1、高等数学下册复习提要 张祥芝 1高等数学下册复习高等数学下册复习(2)-多元函数积分学多元函数积分学 本章知识点本章知识点:交换二重积分的积分次序（）利用极坐标计算二重积分（）先一后二或先二后一计算三重积分（）利用球坐标计算三重积分（）利用格林公式计算曲线积分（）利用高斯公式计算曲面积分（）第一类曲线、第一类曲面积分的计算（）利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分（）1.二重积分的计算二重积分的计算 例 1.计算d dDxyxy,其中D为直线4yx和抛物线22yx所围成的平面区域.析 1）选择积分次序要考虑到两个因素：被积函数和积分区域，其原则是：要使二个积分都能积分出来，且使计算尽量简单.2）通
2、过二重积分改变积分次序，其步骤是：由所给二次积分，写出D的不等式表示，还原为积分区域D，最好画出D的图形，再将D按照选定的次序重新表示为不等式形式，写出新次序的二次积分.3）极坐标的选取一般根据积分区域和被积函数的情况来决定.如果被积函数的形式为)(22yxf及积分区域为圆域时经常用极坐标.有时用直角坐标函数积不出也可采用极坐标.解 如果将D视为 X型域，应先对y积分，则需将D分为两部分，所以将D视为 Y型域，先对x积分.24:224yxyDy 于是 22424442222d dddd2yyyyDxxyxyyxyxyy 45464232221184d8902424324yyyy yyyy.例
3、2.计算 10sinddyyxyxx.解 因 sindyyxxx不能用初等函数形式表达出来，故无法计算.通过交换积分次序来改变这种状况，所给的二次积分是将D视为Y 型区域，即:01yxyDy，可见D是由xyo24xy224 xy高等数学下册复习提要 张祥芝 2,xy xy及0,1xx围成.现将D看作X 型区域，2:01xyxDx，于是，21112000sinsinsindddd()dyxyxxxxyxxyxxxxxx 1111100000sin dsin dcos|cos|cos1 sin1xxxxxxxxxdx .例 3.求 22()d dDxyyxy，其中 D 是由圆224xy和22(1)
4、1xy所围成的平面区域.解 将积分区域 D 表为大圆 D1=22(,)4x y xy减去小圆D2=22(,)(1)1x yxy，再利用对称性与极坐标变换即可。由对称性 d d0Dyxy.12222222d dd dd dDDDxyxyxyxyxyxy 3222cos2220002ddddrrrr 16(32).9 所以，I=16(32)9.练 1.计算yxyxDdd，其中D为由02,2,2xyxyxy所围成的第一象限部分 练 2.计算积分Dyexd22，其中D是由直线1y及xy 围成的区域.练 3.计算yxxyDddarctan，其中D为圆周422 yx和122 yx及直线xyy,0所围成的在
5、第一象限的区域.练 4.计算 yxyxDdd22，其中D为圆周xyx222所围成的在区域.2.三重积分的计算三重积分的计算 例 1.设实数0a，求由曲面222zxya与平面22zxa围成的区域的体积.xyo21D12Dxyo12xy xy 1高等数学下册复习提要 张祥芝 3析 计算三重积分的步骤一般为:1.画出积分区域图;2.根据被积函数及积分区域的类型确定坐标系(直角坐标、柱坐标、球坐标).如果区域是由上下两个曲面,侧面是柱面围成,一般用投影法(也叫先一后二法)计算;如果被积函数只含有一个变量,且垂直相应坐标轴的截面面积易求的,可以选用截面法(也叫先二后一法);如果被积函数含有两个变量的平方
6、和且相应的投影区域是圆域或圆域的一部分可以选用柱坐标;如果被积函数是三个变量的平方和,且积分区域是球面或锥面围成,可以选用球坐标.3.确定积分变量的上下限.4.计算各层积分.解 先求曲面与平面的交线在 XOY 面的投影,联立 22222zxyazxa，解得 22(1)1xy.所以积分区域在坐标面XOY上的投影为 22(,)(1)1xyDx yxy.那么，22222d ddd ddxyx avDxyaVxyzxyz 22(2)d dxyDxxyxy 1cos21sin200d(1)d.2xrty rttrrr 例 2.计算22()d ddxyxyz，其中是由2216()zxy，224()zxy和
7、64z所围成.解 在xOy面内的投影域为环域41622zyxz，且被积函数为22yx，可采用先二后一法计算：642220()d dddd dzDxyxyzzrrr 64223004ddd2560zzzrr.练 1.计算2d ddzxyz，其中是由2222xyzR与2222xyzRz所围的公共部分)0(R.xyzo2a1高等数学下册复习提要 张祥芝 4 练 2.计算d ddzxyz，其中是由222zxy与22zxy所围的区域.练 3.计算22()d ddxyxyz，其中是由22zxy与221zxy所围.3.第一类曲线与第一类曲面积分第一类曲线与第一类曲面积分 例 1.计算Lsyxxd)(22,其
8、中L是半圆周24xy.析 此题考察第一类曲线积分的计算方法,其计算步骤如下:1.画出积分曲线;2.写出积分曲线的参数方程及参数的变换范围;3.求出弧微分 dttytxdydxds2222)()(;4.将曲线积分转化为参数的定积分.5.在计算过程中注意被积函数是否有奇偶性,积分曲线是否有对称性,以便简化计算.解 方法一 利用曲线的参数方程转化为定积分.,0,sin2,cos2:ttytxL,所以 dttttdsyxxL02222)cos2()sin2()4cos2()(8)4cos2(20dtt.方法二 利用对称性 LLLLssyxsxsyxx8d40d)(dd)(2222.例 2.求面密度为
9、1 的锥面22yxz（)10z）对z轴的转动惯量.解 SyxSyxIzd)(d)(2222，曲面 1:,:2222yxDyxzxy，yxyxzzSyxdd2dd1d22 xyDzyxyxSyxIdd)(2d)(222222.练 1.计算 syxLd)32(22，其中)(2:22yxyxL.练 2.计算sxzyzxyLd)(，其中L为球面1222zyx与平面0zyx的交线.练 3.计算SSyxd)(2，其中0,0,:222ahzayxS.练 4.计算SSxyz d，其中10,:22zyxzS.高等数学下册复习提要 张祥芝 533xyo24.第二类曲线积分与格林公式第二类曲线积分与格林公式 例 1
10、.计算lxxyxyxxyyd)cose(d)3sine(2，其中 l 为由点)0,3(A经椭圆tytxsin2cos3 的上半弧到点)0,3(B再沿直线回到 A 的路径 析 1)这节的题目类型有:封闭曲线积分直接应用格林公式,积分与路径无关取新路径,求积分表达式的原函数,两类曲线积分的转化等.2)遇到第二类曲线的积分的题目,首选格林公式.3)当积分曲线不是封闭曲线时,可添加辅助线使成为封闭的.4)若被积函数在曲线所围的区域里有奇点时,不可使用格林公式.这时,一般用曲线的参数方程转化为定积分计算.有些情况也可做辅助线将奇点包围,然后在多连通区域上使用格林公式.5)注意检查积分曲线的封闭性,被积函
11、数的解析性,二重积分的正负号,函数QP,的次序以及其偏导数.解 xyQxyyPxxcose,3sine2，由格林公式 原式lxxyxyxxyyd)cose(d)3sine(2 Ddd yxyPxQ=Dxxyxyydd3cose()1cose(=Dyxdd2=23212=6.例 2.计算LyyxxyxyId)(d)21(22,其中L是从原点沿直线xy到点)1,1(的一段弧.若yyxxyxyd)(d)21(22是某个函数的全微分,求出一个这样的函数.解 10:,:xxyL,10222d)()21(xxxxxI 34)71(102dxx.因为)(2yxyPxQ,所以存在函数),(yxu使得yyxxy
12、xyd)(d)21(22是其全微分.下面用两种方法求),(yxu.高等数学下册复习提要 张祥芝 6方法一 yyxxyxyyxuyxd)(d)21(),(2),()0,0(2 yyxxxyd)(d002 32231yxyyxx.方法二 2,2222)()(2)(d)21(),(yxyxyxyuyxyyxxxyxyyxu 2,)(yy cyy331)(故cyxyyxxyxu32231),(.练 1计算lxxyyxyyd)21cose(d)2sine(2，其中 l 是上半圆周xyx222)0(y和 x 轴围成平面区域边界的正向 练 2.计算曲线积分Lyyxxyyxd)12cos(d)2sin(2其中
13、 L 为圆222Ryx上从点)0,(RA经第一象限到点),0(RB.练 3.计算lyxxyyx224dd，其中 l 为正向曲线1 yx 练4.计算 Lyyyexxxxyd)(d)sin3(2,其中L为曲线xxy22上从点)0,0(A到点)8,4(B的曲线段.练 5.计算 Lyxyyxxyx22d)(d)(,其中 L 是从点),(A沿曲线xycos到点)(B的曲线段.5.第二类曲面积分及高斯公式第二类曲面积分及高斯公式 例 1.计算yxzzyxzdddd)(2，其中是抛物面)(2122yxz介于平面0z和2z之间部分的下侧.析 1)遇到第二类曲面的积分的题目,首选高斯公式.2)当积分曲面不是封闭
14、曲面时,可添加辅助面使成为封闭的.高等数学下册复习提要 张祥芝 7xyzo21 3)若被积函数在曲面所围的区域里有奇点时,不可使用高斯公式.这时,一般用投影法.有些情况也可做辅助面将奇点包围,然后在多连通区域上使用高斯公式.4)做题步骤:一,画出积分区域图;二,检查积分曲面是否封闭,被积函数在封闭曲面所围区域上是否具有一阶连续偏导数.否则,做出相应的辅助面;三,使用高斯公式,将第二类曲面积分转化成三重积分,看清楚RQP,;四,检查是否忘了减掉辅助面的积分(如果有的话),检查三重积分的正负号与曲面的外内测是否对应.5）注意试用高斯公式后积分区域的变化.解 方法一 利用高斯高斯,将曲面积分转化为三
15、重积分.作辅助面40:),(,2221yxDyxzxy：,取上侧.记与1所围区域为,则 yxzzyxzdddd)(2 11dddd)(dddd)(22yxzzyxzyxzzyxz xyDyxzyxdd)2(ddd)1(1 8.方法二 投影法,将曲面积分转化成二重积分.先计算zyxzdd)(2.将分成前后两部分:2:),(,222121zyDzyyzxyz：,取前侧;2:),(,222122zyDzyyzxyz：,取后侧.zyxzdd)(2 11dd)(dd)(22zyxzzyxz yzyzDDzyyzzzyyzzdd)2(dd)2(2222 yzDzyyzdd)222 2222221d2d2y
16、zyzy 4.再计算yxzdd.高等数学下册复习提要 张祥芝 8oyx2yxzddxyDyxyxdd)(2221 20220dd21 4 所以 yxzzyxzdddd)(28)4(4.方法三 利用两类曲面积分之间的关系,将所有坐标面上的积分转化为一个坐标面上的积分.因为曲面下侧上任一点处的法向量为)1,()1,(yxzznyx，所以 221cosyxx，2211cosyx，由 cosddcosddcosddyxxzzy，知 yxxyxzyddddcoscosdd，所以 yxzzyxzdddd)(2 yxzxxzdd)(2 xyDyxyxxxyxdd)()()(222122221 xyDyxyx
17、xxyxdd)()()(222122221 xyDyxyxxdd)(22212 202212220d)cos(d 8.练 1.计 算 yxyxxzxzzyzyISdddddd22其 中S为 旋 转 抛 物 面高等数学下册复习提要 张祥芝 922yxz,圆柱面122 yx和坐标面在第一象限内所围成的空间区域的外侧.练2.计 算 yxzxzyzyxISdd)1(3dd2dd2233其 中S为 曲 面0,122zyxz的上侧.练 3.计算23222)(ddddddzyxyxzxzyzyx,其中 为任一不经过原点的闭曲面外侧.附 三重积分的例 附 三重积分的例 例 1计算 VVxyzd，V是由曲面12
18、22zyx所围成的立体区域.解 区域为：2210yxz，210:),(xyyxxy，10 x.于是 VVxyzd zzyxyyxxxd01d01d01222 yyxyxxxd)1(01d0121222.481d)1(018122xxx.例 2.VVzxyd32,V是由曲面,xyz xy，1x，0z所围的区域.解 由区域,0:xyzVxyyxxy0:),(,10 x,于是 VzzxyyyxxxVzxyd0d0d01d3232 yyxyxxxd410d01442yyxxxd0d014165 xxxd0171417536411312810128112dxx.例 3.求由曲面22yxz，2222yxz
19、，xy，2xy 所围立体的体积.xyz1o1xyzo111高等数学下册复习提要 张祥芝 10解 ),(2:2222yxzyxV xyxDyxxy2:),(，10 x,于是 VzyxyxyxxxVVd22dd01d22222,yyxxxxd)(d01222 353d)3134(01643xxxx.例 4 求VczbyaxIVd222222.其中VV 是椭球体 1222222czbyax.解 如果用投影法计算较复杂，因此用平面截割法.由 VczVbyVaxIVVVddd222222321III,下面我们来计算3I.由czcDyxVz,),(:,由2222221czbyax,有11122222222
20、czbyczax.zD的面积为222222111czabczbcza,于是 zczabczccyxczzccIDzd1ddd2222223 abcdzczzccab154022422.同理 abcI1541，abcI1542,故 xyzo24xyzo高等数学下册复习提要 张祥芝 11abcI54.方法二 用广义球坐标变换 令,cos,sinsin,cossinczbyax 有sin2abcJ.此时,10,0,20:V，于是 VczbyaxIVd222222 d01dsin0d024 abc abc54.例 5.计算VVzd，其中是由4222zyx及抛物面223yxz所围成（在抛物面内的那一部分
21、）的立体区域.解 按直角坐标系中的计算，由两曲面交线的方程为：.3,422222yxzzyx 这曲线在oxy平面上的投影曲线方程为.6,322zyx 由 此 可 知V在oxy平 面 的 投 影 区 域 为 圆 域322 yx.于是 VzzrrrrVzd314ddd22rrrd942103d0242 413d940353rrrr.例 6 计 算 密 度 函 数 为222zyx的 立 体V的 质 量M,V是 由 球 面xyzo高等数学下册复习提要 张祥芝 122222Rzyx,22yxz所围成的区域(锥面的内部).解 由题意知 VVzyxMd)(222.用球坐标变换,0,40,20:RV 于是 d
22、dsind404020RM ddsind404020R).251(525R 例 7.计算VVz d2,V是由曲面2222Rzyx与Rzzyx2222所围成的立体区域.解 方法一 用柱坐标变换 由.2,2222222RzzyxRzyx .)23(,2222RyxRz 所以积分区域为 20,220,:2222RrrRzrRRV VrRrRRRzzrrVz2222dddd2230202.480595R 方法二 用球坐标变换 由.2,2222222RzzyxRzyx .)23(,2222RyxRz xyzoxyzoR高等数学下册复习提要 张祥芝 13由,2121cosRR得,3 以锥面3为界上面的立体
23、为1V,下面的立体为2V.,21VVV ,0,30,20:1RV ,cos20,23,20:2RV 于是 VVvVzVzVz12ddd222 dcosdd2203020R dsindsincosdd22222cos202320R ddsincosdddsincosd4cos20223204023020RR dRR5522353cos)2(51sincos251)03cos31(2.48059160607555RRR 方法三 平面截割法 以平面2Rz 为界,上面的立体为3V，下面的立体为4V.VzVzzzVVVddd43222 ZZDDyxzzRyxzzRRddd02ddd222 zzRzzRz
24、zRzRRd)2(02d)(222222 548059R.例 8.计算 vxyz d)21(.其中是由曲面222yxaz与0z所围成的区域.高等数学下册复习提要 张祥芝 14解 由0,222zyxaz在 xoy 平面上的投影曲线为：222ayx，则 2220:yxazV,222:),(ayxyxxy.由V关于xOz平面对称，且xyz2关于y是奇函数，于是 vxyz d)21(vxyzvd2d xyzyxa0d0d222 xyyxad)(222 rrraad)(0d0222 20412124422aarra.例 9.已知均匀半球体的半径为a，在该半球体的底圆的一旁，拼接一个半径与球的半径相等，材
25、料相同的均匀圆柱体，使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合，为了使拼接后的整个立体重心恰是球心，问圆柱的高应为多少？解 如图建立坐标系，设所求的圆柱体的高度为H，使圆柱体与半球的底圆在 oxy 平面上，圆柱体的中心轴为 z 轴，设整个立体为，其体积为，重心坐标为（zyx,），要求 0zyx,由立体均质，且关于 xoz 平面及 yoz 平面对称，显然有0 xy，由 Vzzd1，由题意知0z，即 0dvz.xyzoxyzoaH高等数学下册复习提要 张祥芝 15设圆柱体与半球分别为21,，分别用柱坐标与球坐标，得 dsincos0d2d02d0d0d02d2azzrHraVz d0dsincos2d02d
26、0d0d024azzHrra 0)2(44)21(221212222422aHaaHa,得 aH22 就是所求圆柱的高.例 10.求高为h，半顶角为4，密度为（常数）的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.解 以对称轴为正轴，以顶点为原点，如图建立坐标系.由vyxIzd)(22,利用平面截割法 10:z,222:),(zyxDyxz，于是 yxyxzIZDzdd)(d0122rrrzzd0d02d012 dzzzz440124d4102d0155h.例 11.一个半径为 R,高为 h 的均均正圆柱体，在其对称轴上距上底为 a 处有一质量为 m 的质点，试求圆柱体与质点之间引力.解 如图建立坐标系.由
27、d)(2/3222zyxxkmFx,由关于 yoz 平面对称，被积函数关于 x 为奇函数，有0 xF，同理0yF.d)(2/3222zyxzkmFz,用柱坐标变换 xyzoh4xyzoa高等数学下册复习提要 张祥芝 16zzrzhaarrRkmFzd)()(d0d022/322 drhaazrrRkm)()(022122 rhararrRkmd)()(0221222122 haRhaRkm2222)(2.则引力 kFzF.例 12.设lI为物体对于某轴l的转动惯量，0lI为对于平行于l并通过物体重心的轴0l的转动惯量，d为轴l与0l之间的距离，M 为物体的质量.证明 20MdIIll.证 以重心坐标原点 O，z 轴与0l重合，l与 Oxy 平面的 交点为)0,(00yx，如右图所示.vzyxyyxxIld),()()(2020 vzyxyxvzyxyxd),()(d),()(202022 vzyxyyvzyxxxd),(2d),(200.由于重心在原点，故0 x，0y，由 0d),(1vzyxxMx，有 0d),(vzyxx.由 0d),(1vzyxyMy，有 0d),(vzyxy.并且vzyxMd),(，20202yxd 所以有 20MdIIll.xyzo0y0 xl0l
