程。杆件的刚度为 EI，质点的质量为m,时刻 t 质点的位移 y（t）。y(t)1.阻尼力 P(t)FD=-C)(ty&，称为粘滞阻尼力，阻尼力与运动方向相反。一切引起振动衰减的
5、因素均称为阻尼，包括 EI 材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力）节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 通过基础散失的能量 2弹性恢复力 FE=-K y(t)，K 为侧移刚度系数，弹性恢复力与运动方向相反。3惯性力 FI=)(tym&，)(ty&为质点运动加速度，惯性力与运动方向相反。4动力荷载 P(t)，直接作用在质点上，它与质点运动方向相同。5振动方程的建立 根据质点的受力平衡，写出平衡方程如下：FD FE FI P(t)FD+FE+FI+P(t)=0 即，m)(ty&+C)(ty&+K y(t)=P(t)-（1）此方程为二阶常系数非齐次微分方程。二、
6、建立单自由度体系的振动方程举例 本节主要学习微分方程的建立方法、各系数的求法。例题 1 建立下列结构振动体系的振动方程。横梁具有无限刚性，EI=。已知，3112LEIK=，LEIK42=，阻尼系数为 C，横梁具有分布质量Lmm=。K2 A B EI=D E F G EI=C K1 K1 L L L L L 解：1）动力自由度为 1，设 E 处的竖向位移是 y(t)x x E dxm G A dxm E y(t)y(t)R K1y(t)/2 R C)(ty&/3 2K1y(t)/3 图（a）图（b）2)考虑 EFG 部分的受力，取研究对象如图（a）所示；由MG=0 得：R 2L+K1Lty2)(
7、+xLtxydxmL )2)(20=0 -（a）3）考虑 ABDE 部分的受力，取研究对象如图（b）所示 由MA=0 得：R 3L K1LLty2)(2 CLty)(31&K2Lty3)(xxLtydxmL )3)(30=0-（b）由（a），（b）两式消去 R 后整理得：15L4)(tym&+CL3)(ty&+79EI)(ty=0 注意：振动方程中的)(ty仅仅是动力作用下产生的，不包括静位移。可人为)(ty是从静平衡位置算起的。以后，我们也只计算动位移。如下图所示的振动 m ys yd y(t)则，质点m 上，1）重力 W 2）弹性力 K y(t)=-k（ys+yd）3）惯性力-m)(ty&
8、=-m（)dsyy&+平衡方程：m（)dsyy&+k（ys+yd）=W 注意到：ys为静位移，则 W=kys 及sy&=0 ，上式为mdy&+kyd=0 这表明：以静平衡位置作为计算位移的起点，所得的方程与重力无关（对有阻尼振动及强迫振动也适用。例题 2 试建立图示结构的振动方程，质点的质量都是m y y Psint EI=常数 L L 解：1）动力自由度为 1，即质点（两个）的水平位移（忽略转动惯量及杆件的轴向变形）2）惯性力：-2 m)(ty&；弹性力：-K)(ty 3）侧移刚度 K 的求法 用位移法计算质点有侧移为 1 时的力 K，取半结构如图示，用剪力静定杆办法求解 1 K/2 6i/
9、L i r11 RP 6i 如图，RP=-Li 6，r11=7i 位移法方程：r11+RP=0 ，解得：=L76 作出弯矩图如下：B K/2 36i/7L2 VBA 48i/7L2 A 取横梁为研究对象，X=0，得：K=324LEI 4）振动方程-2 m)(ty&-K)(ty+Psint=0 即，2 m)(ty&+324LEI)(ty=Psint 一、无阻尼的自由振动 振动方程 )(tym&+K)(ty=0，写作：)(ty&+mK)(ty=0 ，记2=mK 又可写作：)(ty&+2)(ty=0 -（1）方程的解的形式为：)(ty=Acost+Bsint -（2）初始条件为：00)(ytyt=，
10、00)(vtyt=&，代入方程的解（2）中，得：)(ty=0ycost+0vsint -（3）二、有阻尼的自由振动 振动方程 )(tym&+C)(ty&+K)(ty=0，写作：)(ty&+mC)(ty&+mK)(ty=0 ，记2=mK ，2n=mC，又可写作：)(ty&+2n)(ty&+2)(ty=0 -（4）利用常数变易法，令)(ty=)(tSent 代入方程（4）中 得：)(tS&+（2 n2）S(t)=0 -（5）1当 n 时（强阻尼）方程（5）的解为：S(t)=A1shtn22+A2chtn22 从而，方程（4）的解为：)(ty=)(tSent=nte（A1shtn22+A2chtn2
11、2）-（6）2n=时（称为临界阻尼）由（5）式得：)(tS&=0 S(t)=B1+B2t )(ty=)(tSent=nte（B1+B2t）-（7）此时，令 nc r=mCcr2 ，Cc r=2m（此式为确定临界阻尼的公式）当为一般情况时，n=mC2=mCCCcrcr2=式中，=crCC 称为阻尼比。对钢筋混凝土结构 5%，一般取 3%对钢结构=1%2%3）当 n 时（弱阻尼）此时，记2d=22n，则（5）式可写成：)(tS&+2dS(t)=0 则，其解可仿（1），（2）式的形式，得：S(t)=Acosdt+Bsindt 从而，)(ty=nte（Acosdt+Bsindt）)(ty=te（Aco
12、sdt+Bsindt）-（8）初始条件：00)(ytyt=，00)(vtyt=&，代入方程的解（8）中，写成简洁的形式：)(ty=Atesin（dt+）三、无阻尼的强迫振动 振动方程：)(tym&+K)(ty=P（t）1瞬时冲击荷载作用时的强迫振动 特点：作用时间与系统的自振周期相比很小 P（t）t 时间内 P（t）可视为常数 设干扰力 P（t）作用于系统的时间为t t 由动量定理：t m（v-v0）=P（t-t0）若 t0=0 时 v0=0 则，v=mpt 于是，在（0，t）时间内系统产生的位移反应)(ty为：)(ty=dtmptt0=mpt22 由假设，干扰力作用的时间为t，则t 时间内系
13、统产生的速度反应和位移反应分别为：)(tv=mtp ，)(ty=mtp2)(2)(ty和)(tv比较是高阶无穷小量，故可认为：t 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为)(tv=mtp，初位移为)(ty=mtp2)(2=0的自由振动。由（3）式可知：)(ty=0ycost+0vsint=mtp sint -（9）若时间 t 不是从 0 开始，而是从开始的，则（9）式写为：)(ty=mtp sin（t-）-（10）2一般性动力荷载 P（t）作用于系统时 考虑 P（t）在（0，t）时间内作用于系统，P（t）认为是由无数个瞬时冲击荷载的叠加，如图。考虑由时刻开始，在 d时间内的位移反应，由（10）
14、式可得：0 +d t d)(ty=mdp)(sin（t-）则，在（0，t）时间内作用于系统，系统所产生的位移反应为：)(ty=tmdp0)(sin（t-）-（11）此式称为杜哈美积分（卷积、褶积）如果叠加自由振动部分，可得位移反应：)(ty=0ycost+0vsint+tmdp0)(sin（t-）-（12）但，通常情况下，自由振动部分由于阻尼的存在，一段时间后会消失而仅剩下特解部分。3突加长期常量荷载 以 P（t）=P 代入（11）式可得：)(ty=2mp（1-cost）=Kp（1-cost）P（t）=P =p（1-cost）=sy（1-cost）-（13）t 式中，sy=p 为静位移。显然，
15、maxy=2sy 定义：=syymax为动力系数。故，突加长期常量荷载的动力系数为 2 4突加短期常量荷载 P（t）t1 t 10 当 0tt1时，由（13）式得：)(ty=sy（1-cost）-（14）20 当 t1t 时，可看作是一个叠加的过程。由（13）式得：)(ty=sy（1-cost）-sy1-cos（t-t1）=2sysin21tsin)2(1tt -（15）讨论：当maxy发生时，sin21t=1 ，得：t1=2T（T 为系统的自振周期）。故，当 t12T时，最大位移（此时，t1=2T）maxy=2sy 当 t12T时，最大位移maxy=2sy sin21t 5简谐动力荷载 以
16、P（t）=Psint 代入（11）得：)(ty=m1tdtP0)(cossin=2mP2)(11(sint-sint)=)(tys(sint-sint)-（16）式中，)(tys=2mP 为静位移；=2)(11为动力系数（16）式由两部分组成：)(tys sint-由 P（t）引起，由振动系统产生，称为生态振动。)(tys sint-由 P（t）自身产生，称为稳态振动。生态振动由于阻尼的影响，较长时间后振动会消失，故，（16）式的稳态解为：)(ty=)(tys sint -（17）显然，最大位移反应仍然为动力系数与静位移的乘积。如果把当作横坐标，当作竖坐标，可画出动力系数谱曲线如下：3 2 1
17、 1，称为共振后区，为减小动力系数，可采取减小的方法-柔性方案 工程中，把 0.75 1.25 的区域称为共振区，设计时应避开。四、有阻尼的强迫振动（弱阻尼）振动方程：)(ty&+2)(ty&+2 y(t)=mtp)(与前节的讨论类似，也考虑如下的问题。1瞬时冲击荷载作用下的位移反应 在有阻尼的自由振动中我们得到其位移反应，即（8）式 )(ty=te（Acosdt+Bsindt）对作用时间为t 的瞬时冲击荷载作用下的位移反应可认为是初速度为mtp，初位移为 0 的自由振动，以此初始条件代入（8）式（上式），得：)(ty=dmttp)(te sindt 若 t 从开始，则上式写成 )(ty=dm
18、tp)()(tesind（t-）-（18）2任意动力荷载 p（t）作用时的位移反应 考虑从时刻开始，作用时间为 d的瞬时冲击荷载产生的位移反应，由（18）式，d)(ty=dmdp)()(tesind（t-）任意动力荷载 p（t）在（0，t）时间上作用时的位移反应可看作是上式的叠加 )(ty=dm1tdtdtpe0)()(sin)(-（19）3有初速度、初位移的强迫振动 自由振动的位移反应叠加（19）式即可)(ty=te（Acosdt+Bsindt）+dm1tdtdtpe0)()(sin)(4特例 10 突加长期常量荷载 以 p（t）=P 代入（19）式得：)(ty=)(tys 式中，)(tys
19、=2mP，=1-te（cosdt+dsindt）当 t=d时，max=1+de1+e 20 简谐动力荷载 Psint 以 p（t）=Psint 代入（19）式，或直接解下面的方程 )(ty&+2)(ty&+2y（t）=mPsint *齐次解：)(ty=te（Acosdt+Bsindt）*特解（稳态解）：y*（t）=B1cost +B2 sint 把特解代入（19）式，得系数 B1及 B2 B1=-mP2222224)(2+B2=mP22222224)(+*现讨论其稳态振动*令 B1=-Csin，B2=Ccos ，则：)(ty=Csin（t-）式中，C 为振幅，为相位角。=tg-1222，C=)
20、(tys 即，)(ty=)(tyssin（t-）-（*）式中，)(tys=2mP，=2222411+=f（，）给出不同的阻尼比，画出位移反应谱示意图如下：5 4 3 =0.05 2 =0.2 1 =0.25 /0.5 1.0 1.5 2.0 由示意图可见：随阻尼比的增大而下降较快，特别是在=1 附近 共振时=1，此时=21（不是最大值），max=2121，在=1 的左侧。当=时，=2 （*）式可写成共振时的位移反应 )(ty=-)(tyscost 此时，惯性力：FI=-)(tym&=m2)(tys cost =m2)(tys cost （以换）=11K)(tys cost 弹性力：FE=11K
21、)(ty=K11)(tys cost 阻尼力：FD=-C)(ty&=-C)(tyssint=-C)(tyssint =-2m)(tyssint =-2m21)(tyssint =-m2)(tyssint=-m22mPsint =-P sint 可见，共振时惯性力与弹性力平衡；阻尼力与外力（干扰力）平衡。若无阻尼，则无任何力与外力（干扰力）平衡，以致出现 y(t)趋于，产生共振。30 地震地面运动 如图，质点的绝对位移为 yg(t)+y(t)，则 y(t)惯性力 FI=-m（)()(tytyg&+）弹性力 FE=-K11 y(t)阻尼力 FD=-C)(ty&振动方程：m（)()(tytyg&+）
22、+C)(ty&+K11 y(t)=0 yg(t)整理：m)(ty&+C)(ty&+K11 y(t)=-)(tymg&或写成：)(ty&+2)(ty&+2 y(t)=-)(tyg&此式的解的形式为（19）式。例题 1 图示体系，不计梁重，弹簧的刚度 KN=312LEI，梁的抗弯刚度为 EI，求自振频率。EI KN m L/2 L/2 解：这是无阻尼的自由振动。P=1 振动方程：)(ty&+2)(ty=0 ，其中=mK=m1就是所求的频率。因而，只要求出质点振动的刚度 K 或柔度即可。本题求是方便的。在质点处作用单位力 P=1（惯性力为 1），则质点产生的竖向位移=NK1+EIL483 即，=EI
23、L4853，从而，=m1=3548mLEI 例题 2 图示结构，梁的刚度为 EI，弹簧的刚度 KN=36LEI，不计梁的自重，求自振频率。m KN L/3 2L/3 解：本题与例题 1 不同的是，质点作用单位力时不易求出位移，因为不易确定梁和弹簧各自的受力。故，本题采用刚度法求解。在质点施加力 K，使质点有单位位移。求出 K 即可。梁有单位位移时需施加的力 K1（用位移法求解）A C R B 27EI/4L2 K1 27EI/L2 变形图 M图（竖向位移为 1）计算出 R=-227LEI+2427LEI=-2481LEI 9EI/L r11 A B C 9EI/2L 27EI/2L2 m图（转
24、角为 1 时）M 图 计算得 r11=LEI9+LEI29=LEI227 位移法方程 r11+R=0 ，解得：=L23。作出 M 图如图。取图示研究对象，算得 K1=34243LEI VBA VB C 单位位移时弹簧的反力 K2=KN=36LEI K1 K=K1+K2=34267LEI 圆频率=mK=34267mLEI 例题 3 图示结构，AB 和 DE 杆的刚度均为 EI，而 BD 杆的刚度为无限刚性。B 和 D 处各有集中质量 m，试求结构的自振频率。A B D E C 3L/4 L/4 L/4 3L/4 解：1）动力自由度为 1 画出振动变形图如下：以刚性杆 BD 的转角)(t为变量建立
25、振动方程。质点位移)(ty=4)(tL 2）求转角)(t时需在 C 处施加的力矩。AB 杆的杆端弯矩和杆端剪力 MBA=-4i)(t-436Li4)(tL=-LEI316)(t-LEI38)(t=-LEI8)(t VBA=29160LEI)(t DE 杆的杆端弯矩和杆端剪力 MDE=-3i)(t-433Li4)(tL=-LEI316)(t VDE=3964LEI)(t VBA C VDE 3）取 BD 为研究对象，如图 MBA MDE MC=0，K+MBA+MDE-VBA4L-VDE4L=0 解得：K=LEI36704)(t，这便是弹性恢复力。4）振动方程：2m4)(tL&4L+LEI3670
26、4)(t=0 ，整理得：FI FI )(t&+391408mLEI)(t=0 5）由振动方程知，=391408mLEI=L38mLEI22 例题 4 如图，不计杆的自重，求自振频率。L EI=常数 m L L 变形图 解：1）动力自由度为 1，质点的水平振动。2）结构为超静定结构，求刚度宜用位移法，即求质点的侧移刚度。3）方法是先作出弯矩图。R=3i/L i 3EI/7L r11=7i K 3i/L 3i 9EI/7L 12EI/7L 3i M图 M图 M 图 4）解位移法方程可得=L73，作出 M 图如图。取水平梁的水平受力分析 0 K V=12EI/7L3 得：K=3712LEI ，从而：
27、=3712mLEI 例题 5 已知，K1=36LEI，K2=LEI3，EI=常数。求自振频率。K1 L K2 m L MP图 P=1 解：1）是超静定结构，本题用力法较简单，作 MP图如图示。4L/7 X=1 1 3L/7 4/7 M1图 M 图 2）11=EIL32+LLEIL1163+113EIL=EIL67 ，1P=EIL32+13LEIL=EIL322 解力法方程得：X=-74L，画出 M 图如图示。3）用 M 图与 MP两图图乘，（或 M 图自己与自己图乘）可得：=EIL723,从而=m1=327mLEI 例题 6 图示简支梁跨中有质量 m，支座 A 受动力矩 Msint 作用，不计
28、梁的质量。求质点的动位移和支座 A 处的动转角。A Msint m B C L/2 L/2 解：动荷载不作用在质点上，不能直接用公式，需建立振动方程。建立方程的依据：质点的位移由动力矩 Msint 和惯性力)(tym&共同产生。A 端的转角也由动力矩 Msint 和惯性力)(tym&共同产生。为此，求出动力矩为 1 及惯性力为 1 时在质点及 A 端处产生的位移及转角。P=1 M=1 L/4 1 M1图 M2图 11=EIL483 ，12=21=EIL162 ，22=EIL3 由叠加原理可得振动方程)(ty=11（)(tym&）+12 Msint -（1）)(tA=21（)(tym&）+22
29、Msint -（2）由（1）式得：)(ty&+2)(ty=mP*sint ，式中2=348mLEI ，P*=LM3 其稳态解：)(ty=2*mP211 sint=Sy sint -（3）式中，=211为动力系数。Sy=EIML162 为由 M 引起的质点静位移。把（3）式代入（2）中，得：)(tA=EIML3 sint=Ssint -（4）式中，=2211671 ，S=EIML3 为由 M 引起的 A 端静转角。例题 7 图示结构，梁的刚度为 EI，弹簧的刚度 KN=36LEI，不计梁的自重，=3489mLEI。求 B 点的最大动力位移反应。P sint A B C D KN L/3 L/3
30、L/3 解：在例 2 中，我们用刚度法求得 B 处的竖向刚度，这里再用力法求其柔度，并求动力荷载为 1 时在 B 处产生的竖向位移。1）求 B 处的柔度 P=1 2L/9 2L/9 X=1 MP图 M图“切断”弹簧后的结构作为基本结构，画出 MP图及M图。则，11=EIL486893 ，1P=EIL24343 ，解力法方程的 X=898，作出 M 图如下：P=1 18L/89 M 图 M 图与 MP图图乘即为所求的柔度*11=EIL26743 2）求动力荷载为 1 时在质点出产生的位移 即求解如下问题 P=1 2L/9 X=1 2L/9 MP图 M图 11=EIL486893 ，1P=EIL1
31、458213 ，解力法方程得：X=897，得 M 图如下：75L/801 171L/801 2L/9 M 图 M图 上 M 图与其右侧的M图图乘即得求动力荷载为 1 时在质点出产生的位移*21=EIL53473 3）振动方程)(ty=-m)(ty&*11+*21 P sint 代入*11，*21 得：)(ty&+2)(ty=mP*sint 式中，2=34267mLEI ，*P=87P 方程的解：)(ty=Sy sint 式中，=211=23 为动力系数，Sy=2*mP=EIPL53473)(maxty=Sy=EIPL35673 多自由度体系的自由振动 本节讨论多自由度体系的自由振动，主要讨论其
32、振动方程、振型方程、频率方程及振型图的画法。一、柔度法建立振动方程 m2 y2(t)（一）、两个质点的振动 考虑图示两自由度体系的自由振动，设时刻 t 质点 m1与质点 m2的位移 m1 y1(t)反应分别为)(1ty与)(2ty，则它们 都是由质点 1 与质点 2 的惯性力共同产生，依此建立柔度法方程如下：)(1ty=-m1)(1ty&11-m2)(2ty&12 -(1)(2ty=-m1)(1ty&21-m2)(2ty&22 -(2)式中，i j 为 j 质点的惯性力为 1 时在 i 质点处产生的位移。i，j=1，2 设方程（1），（2）的解的形式为：)(1ty=A1sin（t+）-(3)(
33、2ty=A2sin（t+）-(4)把（3），（4）代入（1），（2）式中，并记：=21 得：()()=+=+002222121121221111AmAmAmAm -（5）（5）式称为振型方程。考虑（5）式有非零解（否则，体系不振动），则需使，0222211122111=mmmm -（6）（6）式称为频率方程，方程（6）有两个不同实数根1与2 。记，1=11 2=21，则1称为第一频率或基本频率；则2称为第二频率，T1=12 ，T2=22 则 T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期。将=1 代入方程（5）中的任意一个方程，得到由于1而得的 A2与 A1的比值，记为：1121AA=222111mm ，相应与1（或1）的解可写作：)(1ty=A11sin（1t+）)(2ty=A21sin（1t+）显然，)()(12tyty=1121AA=222111mm=常数，这表示)(1ty与)(2ty
