1、第一章第一章 绪论（绪论（1212）1、设0 x，x 的相对误差为，求xln的误差。解设0*x为x的近似值，则有相对误差为)(*xr，绝对误差为*)(xx，从而xln的误差为*1)()(ln)(lnxxxxx，相对误差为*lnln)(ln)(lnxxxxr。2、设 x 的相对误差为 2%，求nx的相对误差。解设*x为x的近似值，则有相对误差为%2)(*xr，绝对误差为*%2)(xx，从而nx的误差为nnxxnxnxxnxxx*1*%2%2)()()()(ln*，相对误差为%2)()(ln)(ln*nxxxnr。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们
2、是几位有效数字：1021.1*1x，031.0*2x，6.385*3x，430.56*4x，0.17*5x。解1021.1*1x有 5 位有效数字；0031.0*2x有 2 位有效数字；6.385*3x有 4位有效数字；430.56*4x有 5 位有效数字；0.17*5x有 2 位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,xxxx均为第 3 题所给的数。（1）*4*2*1xxx；解3334*4*2*11*4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(xxxxxfxxxenkkk；（2）*3*2*1xxx；解52130996425.010
3、09964255.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21*3*2*1*xxxxxxxxxxxfxxxenkkk；（3）*4*2/xx。解53232323*42*4*2*2*41*4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(xxxxxxxfxxenkk
4、k。5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？解由3*3*3*)(34)(34()(34(%1RRRr可知，)()(4)()(34)(34%1)(34(*2*3*3*3*RRRRRR，从而*31%1)(RR，故300131%1)()(*RRRr。6、设280Y，按递推公式),2,1(78310011nYYnn计算到100Y，若取982.27783（五位有效数字，）试问计算100Y将有多大误差？解令nY表示nY的近似值，nnnYYYe)(*，则0)(0*Ye，并且由 982.2710011nnYY，78310011nnYY可知，)783982.27(100111
5、nnnnYYYY，即)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1*nnnYeYeYe，从而982.27783)783982.27()()(0*100*YeYe，而31021982.27783，所以3100*1021)(Y。7、求方程01562xx的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783）解由78328x与982.27783（五位有效数字）可知，982.55982.2728783281x（五位有效数字）。而018.0982.2728783282x，只有两位有效数字，不符合题意。但是22107863.1982.55178328178328x。8、当
6、N 充分大时，怎样求1211NNdxx？解因为NNdxxNNarctan)1arctan(1112，当 N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(N，Narctan，则tan1N，tanN，从而 11)1(1)1(tantan1tantan)tan(2NNNNNN，因此11arctan11212NNdxxNN。9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 12cm?解 由)(2)()()(*2*2*lllll可 知，若 要 求1)(2*l，则2001100212)()(*2*lll，即边长应满足2001100l。10、设221gtS，假定 g 是准确的，而对 t
7、 的测量有1.0秒的误差，证明当 t 增加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。证明因为*1.0)()()()(gttgttdtdSS，*2*51)(2)(21)()()(ttttgtgtSSSr，所以得证。11、序列 ny满足递推关系),2,1(1101nyynn，若41.120y（三位有效数字），计算到10y时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解设ny为ny的近似值，nnnyyy)(*，则由110210nnyyy与 11041.110nnyyy可知，20*1021)(y，)(1011nnnnyyyy，即)(10)(10)(0*1*yyynnn，从而82100*1010*102110211
8、0)(10)(yy，因此计算过程不稳定。12、计算6)12(f，取4.12，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？6)12(1，3)223(，3)223(1，27099。解因为1*1021)(f，所以对于61)12(1f，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(effe，有一位有效数字；对于32)223(f，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(effe，没有有效数字；对于33)223(1f，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(effe，有一位有效数字；对于270994f，111*44*
9、10211035102170)4.1()(effe，没有有效数字。13、)1ln()(2xxxf，求)30(f的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22xxxx计算，求对数时误差有多大？解因为9833.298991302（六位有效数字），4*1021)(x，所以 2442*11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(xeffe，6442*22*108336.010219833.29301102111)()()(xxxeffe。14、试用消元法解方程组2101021102101xxxx，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？解精确解为110210,110101010210101xx。当使用三位数运算时，得到1,121xx，结果可靠。15、已知三角形面积cabssin21，其中 c 为弧度，20 c，且测量 a，b，c的误差分别为cba,，证明面积的误差s满足ccbbaass。解因为ccabbcaacbxxfsnkkkcos21sin21sin21)()(1，所以ccbbccccbbcccabccabbcaacbsstansin21cos21sin21sin21。
