1、 流体动力学及叶栅理论流体动力学及叶栅理论 2目目 录录 第 1 章 绪 论 1.1 流体的定义及特征 1.2 流体的连续介质假设 1.3 流体的密度和比容 1.4 流体的粘性 1.5 流体的压缩性和膨胀性 1.6 液体的表面张力 第 2 章 流体动力学基础 2.1 研究流体运动的方法 2.2 流体流动的一些基本概念 2.3 连续性微分方程 2.4 理想流体的运动微分方程及伯努利积分 2.5 定常流动总流的动量方程及其工程应用 2.6 动量矩方程 第 3 章 理想流体平面势流 3.1 流体微团运动分析 3.2 平面无旋流动 3.3 基本平面势流 3.4 势流叠加 第 4 章 旋涡运动理论 4.
2、1 概述 4.2 旋涡运动基本定理 4.3 旋涡的诱导速度 4.4 流体机械的涡旋流动 第 5 章 机翼及翼型特性 5.1 概 述 5.2 翼型绕流的实验结果 5.3 常见翼型 第 6 章 茹可夫斯基翼型 6.1 茹可夫斯基变换 6.2 圆柱绕流 6.3 绕流翼型流动的复势 6.4 绕翼型流动的速度场 6.5 翼型气动力特性 第 7 章 薄翼绕流及有限翼展机翼理论 7.1 薄翼绕流 7.2 有限翼展机翼理论 第 8 章 叶栅及叶栅特征方程 8.1 叶 栅 8.2 叶栅特征方程 8.3 解直列叶栅绕流的升力法 第 9 章 平面叶栅绕流求解方法 9.1 平面叶栅绕流的保角变换解法 9.2 平面叶栅
3、绕流的奇点分布解法 3第 5 章 机翼及翼型特性 5.1 概 述 机翼一词，最早出现于航空工程，指的是飞机翅膀。如今它可用以泛指相对于流体运动的各种升力装置。因此，流体机械中的工作轮叶片也可视为一个机翼。5.1.1 机翼的几何特性 工程上引用机翼主要是为了获取升力，但由于在流体中运动的物体，不可避免地会遭受到流体阻力的作用，因此对机翼性能的要求，首先就是尽可能大的升力 Fy和尽量小的阻力 Fx，也就是希望具有最佳的、阻力比值=Fy/Fx。这就要求机翼采取适当的几何形状，图 5-1 是一个低速机翼的一般外形图。后缘前缘翼梢 图 5-1 机翼外形图 图 5-2 翼型的几何形状 对亚声速绕流，机翼的
4、俯视投影以椭圆形状为最有利。但由于制造上的困难，实用上多采用与椭圆相近的形状，如图 5-1 所示的形状。机翼迎向来流的最前边沿，叫机翼前缘，背向流动的最后边沿，称为机翼后缘。机翼的左，右两端叫做翼梢。机翼顺着来流方向切下来的剖面，称为翼型。翼型通常都具有流线型外形(参看图 5-2)，头部圆滑，尾巴尖瘦,背(上弧)稍拱曲，至于腹(下弧)的形状则有凹的、凸的、也有半凹半凸及平的。1翼型几何参数 表征翼型几何特性的主要参数有下列几个：（1）翼弦 l 把联接翼型前。后缘点间的直线段，叫做该翼型的弦(见图 5-2)。对下凹翼型，过后缘引下弧的切线，再过前缘而作此切线的垂线，则也可把垂足至后缘点间切线段作
5、为翼弦。对下凸翼型只引用前一翼弦的定义。上面所定义的翼弦，叫做几何翼弦。（2）翼型厚度 d 垂直于翼弦而界于翼型上、下弧间直线的长度，叫翼型在该处的厚度，记成 d。翼型厚度中最大的，叫做翼型最大厚度，记成 dmax（有时省去下标就记成 d），通常以它作为翼型厚度的代表。实用上常引用这类参数对于弦长的相对值。把厚度 d 对弦长 l 的比值 d/l，称为相对厚度 d；最大厚度 dmax与弦长 l 的比值 dmax/l，叫做最大相对厚度maxd。翼型最大厚度点到前缘的距离用 xd表示，其相对值为lxxdd。这些相对值，习惯上常用百分数表示：%100ldd%100maxmaxldd 4%100lxxd
6、d（3）翼型弯度f 翼型厚度中点的联线，叫做翼型中线。中线到翼弦的拱高f，称为翼型弯度。弯度的最大值为fmax（有时省去下标就记成f)；最大弯度点至前缘的距离记为xf，它们的相对值分别记成：lffmaxmax，lxxff 像厚度一样，这些相对值习惯上常用百分数表示：%100maxmaxlff%100lxxff（4）前、后缘圆角半径和后缘角 翼型前，后缘的曲率半径，叫做翼型的圆角半径，分别以RL、RT记之。它们的相对值RL=RL/l、RT=RT/l，称为相对圆角半径。如尾部非圆形而为尖的，其尖锐程度以上、下弧在尾缘的切线交角表示，叫做翼型后缘角。以上是表示翼型几何特征的几个主要参数，它们决定了翼
7、型剖面的主要几何特性。2机翼几何参数 但要确定一个机翼的几何特性，还需要知道描写其俯视平面投影形状的参数。这些参数主要为：（1）机翼翼展b 机翼两梢之间的距离称为翼展，用符号b记之(见图5-1)。（6）机翼面积A 把机翼的俯视平面正投影面积定为机翼面积，用字母A代表。如图5-1为一机翼平面正投影图形，该机翼的面积可如下计算：bldbA0 式中：l翼弦长度。（7）平均翼弦lm bmldbbbAl01 机翼面积A与翼展b的比值，称为该机翼的平均翼弦ml；（8）展弦比 翼展与平均翼弦的比，叫做该机翼的展弦比，记为：Ablbm2 展弦比是影响机翼动力特性的重要参数。5.1.2 机翼的气动力特性 机翼与
8、绕流流体相互作用的力学特性，叫做机翼的气动力特性。机翼绕流时的受力特性，是工程上所最关心的主要问题。这个力可分解成一个与来流方向平行的阻力Fx和一个与来流方向垂直的升力Fy(图5-3)。升力与阻力的大小，首先取决于机翼与来流间的相对位置。它们相对位置是用无穷远来流方向和翼弦间的夹角来表示的，把夹角称为几何冲角，简称冲角。除此之外，升、阻力显然还应与来流 5情况(速度、密度)及机翼的几何特性有关。实际应用的升、阻力是通过实验得到的，为分析和利用实验数据方便起见，常将翼型所受的力表示成动压力的倍数形式。如对面积为A的机翼，若来流密度为，速度为v，则升、阻力可表示成：AvCFyY22 AvCFxX2
9、2 (5-1)上式中Cy，、Cx分别称为升力系数和阻力系数，其数值取决于冲角及机翼形状，通常由实验确定。工程应用上除升、阻力(总动力特性)外，有时对机翼上的压力分布(局部动力特性)也很关心，压力也取决于来流、冲角和机翼的形状。0 图 5-3 5.1.3 机翼绕流 根据所给的条件及要解决的问题的不同，工程上提出的机翼绕流问题大体可分为两大类：1给定机翼和无穷远来流的情况，要求确定出此机翼周围的绕流流场，并进而确定机翼的气动力特性。2提出对机翼气动力特性或对其周围流场的要求，希望设计出能满足所提要求的机翼几何形状。前一问题叫做正问题，后者则称为反问题。不论正问题还是反问题，从流体力学角度看，都需要
10、建立机翼几何参数与气动力学参数间的关系，在流体力学中，多从正问题着手。5.1.4 机翼分类 机翼的绕流情况是受机翼几何特性影响的，特别是翼展长度对机翼绕流的空间性质有决定性作用。根据翼展长度有限还是无限，把机翼分成：1无限翼展机翼 翼展长度无限，沿翼展翼型及冲角均相同的机翼，叫做无限翼展机翼(二元机翼)。这类机翼绕流，实际上是一个无穷长柱体的绕流，此类流动为平行于翼型平面的流动，因此是一个二元的平面流动。高比转数叶轮叶片的绕流属此平面流动。2有限翼展机翼 翼展长度有限、沿翼展翼型及冲角也可不同，这类机翼叫有限翼展机翼(三元机翼)。绕有限翼展机翼的流动，除沿翼型平面内的流动外，尚有垂直于该平面的
11、流动发生，这类流动是空间的、三元的流动。这类绕流如飞机机翼、开式螺旋桨及中比转数叶轮的叶片等的绕流。无限翼展机翼的绕流，可由理论分析而获得精确解答，这些解答还可以推广到有限翼展机翼的绕流中去，只要稍加修正也可提供相当精确的结果，因此在机翼理论中，首先应较详细地讨论无限翼展机翼的绕流。绕无限翼展机翼的流动为平面流动，因面只须沿翼展取一个单位厚度流层，研究翼展为单位1的、且沿翼展翼型不变的机翼绕流。显然，此机翼的几何特性完全由其翼型特性所决定，因而无限翼展机翼的绕流就常被叫做是翼型的绕流。65.2 翼型绕流的实验结果 在这一节里，介绍翼型气动方性能，随冲角及翼型几何形状变化的实验结果。5.2.1
12、冲角对翼型气动力性能的影响 5.2.1.1 翼型的升力与阻力 在单翼型绕流情况下，由于沿翼展取为单位长，从而机翼面积：llA1 升、阻力公式(5-1)对翼型可写成：lvCFyY22 lvCFxX22 (5-2)式中系数Cy、Cx是翼型几何形状及冲角的函数。对一定翼型在被绕流情况下，要确定其升、阻力，关键是确定相应的系数Cy、Cx的值。而Cy、Cx作为冲角的函数，其对应关系是经实验做出的，这种实验结果常与翼型几何数据汇集成翼型资料，以备工程技术上应用。Cy、Cx随变化的实验资料，常以两种实验曲线形式表出，即升、阻力系数曲线及升、阻力系数极曲线。1升、阻力系数曲线 通过实验测取Cy、Cx与的一系列
13、对应值，并在以Cy、Cx为纵轴，为横轴的平面直角坐标系里绘制Cy、Cx关系曲线(图5-4a)，则得升、阻力系数与冲角关系曲线。图 5-4a 给出了一种翼型的Cy、Cx曲线(Cx值巳被放大五倍)。从图上可以看出：（1）当冲角在-68之间时，升力系数曲线接近一条直线而阻力系数曲线则类似一条二次曲线，随着的增大Cy值成比例的上升，而Cx值则增加较缓慢，翼型通常就在这一范围工作，称为该翼型的工作区间。（2）当冲角取=-6时，升力系数为零、阻力系数为最小。这时的冲角(各翼型不一样)叫做无升力冲角或零冲角0。过后缘沿此方向作一直线（不计长度)，叫做该翼型的气动力翼弦(参看图5-3)。由此弦起算的冲角，称为
14、动力冲角。从动力学角度看，动力冲角比几何冲角更合理。（3）当冲角超过=-12后，Cy开始徒降，而Cx则大幅度增加，这是由于边界层与翼型表面分离所致。这个冲角叫临界冲角c，各翼型不一样，一般为十几度。超过临界冲角以后的分离绕流，叫做失速流动（图 5-5）。（a）升、阻力系数 （b）极曲线 图 5-4 7 图 5-5 流动分离 2升、阻力极曲线 一种实用上更为方便的表示翼型气动力特性的方法是：以冲角为参变数，做出CyCx曲线。这样，只要一条曲线就可包含上面两条曲线所给出的全部数据。此曲线就叫做翼型的极曲线(图 5-4b)。极曲线有以下特点：（1）引用极曲线，对于某冲角可立即确定出相应的升、阻力系数
15、Cy、Cx的值；（2）在原点和此曲线上任一点间联以直线，则此线长度代表该点冲角下的合力系数CR lvRCR221 式中R为合力，而且此直线与横轴夹角就等于合力与来流的夹角；（3）上述直线斜率为 XYxyFFCC 即为在该点冲角下工作时的翼型升阻比；（4）通过极曲线很容易确定翼型的最佳冲角与最大值对应的冲角。过原点作极曲线的切线，其切点所对应的冲角，就是最佳冲角。图 5-6 压力系数分布曲线 5.2.1.2 压力沿翼型表面的分布 工程上不仅很重视翼型上的总作用力，而且对压力沿翼型表面如何分布也很关心，特别是在水力机械中，压力沿叶片的分布情况，关系到叶轮汽蚀性能的好坏。8实用上压力大小，用以下公式
16、计算，常以未受扰动的无穷远来流压力p为计算参考点 221vCppp (5-3)式中 Cp无量纲系数，叫做压力系数。当一定翼型被绕流时，要通过上式计算翼型表面各点压力，则须先确定系数Cp，此系数Cp是翼型形状、冲角和翼型上各点位置的函数。这个函数关系通常由实验测出，汇成资料随附翼型，以备参考。图 5-6 给出了一个翼型表面在不同冲角下压力分布的系数曲线。图 5-6 所示曲线的形状是由于当翼型在其工作区间内运转时，由于上弧弯拱，流线挤拢，流速加大而压力则减小，以致低于无穷远来流压力；下弧较平乃至凹入，流线扩开，流速减小而压力则增大，以致超过无穷远来流压力。上述压力分布特征，随冲角加大而愈益增强。值
17、得注意的是翼型升力是由其表面上、下压差提供的。由曲线图5-6可以看出，翼型上表面的低压对压力差(从而升力)的贡献远远超过下表面的高压，而且最低压力发生在翼型上表面靠近头部的地方，汽蚀空泡就从这里发生，须特别当心。5.2.2 翼型几何形状对动力性能的影响 由于对工程实用上所遇到的翼型，尚无法对它们进行绕流的理论分析，也就没有得出计算其几何形状对气动力性能影响的一般公式。以下仅就一些实验结果说明两者间的定性关系。图 5-7 1弯度的影响 图5-7是对厚度相等而弯度不同的翼型的实验结果。由图上曲线可以看出，当翼型的其他几何参数保持不变而仅弯度增加时，曲线向上移动而形状保持不变，其斜率和临界冲角0也保
18、持不变。对同一冲角，随着弯度的增加，升、阻力都将显著增加，甚至阻力比升力增长更快，最佳升阻比值有所下降。升力加大，是由于弯度加大后将导致上、下弧的流速差加大，从而压力差也加大；弯度加大后，上弧流速加大，从而摩擦阻力上升，并且由于翼型迎流面积加大的结果，压差阻力也将加大，故弯度增加导致阻力的增加。2厚度的影响 图 5-8 是两个弯度相同、厚度不同的翼型的实验曲线。对同一弯度，较厚的翼型对应于同一冲角的升力有所提高。但较厚的翼型，对应于同一升力其阻力也较大，从而最佳升阻比有所降低。厚度增加，使上弧更拱，则其上流速加快，吸力加大，升力也随之加大；上弧流速增加则摩阻上升，厚翼迎流面积加大，则压差阻力提
19、高。图 5-9 表示了当增加最大厚度时，对称翼型升力系数曲线的变化。无升力角(0=0)保持不变，而曲线斜率减小，最大升力系数增加，同时阻力也增加。但是，当最大厚度的增加超过=12%15%时，最大升力系数反而下降。最大厚度位置dx后移，可以使最小压强点后移。图 5-10 给出了当最大厚度位置由dx=25%后移至 9dx=50%时的压力分布。根据边界层理论，最小压强点后移，可以延长层流区，称这种翼型为层流翼型。除了可以延长层流区之外，层流翼型的最小压强也可以较高一些(负值的绝对值减小)。这样，在水中运动时，可避免因低于饱和压强而产生空化现象。所以，以水绕流的翼型和舰船螺旋桨所用翼型的最大厚度位置往
20、往是比较靠后的。图 5-8 图 5-9 最大厚度对升力系数的影响(对称翼型)图 5-10 最大厚度位置对压力分布的影响 3前缘抬高度的影响 图 5-11 是对两个具有不同前缘抬高度的翼型的实验数据。前缘抬高的翼型，在负冲角时阻力变化不大；但前缘低垂的翼型，则在负冲角时会招致阻力的迅速增加。图 5-11 10 图 5-12 NACA 23012 的气动特性曲线及粗糙度影响 Re=6106 4表面粗糙度的影响 翼型表面粗糙度增加会导致阻力增加而升力降低。对这一点表现最敏感的是靠近前缘的上表面；相反，靠近尾缘的上表面则对这一点反应迟钝。5雷诺数的影响 对于翼型，雷诺数由下式定义：lURe 当雷诺数增
21、加时，最大升力系数也增加，如图5-12所示。因为这时翼型表面边界层中转捩点微量前移，使流动提早进入紊流边界层，因紊流边界层的脱离点靠后，就推迟了边界层脱离，缩小了尾流旋涡区。因同样原因，阻力系数也随雷诺数的增加而减小。图 5-12 NACA 631-212 的气动特性曲线及粗糙度影响 Re=6106 11 图 5-12 雷诺数对maxyC的影响 5.3 常见翼型 最早的机翼是模仿风筝的，在骨架上蒙布，基本上是平板。在实践中发现弯板比平板好，能用于较大的迎角范围。儒可夫斯基的机翼理论出来之后，才明确翼型应是圆头，应该有上、下缘翼面。圆头能适应于更大的迎角范围。在第一次世界大战期间，交战各国都在实
22、践中摸索出一些性能很好的翼型。譬如德国 Gottingen 翼型；英国的 RAF(Royal Air Force)-6 翼型(英国空军，后来改为 RAE(Royal Aircraft Estabilishment)翼型(皇家飞机研究院)；美国的 Clark-Y。当时它们都是最优秀的翼型。一战后，在 20 世纪 30 年代初期，美国的 NACA(National Advisory Committee for Aeronautics)翼型，后来为 NASA(National Aeronautics and Space Administration)；德国的 Gottingen 翼型，苏联的翼型(中
23、央空气流体研究院)，英国的 ARA-D 型，在其他工业部门使用的还有英国 C4等。5.3.1 NACA 四位数字翼型 美国国家航空咨询委员会(缩写为 NACA，现在 NASA)在 20 世纪 30 年代后期，对翼型的性能作了系统的研究，提出了 NACA 四位数翼族和五位数翼族。他们对翼型做了系统研究之后发现：(1)如果翼型不太厚，翼型的厚度和弯度作用可以分开来考虑；(2)各国从经验上获得的良好翼型，如将弯度改直，即改成对称翼型，且折算成同一相对厚度的话，其厚度分布几平是不谋而合的。由此提出当时认为是最佳的翼型厚度分布作为 NACA 翼型族的厚度分布。其分布公式为 )1015.02843.035
24、16.0126.02969.0(2.0432xxxxxcyt 前缘半径为 21019.1cr 中弧线取两段抛物线，在中弧线最高点二者相切。)2(22xpxpfyf px 2)21()1(22xpxppfyf px 式中f为中弧线最高点的纵坐标，p为中弧线最高点的弦向位置的横坐标，如图 64 所示。中弧线最高点的高度f(即弯度)和该点的弦向位置都是人为规定的。给f和p及厚度c以一系列的值便得一个翼型族。四位数翼型的表达方式是 12 NACA 其中：第一位数代表f，是弦长的百分数；第二位数代表p是弦长的十分数；最后两位数代表厚度，是弦长的百分数。例如NACA 0012是一个无弯度、厚12的对称翼型
25、。有现成实验数据NACA四位数翼族的翼型有6、8、9、10、12、15、13、2l、249 种厚度百分数。弯度有 0、1、23 种，中弧线最高点都在 40处。从这个四位数翼型的编号本身，即可直接看出翼型的某些几何特征：弯度，最大弯度位置以及厚度。5.3.2 NACA 五位数字翼族 五位数翼族的厚度分布仍是式(6.3)和式(6.4)，与四位数翼族不同的是中弧线。具体的数码意义如下：第一位数表示弯度，但不是一个直接的几何参数，而是通过设计升力系数来表达的，这个数乘以3/2 就等于设计升力系数的 10 倍；第二、第三两位数是 2p，以弦长的百分数来表示；最后两位数仍是百分厚度。NACA 例如 NAC
26、A 23012 这种翼型，它的设计升力系数是 23/200.30；p=1/230，即中弧线最高点的弦向位置在 15弦长处，厚度仍为 12。有现成实验数据的五位数翼族都是 230-系列的，设计升力系数都是 0.30，中弧线最高点的弦向位置的纵坐标p都在 15弦长处，厚度有 12、15、18、21、245 种。实验发现，中弧线最高点的弦向位置离开弦线中点，无论前移还是后移，对于提高翼型最大升力系数都有好处。但往后移，将产生很大的俯仰力矩，是不能用的；而往前移太多原来四位数字翼型所用的中弧线形式也不适合，所以改用另种中弧线形式。这种中弧线的特点是，其曲率从前缘起向后缘是逐渐减小的，略过最高点之后，曲
27、率降为零，此后直到后缘一直为零，或后半段是直线。基本方程为 )3(3(612231xmmmxxkyf mx 0 )1(6131xmkyf 0.1xm 式中，m、k1与p有关。表 6.1 中的k1是按升力系数 0.3 设计的。表 6.1 p m kl 0.05 0.058 361.4 0.10 0.126 51.64 0.15 0.2025 15.957 0.20 0.290 6.643 0.25 0.391 3.23 135.3.3 其他翼型 层流翼型 重新设计翼型的全部曲线，尽量使最低压强点向后移，以加长顺压梯度段的长度，减短逆压梯度段，以此来减小湍流摩阻所占的比例，从而大大降低翼型的总摩阻
28、，产生了名为层流翼型的翼族。层流翼型的厚度分布与中弧线是分开设计的。最大厚度点的弦向位置有 0.35、0.4、0.45、0.5 几种。中弧线的形状是按载荷分布设计的。NACA 6 系列层流翼型通常用一个六位数字的数来表示，还附带一个对中弧线的说明。如：NACA65,3-218，s=0.5，第一个数字 6 表示 6 系列；第二个数字 5 表示当它作对称翼型使用在零冲角时(即只有厚度作用)，最低压强点在 0.5 弦长处；逗号之后的 3 表示在设计升力系数3/10 的范围内，翼面上仍有有利的压强分布存在；-横之后的第一个数字是设计升力系数的 10 倍，现在本例的设计值CL0.2，而有利压强分布范围是
29、 0.23/10，即在-0.10.5 之间；最后的两位数字仍表示厚度的百分数。等式 s0.5 是说明中弧线的类型的，如无该式表示载荷从头到尾都是常数，s1.0。RAF6E 翼型 这种翼型是平底边翼型。C1arkY 翼型 这种翼型是平底边翼型。ARAD 翼型 超临界翼型 20 世纪 60 年代中期出现的超临界翼型,是由美 NASA 首先在实验室里提出来的,是为延缓翼型上局部超声速流的到来，且当有了局部超声速区之后，降低局部激波的损失，也就是延缓阻力大大增加的到来。翼型的前缘半径相当大,上翼面相当平，有点像普通有弯度的翼型的下表面，后缘有些下垂，以增大翼型后段上的升力。另外的优点是在低速中等迎角下
30、，阻力系数较低，CL,max比普通翼型高很多。图 5-13 超临界翼型 14第 6 章 茹可夫斯基翼型 对于翼型绕流的理论分析，分别介绍翼型绕流的保角变换与点奇点分布两种解法。保角变换的基本思想是：要想确定复平面z（物理平面）上的、绕给定翼型的流动，可借助一个复解析函数()zf，把流动变换到另一个复平面（辅助平面）上，平面上的对应绕流（可令为绕圆柱绕流），比z平面上原绕流简单而其绕流复位势W*()为已知。由方程组：*()()W zW ()zF 消去变量，即可得到z平面上绕翼型流动的复位势W(z)了。求解茹可夫斯基翼型绕流的变换函数是茹可夫斯基变换（函数）。6.1 茹可夫斯基变换 茹可夫斯基在1
31、910年提出了下列变换函数：212cz （c0）（6-1）6.1.1 变换图解 1把平面上无穷远点，变到z平面上无穷远点；2在除去=0的整个平面上解析；3在无穷远点的导数值等于1/2；4在其中任二点1、2，且12c2的区域中，变换是单叶（一一对应）的。经由上述变换，由平面一个点可得到z平面上一个对应像点。这个点可用简单的图解法得到。把变换分解为几个简单变换的组合：212z 21 21c 把与z平面迭在一起，并使坐标轴互相重合，则平面上任一点的像点可如下做出（图 6-1）：1任取一点P*()，其坐标为，联接OP*；2在线段OP*上取一点P1*，使得2*1*cPOPO；3作P1*关于实轴的对称点P
32、1*，即为复数1；4联接OP1*，做出平行四边形 OP*P1*P2*，则点P2*代表复数2；5联接OP2*，并取其中点得P，即为像点z。6.1.2 变换图形 1圆心在原点的圆（1）茹氏变换把平面上圆心在坐标原点、半径为c的圆周K1，变成z平面实轴上-c与c间的一直线段C1（图 6-2）。只要把K1上点的坐标ice代入茹氏变换，得 15cos2212ceeccecceziiii()(1)(2)(1)()图 6-1 茹可夫斯基变换作图法 图 6-2 半径为 c 的圆周变成一直线段 当是K1上（0）的点时，对应的像点z是实轴上线段C1上的一点。（2）茹氏变换把平面上圆心在坐标原点、但半径不等于c的圆
33、，变成z平面上以（c，0）为焦点的椭圆（图中K3椭圆C3），见图 6-3。-图 6-3 半径不为 c 的圆周变成椭圆 设是半径a（ac）、圆心坐标在原点的圆周上的一点，则可表示为：iae 代入，得 iiaecaez221 分开实部与虚部：cos212acax,sin212acay 16即 14141222222acayacax 这是z平面上椭圆的方程式,其长、短半轴分别为acaar221，acabr221；焦点为cbacrrr22。当rc，arc，brc，椭圆退化成线段-c，c。2圆心在坐标轴上的圆（1）圆心在负实轴上，并和K1圆相切于正实轴上的圆K2(由茹可夫斯基变换的连续性和关于坐标轴对称的保持性)，其像是介于C1和C3之间一条对称实轴的曲线C2。变换在=c的导数值为零，所以在该点变换不保角。实际上，变换式(6-1)可写成2zcczcc，在=c附近上式可近似表示为212zccc，因此在
