1、XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 1 高级宏观经济学笔记 高级宏观经济学笔记(v1.0)(v1.0)徐 高 1 2003 年 11 月 1 Xu_ XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 2第一部分第一部分 经济增长经济增长 1Solow 增长模型增长模型()()(),()(tLtAtKFtY=(1.1)此式可写为：)(kfy=2)()(tnLtL=&,)()(tgAtA=&,)()()(tKtsYtK=&(1.2)则 ()()()()(tkgntksftk+=&(1.3)实际投资sf(k)持平投资(n+g+)kk*每有效劳力的投资k 图 1.1 Solow 增长模型 黄金率：黄金率
2、：()*)(kgnkfc+=(1.4)()()sgnskgngnskfsc+=),(),(*黄金水平的资本存量*GRk应使()+=gngnskfGR),(*(1.5)数量分析之长期的影响：数量分析之长期的影响：()(),(),(*gnskgngnsksf+=()skgnkfskkf s+=+*)()(2其中：ALKk=,ALYy=,()1,)(KFkf=。)(kf满足稻田（Inada）条件：=)(lim0kfk及0)(lim=kfk XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 3()()(*kf sgnkfsk+=(1.6)()()()()(*kf sgnkfkfskkfsy+=(1.7)又)(
3、)()(*kfkfkkK=为在*kk=时的资本产出弹性，在*kk=时()*)(kgnksf+=故()(1)()()(1)()()()()()(*kkkfkfkkfkfkkf sgnkfkfkfssyysKK=+=(1.8)数量分析之收敛速度：数量分析之收敛速度：资本存量的增长速度是资本存量的函数，写为)(kkk&=将其在*k处展开成一阶泰勒级数为()*)(kkkkkkkk=&(1.9)令()*kkkkk=&则()()*ktktk=&(1.10)()()*0kkektkt+()()()()()()(*kfkfkgngngnkf skkkkk+=+=&()+=gnkK)(1*(1.11)由上二式可
4、以估算收敛的速度。增长计量（增长计量（Growth Accounting）：）：)()()()()()()()()()(tAtAtYtLtLtYtKtKtYtY&+=(1.12)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(tAtAtAtYtYtAtLtLtLtYtYtLtKtKtKtYtYtKtYtY&+=)()()()()()()(tRtLtLttKtKtLK+&(1.13)XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 4)()()()()()()()()()(tRtLtLtKtKttLtLtYtYK+=&3 (1.14)运用上式可以将每人的增长分解为资本增长的
5、贡献和“Solow 剩余”。2Ramsey-Cass-koopmans 模型模型 2.1 假设假设 厂商厂商：有大量同样的厂商，每一厂商的生产函数均为 Y=F(K,AL)。生产函数的设定与 Solow模型中相同。见式(2.2)(2.3)及注释 1，但资本折旧为零。家庭家庭：家庭的效用函数为 dtHtLtCueUtt)()(0=(2.1)=1)()(1tCtCu 4，0，()01gn (2.2)(tC是每人的消费，)(tL是经济体中的总人口，H 是经济中的家庭数，为贴现率。2.2 厂商与家庭的行为厂商与家庭的行为 厂商：厂商：真实利息率为)(),()(tkfKALKFtr=(2.3)真实工资率为
6、)()()()(),()(tkftktkftALALKFtW=(2.4)每有效劳力(effective labor)的工资为)()()()()()(tkftktkftAtWtw=(2.5)家庭的预算约束：家庭的预算约束：=+0)(0)()()()0()()(ttRttRdtHtLtWeHKdtHtLtCe (2.6)其中=tdrtR0)()(在时刻 s 家庭的资本拥有量为 =+=0)()()()()()()0()(ttRsRsRdtHtLtCtWeHKeHsK (2.7)则家庭的预算约束又可写为 0)(lim)(HsKesRs (2.8)家庭的效用最大化：家庭的效用最大化：3 这里的推导用到了
7、1)()(=+ttKL 4 这种效用函数被称为 Constant-relative-risk-aversion（或 CRRA）效用函数 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 5 设)(tc为每有效劳力的消费，则每人的消费)()()(tctAtC=，则 ()=1)()0(1)()0(1)()(1)(1111111tceAtceAtctAtCgtgt (2.9)将上式带入效用函数(2.1)得 ()=0111011)()0()0()(1)(tntgttttdttceeeHLAdtHtLtCeU =011)(ttdttce (2.10)其中HLAB)0()0(1，()gn1 将(2.5)式除以HL
8、A)0()0(可得新的预算约束为 ()()=+=+0)(0)()()0()(ttgntRttgntRdtetwekdtetce (2.11)家庭的行为：家庭的行为：家庭选择)(tc的路径以最大化在(2.11)约束下的效用(2.10)。建立 Lagrangian 函数如下求解最大化问题 =011)(ttdttceBL()()+=+=+0)(0)()()()0(ttgntRttgntRdtetcedtetwek (2.12)由一阶条件可得5 ()tgntRteetcBetcL+=)()(0)(2.13)对上式(2.13)取对数得 ()()tgndrtgntRtctBt+=+=0)(ln)(ln)(
9、lnln (2.14)将上式(2.14)左右两边对 t 求导得 ()gntrtctc+=)()()(&(2.15)即 gtrgntrtctc=)()()()(&(2.16)5 这里采用的方法，即不考虑积分符号，有些不正规。正规的做法应采用变分法，但在这里变分法实际上简化成了我们这里使用的方法。XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 62.3 经济体的动态经济体的动态 c 的变化：c 的变化：由于所有的家庭都是一样的，故式(2.16)实际上显示了整个经济体的消费的变化。将利息的表达式(2.3)带入(2.16)得 gtkftctc=)()()(&(2.17)k 的变化：k 的变化：k 的变化应为
10、实际投资减去持平投资(n+g)k ()()()()(tkgntctkftk+=&(2.18)dc/dt=0dk/dt=0Ekck(0)k*E1E2saddle pathk*1贴现率下降政府购买永久增加 图 2.1 k、c 的变化，鞍线及贴现率及政府购买的影响 经济的动态：经济的动态：经济的动态可由图 2.1 显示。令0=c&及0=k&可分别得到图中的竖线和弧线。图中的红色箭头显示了 c 与 k 的变化趋势。任给经济体的初始资本存量（每有效劳力），由图中可见，消费只能取 k(0)线与鞍线交点处的值，否则经济体会要么资本趋向于零，要么消费趋向于零。最终，经济体会收敛到 E 点的平衡状态上，c 与
11、k 再也不发生变化，达到平衡增长路径。2.4 平衡增长路径平衡增长路径 福利福利:由于 Ramsey-Cass-Koopmans 模型的条件满足第一福利公理，因此，在该模型中的均衡是帕累拖有效的（Pareto-efficient）。平衡增长路径的特征平衡增长路径的特征 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 7 当 Ramsey-Cass-Koopmans 模型收敛到 E 点时，模型的表现行为与 Solow 模型一致。每有效劳力的资本、产出和消费保持不变；总资本、总产出和总消费以(n+g)的速率增长；人均的资本、产出和消费以 g 的速率增长。黄金率的资本存量（Golden-Rule Leve
12、l of Capital）黄金率的资本存量（Golden-Rule Level of Capital）在 Ramsey-Cass-Koopmans 模型中，资本存量高于黄金率水平的平衡增长路径是不可能的。由第一章的式(1.5)可知：gngnkfGR+=+=)(6 (2.19)将0=c&带入(2.17)式可得 gkf+=)(*(2.20)(2.20)式减去(2.19)式并带入(2.2)式中的假设得()01)()(*=gnkfkfGR (2.21)又)(f是减函数，故 GRkk，1 (3.1)其它假设有),(ttttLAKFY=，()11+=ttAgA，)(ttkfr=，)()(ttttkfkkf
13、w=每人在其生命的第一阶段挣钱并消费，在第二阶段消费其前一阶段剩余的财富及财富所得的利息。3.2 家庭的行为家庭的行为 出生于 t 的人的第二阶段的消费为 ()()tttttCAwrC11121+=+(3.2)即 tttttwACrC=+121111 (3.3)家庭要最大化其在(3.3)约束下的效用(3.1)+=+121111211111111tttttttCrCwACCL (3.4)一阶条件为 =ttCC110L (3.5)1121211110+=+=tttrCCL (3.6)解得 1111211+=+tttrCC (3.7)将上式(3.7)带入约束(3.3)得 ()()()()ttttwA
14、rC+=11111111 (3.8)则收入中被存起来的比例为()()()()+=111111)(rrs (3.9)XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 9 则 ttttwArsC)(111+=(3.10)3.3 经济体的动态经济体的动态 k 的变化：k 的变化：tttttwALrsK)(11+=(3.11)将上式左右同除以11+ttLA得()()trtwrsgnk)(11111+=(3.12)再带入1+tr与tw的表达示得 ()()()()(11111tttttkfkkfkfsgnk+=+(3.13)上式(3.13)表明了1+tk是tk的隐函数。当tk达到ttkk=+1时达到平衡状态，k
15、再不改变。对数效用函数与 Cobb-Douglas 生产函数 对数效用函数与 Cobb-Douglas 生产函数 设+=21)(1srs 设()kwkkf=1)(则()()()ttkgnk+=+1211111 (3.14)在此简化条件下，经济体动态可由图 2.2 表示。XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 10k0k1k1k2k*Oldktkt+145贴现率下降政府购买的永久上升k*New1k*New2 图 2.2 k 的变化及贴现率和政府购买的影响 3.4 贴现率与政府购买的影响贴现率与政府购买的影响 如图 2.2 所示，贴现率的下降和政府购买的永久上升分别表现为曲线的上升和下降。4研发
16、模型研发模型 4.1 分析框架与假设分析框架与假设 需要将研发（R&D）部门及技术的进步率内生如模型中。7 ()()=1)(1)()(1)(tLatAtKatYLK，10B，0，0 (4.2)()(tsYtK=&(4.3)()(tnLtL=&，0n (4.4)7 在这个模型中有两个重要的简化。第一，研发部门和生产部门均为标准化的 Cobb-Douglas 生产函数；第二，储蓄率、投入研发部门的资本比例和劳力比例均外生且恒定，分别为 s、aK和 aL。XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 114.2 知识与资本的变化知识与资本的变化 将(4.1)带入(4.3)得 ()()=111)()()(
17、11)(tLtAtKaastKLK&(4.5)将上式除以 K(t)，并设()()111LKKaasc得 =1)()()()()()(tKtLtActKtKtgKK&(4.6)对上式求对数并对时间求导得 ()()(1)()(tgntgtgtgKAK+=&(4.7)同理，(4.2)除以 A(t)，并设LKAaBac 1)()()()()()(=tAtLtKctAtAtgAA&(4.8)求对数并对时间求导得 ()(1)()()(tgntgtgtgAKAA+=&(4.9)分别将0)(=tgK&与0)(=tgA&带入式(4.7)与(4.9)得 nggAK+=，nggAK=1 (4.10)(dgK/dt0
18、)n0gAgKgKgA0-n/dgA/dt=0(dgA/dt0)(dgA/dt0)斜率=1斜率=（1-)/(a)(b)图 4.1 gK与 gA动态相图 在知识的生产函数(4.2)中，K 与 A 的规模收益的阶数()+，也即图 4.1 中0)(=tgK&XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 12与0)(=tgA&两直线斜率的大小关系决定了经济体的状况。第一种情况：第一种情况：1，经济体将会最终收敛到 E 点。可以解出，在 E 点 ()ngA+=1*，nggAK+=*(4.11)在这种情况下，当经济达到平衡状态，储蓄率 s，投入 R&D 的资本和人力比例 aK和 aL均对长期增长没有任何影响。
19、gKgKgAgA00nndgA/dt=0dgA/dt=0dgK/dt=0dgK/dt=0-n/-n/g*Kg*AE(a)+1图 4.2 1+时的相图 第二种情况：第二种情况：1+如图 4.2(b)所示。在此时，经济体将最终进入两直线所夹的区域。资本和知识的增加速度会越来越快，直至无穷大。在这种情况下储蓄率 s 的增大会使经济的发展速度更大。第三种情况：第三种情况：1=+当 n 不为零时，见图 4.3（a）。此时的情况与1+情况类似。当 n 为零时，两直线重合，见图 4.3（b）。在这种情况下经济体将会收敛到一个平衡的增长路径上（收敛到直线上）。但具体将是哪个路径（直线上的哪一点）则无法得知。X
20、Gs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 13gKgKgAgA00ndgA/dt=0dgK/dt=dgA/dt=0dgK/dt=0-n/(a)(b)图 4.3 1=+时的相图 4.3 “干中学”与“干中学”与 AK 模型模型 干中学：知识的积累是一般的生产活动的副产物。=1)()()()(tLtAtKtY (4.12)()(tBKtA=，0B，0 (4.13)式(4.12)(4.13)与描述资本和劳力积累的式(4.3)(4.4)一起刻画了这个经济的特征。将(4.13)代入(4.12)得 ()=111)()()()(tLtKBtKtY (4.14)()=111)()()()(tLtKtKsBtK&
21、(4.15)与 4.2 节中的分析类似，这里的增长情况也可由()+1与 1 的大小关系（等价于与 1 的大小关系）分为三类：1时，将会有爆炸性的增长；1=时，如果 n0 则为爆炸性增长，如 n=0，则式（4.14）化为 )()(tbKtY=，11LBb (4.16)()(tsbKtK=&(4.17)这是又一个长期增长内生并决定于 s 的模型。一般将此模型中的 b 写成 A，称此模型为“Y=AK”模型（AK 模型）。XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 145国家间的收入差距国家间的收入差距 经济增长研究的一个根本的目标就是理解在不同国家间人均收入的巨大差异。5.1 扩展的扩展的 Solow
22、 模型：包含人力资本模型：包含人力资本 假定：假定：=1)()()()(tHtAtKtY (5.1)其中 Y，K 与 A 与 Solow 模型中的设定一样。H 是所有工人提供的总的劳力服务（labor service）。其中即包括原始劳力（raw labor，人天生就有的能力），以及人力资本（human capital，后天习得的技能）。)()()(tKtsYtK=&(5.2)()(tgAtA=&，)()(tnLtL=&(5.3)为了简化，假定所有的工人都受了相同年限 E 的教育)()()(EGtLtH=(5.4)其中)(G是人力资本受教育年限 E 影响的函数。8 EeEG=)(，0 (5.5
23、)模型的分析：模型的分析：定义 k、y 分别为每有效劳力服务的物质资本量和产出 )()()()()(tLEGtAtKtk=(5.6)()()()()()(tLEGtAtYtkfty=(5.7)()()()()()()()(tkgntsktkgntksftk+=+=&(5.8)经济体将收敛至0=k&，此时+=11*gnsk (5.9)在平衡增长路径上，人均产出将以g的速率增长。此模型中，s 变化的影响与 Solow 模型中完全一样。在平衡增长路径上，E 的增长对人均产出的影响幅度与它对 G(E)的影响幅度一样。8 0)(G，0)(b (6.2)11 0)(,)0(,0,0=iiiiiuuuu X
24、Gs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 19 ntNNt+=ln，n (6.3)()=1ttttLAKY，10 (6.4)tttttttttKGCYKKIKK+=+=+1 (6.5)()()tttttttttLYALAKLYw=11 (6.6)=ttttttttKYKLAKYr1 (6.7)以上为模型的基本假设。12 为在模型中引入随机性，设 ttAgtAAln+=(6.8)tAtAtAA,1+=，11A (6.9)()ttGtgnGGln+=13 (6.10)tGtGtGG,1+=，11G (6.11)其中tA,与tG,为白噪声干扰。6.2 家庭的行为家庭的行为 劳动力提供的跨期替代劳动力提
25、供的跨期替代 设家庭生存两期，没有初始的财富，只有一个成员。故家庭的生存期预算约束为 2211211111lwrlwcrc+=+(6.12)()()22111lnln1lnlnlbcelbc+=L +2122111111crclwrlw (6.13)解出()12211111wwrell+=(6.14)在不确定下的家庭最优化在不确定下的家庭最优化 由式（6.1）与（6.2）可得 12 一般的 RBC 模型不能得出简洁的封闭解。为了简化分析，常将模型设定为对数效用函数和 CD 生产函数。13 每人的政府购买的增长率应为人口和科技的增长率之和。否则，随时间的增长，政府购买会变得非常大或非常小。XGs
26、“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 20()=+=01lnlntttttHNlbceU (6.15)在t时期，每成员消费的边际效用为()()tttcHNe1 在t时期，每成员消费减少c，则在1+t时期，每成员消费可增加()cretn+11 如果家庭的行为最优，则它减少一点成员的平均消费c，并用之来增加下一期的消费，应使家庭的预期效用不变。又设tE为家庭在时期t时的预期，则 14 ()()crceHNeEccHNettntttttt+=+111111 (6.16)由于()()ntteHNe+11为非随机，且ntteNN=+1，得 ()+=+11111ttttrcEec (6.17)消费与劳动之间
27、的替代消费与劳动之间的替代 类似上一小节的推导，可得 lwcHNellbHNettttttt=11 (6.18)解出 bwlcttt=1 (6.19)6.3 一个特别的模型一个特别的模型 简化假设简化假设 6.1 节中给出的模型没有解析解。因此作简化：没有政府，折旧为 100%。则 tttCYK=+1 (6.20)ttttttKYKLAr=+11 (6.21)解模型解模型 解模型的过程中，注意力放在两个变量上：每人的劳动l，与产出中被储蓄起来的部分，s。基本的策略是，将方程写为对数线性形式，用()Ys1代换C。依此策略将式（6.17）改写为 14 更正规的做法是用动态规划。但用动态规划的结果也
28、为式（6.17）。XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 21 ()()+=+111111ln1lnttttttttNYsrENYs (6.22)将（6.21）及tttttYsCYK=+1代入（6.22），并注意下标为t的变量可以从期望符号中提出，得 ()tttNYslnln1ln+=+111lnlnlnlnlntttttsEYsnN (6.23)（6.23）化简为 ()+=+111lnln1lnlnttttsEnss (6.24)由于在（6.24）中没有技术（A）与资本（K）。于是将有一个定值s满足式（6.24）式。设s为某定值s，则1+ts也就不是不确定的了，（6.24）式可被化为 +=
29、nslnln，或=nes (6.25)将()tttttNYsNCc1=代入（6.19）得 ()()bwlNYsttttlnln1ln1ln=(6.26)将（6.6）式代入上式得 ()()tttlNYs+1lnlnln1ln ()bNlYtttlnlnlnln1ln+=(6.27)化简为 ()()()bsllttln1ln1ln1lnln=(6.28)得()()lsblt111+=(6.29)讨论讨论 在 RBC 模型中，经济是瓦尔拉斯型（Walrasian）的，它的波动是对冲击的最优反应。因此，RBC 模型的最大的含义就是：经济的波动并非由于市场失灵或是政府的干预，而是代表了时际的帕累脱（Pa
30、reto）最优。将1=ttYsK与ttNlL=代入对数形式的生产函数中可得()()ttttNlAYsYlnlnln1lnlnln1+=(6.30)XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 22()()()()()ntNlAgtAYstt+=ln111lnln1（6.30）式中右侧不遵循确定路径的只有1lntY与()tA1两项，故（6.30）式可重写为()tttAYY11+=(6.31)其中tY为Yln与如果gtAAt+=ln时Yln的值之间的差 由（6.31）可求出()2111=tttYYA (6.31)将tA的表达示（6.9）代入上式可得()()tAtAtAtYYY,211+=(6.32)于
31、是，产出的对数与其一般路径的差，遵循一个二阶自回归过程。在这个模型中，瞬时的技术冲击并不能转变成为长时间的产出运动。虽然这个模型的模拟结果与实际情况有些吻合，但也具有相当多的不符合的地方。如在该模型中投资是恒定的，与有较大波动的投资的实际情况不符；又如该模型说明实际工资应是完全顺周期的，而实际情况是实际工资只是中等程度上顺周期的。通过对这个模型引入低于 100%的折旧率和政府购买的冲击，可以改善该模型对就业、储蓄和实际工资的预测能力。6.4 解一般的模型解一般的模型 总览总览 本章 6.1 节给出的模型是无法给出解析解的。几乎所有的 RBC 模型都是如此。为了研究一般情况下的模型，采用如下方法
32、：将模型中的变量的实际值与其在平衡增长路径上（没有冲击时）的值的差，写为对数形式，并用一阶 Taylor 展开加以近似。进而对近似的模型的性质加以研究。围绕平衡增长路径对模型进行对数线性化围绕平衡增长路径对模型进行对数线性化 在任何时期，经济体的状态由继承的上一期的资本存量、现期的技术和政府购买决定。模型中两个内生的变量是每期的消费与就业。将模型在非随机的平衡增长路径附近对数线性化得 tCGtCAtCKtGaAaKaC+(6.33)tLGtLAtLKtGaAaKaL+(6.34)上二式中，变量头上的波浪线（）表明这是变量的对数值与其在平衡增长路径上的值的对数之间的差。式中的各个 a 为模型中各
33、参数的函数。近似后的模型（6.33）（6.34）应满足式（6.17）与（6.19）。由此，可以解出各个 a 的值。期内的一阶条件期内的一阶条件 将（6.6）代入（6.19）并取对数得 XGs“高级宏观经济学(2e)”学习笔记 23()()tttttLKAblclnlnln11ln1lnln+=(6.35)式（6.35）右侧的实际值与其平衡增长路径的值之差为()tttLKA1+。注意到ttCc=及ttLl=。等式左侧对tcln求导为 1，对tlln求导在*llt=处的值为()*1ll。其中*l为在平衡增长路径上l的值。故（6.35）可化为()tttttLKALllC11*+=+(6.36)将（6.33）与（6.34）代入（6.36）得()tLGtLAtLKtCGtCAtCKGaAaKallGaAaKa1*+()ttAK1+=(6.37)由（6.37）式中左右两边对应系数应相等可得=+LKCK
