1、2018 年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()xf xeax.（1）若1a，证明：当0 x 时，()1f x.（2）若()f x在(0,)只有一个零点，求a.题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第 1 小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()xg xef x的变形化成2()xaxbxc eC的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()xaxbxc e这种形式的函数，指数函数的系数为
2、代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。题目解答：（1）若1a，2()xf xex，()2xfxex，()2xfxe.当0,ln2)x时，()0fx，()fx单调递减；当(ln2,)x时，()0fx，()fx单调递增；所以()(ln2)22ln20fxf，从而()f x在0,)单调递
3、增；所以()(0)1f xf，得证.（2）当0a 时，()0f x 恒成立，无零点，不合题意.当0a 时，()2xfxeax，()2xfxea.当0,ln2)xa时，()0fx，()fx单调递减；当(ln2,)xa时，()0fx，()fx单调递增；所以()(ln2)2(1 ln2)fxfaaa.当02ea时，()0fx，从而()f x在0,)单调递增，()(0)1f xf，在(0,)无零点，不合题意.当2ea 时，易证2ln2aa.(0)10f ，(ln2)0fa，由（1）可知，22(2)=(2)10afaea.由零点存在性定理可知必然存在一点1(0,ln2)xa使得1()0fx，2(ln22
4、)xaa，使得2()0fx；所以当1(0,)xx时，()0fx，()f x单调递增，12(,)xx x，()0fx，()f x单调递减，2(,)xx，()0fx，()f x单调递增，即当2xx时()f x取得极小值 2222()xf xeax 由2()0fx得 222xeax 从而 222222()(2)2xxef xeaxx 当22x 时，即24ea 时，极小值2()0f x恰好成立，此时在()f x在(0,)只有一个零点2x，满足题意.当224eea时，即212x时（易证2xex在(1,)单调递增），极小值2()0f x，此时在(0,)无零点，不合题意.12xyO12xyOxyO1x2xln(2)a2a()fx1x2x1x2x()f x()f x 当24ea 时，即22x 时，(0)10f，2()0f x，32(3)(3)0afaeaa（易证313xex恒成立），由零点存在性定理可知()f x在区间2(0,)x和2(,3)xa各有一根，不合题意.综上所述，24ea.123xyO1x2x()f x3a
