1、 中南大学 2015 年秋季硕士研究生 矩阵论期末考试试题参考答案 一、(18 分)已知矩阵A相似于200000021000002000000110000011000001.(1)求A的初等因子、不变因子和最小多项式；(2)求3()tr AI+；(3)判断A是否为收敛矩阵.解解(1)200000021000002000000110000011000001的初等因子为232,(2),(1)+.因为相似的矩 阵有相同的初等因子,故A的初等因子也是232,(2),(1)+,从而可得A的不变因子为23123()1,()2,()(2)(1)ddd=+,最小多项式()Am为A的最后一个不变因子，即23()
2、(2)(1)Am=+.(2)因 为A的 特 征 值 为2,2,2,1,1,1,故3AI+的 特 征 值 为33333321,21,21,(1)1,(1)1,(1)1+,即9,9,9,0,0,0,从而3()27tr AI+=.(3)因为谱半径为特征值的模的最大者,故A的谱半径为()2A=.而A为收敛矩阵的充要条件是()1A,|0 x,从而222|0 xxx=+.ii)对于C,22222222|xxxxxx=+=+=.iii)对任何,Cnx y,22222222|(|)|(|)xyxyxyxyxy+=+22222222|2|2|xxyyxxyy+22222222(|)(|)2|2|xxyyxyxy
3、+222222222(|)(|)2(|)xxyyxyxy=+22222222222222(|)(|)2|2|xxyyxyxyxyxy=+222222222222222222(|)(|)2|xxyyxyxyxyxy+222222222222(|)(|)2(|)(|)xxyyxxyy=+2222222(|)xxyy=+2(|),xy=+开方得|xyxy+.综上知|x是Cn上的向量范数.(2)设12(,)Tnxx xx=,则 111122111|max|max|,|max|max|,niiii ni niniiii ni nixxxxnxnxxxxxnxnx =从而 2111|,|,xxnxxxxn
4、 22212212|2|2|(1)|1|1|,xxxxxxnnxnxnx=+即 112|1|,xxnxn+于是 122,1ccnn=+.三、(16 分)(1)设123(,)Taa aa=是给定的向量,3 3()ijXx=是矩阵变量,求d()dTXaX.(2)设110311021A=,求sin()AeIA.解解 (1)1 112 123 131212223231 31232333,a xa xa xXaa xa xa xa xa xa x+=+1 112 123 131212223231 31232333()(,)TXaa xa xa xa xa xa xa xa xa x=+,11121321
5、2223313233()()()d()()()()d()()()TTTTTTTTTTXaXaXaxxxXaXaXaXaXxxxXaXaXaxxx=123123123000000000000000000aaaaaaaaa=.(2)A的特征多项式为 2110()|311(1)021EA=+=设 2()sin(1)()()fegabc =+将0=,1=分别代入上式得(0),(1)fcfabc=+.再在上式两边求导后将 0=代入得(0)fb=.于是得到方程组 sin1,0,sin1cos1,cabcb=+=解得2sin1cos1,sin1cos1,sin1abc=+=.再由 Hamilton-Cayl
6、ey 定理知,()0A=,于是,222sin()()()()(2sin1cos1)(sin1cos1)(sin1)201110100(2sin1cos1)000(sin1cos1)311(sin1)0106030210016sin1 3cos1sin1cos12siAeIAf Ag AAaAbAcIaAbAcIAAI=+=+=+=+=n1cos13sin13cos1cos1sin1cos1.12sin16cos12sin12cos14sin12cos1+也可令 21111()()egabc =+,按上面的方法求得 12,1aebc=,得到 2111201110100(2)00031101060
7、30210016212301.126234Aea Ab Ac Ieeeee=+=+=,令22222sin(1)()()gabc =+,解得2sin1cos1,cos1,sin1,abc=+=进而求得 2222sin()201110100(sin1cos1)000(cos1)311(sin1)0106030210013sin1 3cos1cos1sin1cos13cos1sin1cos1cos1.6sin16cos12cos12sin12cos1IAa Ab Ac I=+=+=+,四、(14 分)求100001101A=的奇异值分解.解解 201000102TA A=,201|00(1)(3)1
8、02TIA A=,故TA A的特征值为1233,1,0=,对应的特征向量依次为 1231100,0,1110ppp =.故酉矩阵1102200111022V=,使得300()010000TTVA A V=.令 11111116210012201100100362011011120226UAV=,取2161626U=,12111626111(,)62622066UU U=,则U是酉矩阵,A的奇异值分解为 111110626223000111110100006262200001022066HAUV=.五、（16 分）设11221132213524iA=（其中1i=）的特征值为123,.(1)利用
9、Gerschgorin 定理隔离123,，并给出它们的分布区域；(2)证明：1232547|44+.解解(1)A的三个盖尔圆为：1:1Gzi,2:31Gz,35:54Gz,故A的三个特征值分布在123GGGGG内.由于1G是孤立的盖尔圆,根据 Gerschgorin 定理知,1G中有A的一个特征值,设为1.2G和3G相交.选取(2,1,1)Ddiag=,令1111134213544iBDAD=.则B与A相似,从而有相同的特征值.B的三个盖尔圆为：1:2Gzi,23:34Gz,3:51Gz.易见,123,G GG互不相交,故123,G GG中各有A的一个特征值,设位于23,GG中的特征值依次为2
10、3,.由于1G的半径小于1G的半径,故可知,123,分别位于盖尔圆1G,2G和3G中.(2)由(1)知,11i,2334,351,因此 123933150|1|2,3|3,45 1|5 164444i+=+=+=,123259154704|264444=+=.六、（20 分）设123(1,0,1),(,),(1,1,0)TTTTABAAxxxxb=.(1)求A的全部1逆；(2)在A的1逆中求A+；(3)利用 Moore-Penrose 逆判断方程组Bxb=是否相容.解解 (1)设A的1逆为(,)Xa b c=.由AXAA=得 1110(,)00111a b c=,故1ac=,即1ac=+.所以,A的全部1逆为 1(1,),Acb cb c=+任意1逆.(2)Moore-Penrose 逆(,)Xa b c=还满足,(),()HHXAXXAXAXXAXA=.由 110(1,)00011cbcAXcb ccbc+=+=,及()HAXAX=得 10,2bc=,所以,11(,0,)22A+=.(3)方程组Bxb=相容的充要条件是BB bb+=,而()()()TTTBAAAAAA+=,所以,()()()111211()0(,0,)10,221012TTTHBB bAAAA bA A AA bA A AA bA A A A bAA bb+=故Bxb=不相容.
