1、第二章第二章 动动 能能 定定 理理 动动 力力 学学 西北工业大学西北工业大学 支希哲支希哲 朱西平朱西平 侯美丽侯美丽 动动 能能 定定 理理 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-1 力的功力的功 2-2 几种特殊力的功几种特殊力的功 2-3 作用于质点系上的力系的功作用于质点系上的力系的功 2-5 动能定理动能定理 第第 二二 章章 动动 能能 定定 理理 2-6 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理 2-4 动能动能 动动 力力 学学 目录 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-1 力 的 功 2-1 力和功 常力在直线路程中的功 变力在曲线路程中的功 合力的
2、功定理 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-1 力 的 功 力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能力的功是力在一段路程中对物体作用所累积的效果，其结果引起能量的转变和转化。下面讨论力的功的计算方法。量的转变和转化。下面讨论力的功的计算方法。一、常力在直线路程中的功 设一物体设一物体，在常力在常力F作用下沿直线由作用下沿直线由 A1 平动平动到到 A2，所经历的路程是所经历的路程是 s。则该常力则该常力F 在此路程在此路程中的功为中的功为 W=Fcos s 其中其中 Fcos 为力为力 F 在运动方向上的投影，可正可负。可见力的功是代在运动方向上的投影，可正可负。可见力
3、的功是代数量。数量。功的基本单位在国际单位制中采用功的基本单位在国际单位制中采用 J:1 J=1 N m F A A1 A2 s 一、常力在直线路程中的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 设在质点设在质点 A 上作用着变力上作用着变力 F,现在把其轨迹曲线现在把其轨迹曲线 A1A2 分成许多微小弧分成许多微小弧段段，使得每个元弧段使得每个元弧段 ds(即元路程即元路程)可视为直线段可视为直线段，而力而力 F 则视为常力则视为常力，应用应用常力在直线路程中的功常力在直线路程中的功 的计算式的计算式，力力 F 在每个元路程在每个元路程 ds 中的功中的功 d W=Fcos ds 式中式中 是
4、力是力 F 与速度与速度 v 间的可变夹角间的可变夹角。由于元路由于元路程程ds对应于位移的大小对应于位移的大小|dr|=|v|dt，故上式可以改故上式可以改写成写成 d W=F dr =F vdt 2-1 力 的 功 上式上式称为力称为力 F 在元路程在元路程 ds 中的中的元功元功。1.元功的定义元功的定义 O A1 A F x y z A2 v r+dr r ds dr 二、变力在曲线路程中的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 力力 F 在有限路程在有限路程 A1A2 中的总功中的总功W，是该力在，是该力在这段路程中全部元功的代数和，可表示成曲线这段路程中全部元功的代数和，可表示成
5、曲线积分积分 d W=Fxdx+Fydy+Fzdz 这就是这就是元功的解析表达式元功的解析表达式。因为因为 F=Fx i+Fy j+Fz k,dr=dx i+dy j+dz k，代入上式得代入上式得 2121)ddd(dcosAAzyxAAzFyFxFsFW2-1 力 的 功 d W=F dr =F vdt 2.2.功的解析表达式。功的解析表达式。3.3.变力在曲线路程中的总功变力在曲线路程中的总功 变力的功变力的功 O A1 A F x y z A2 v r+dr r ds dr 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-1 力 的 功 如在质点上同时作用着几个力，则由合力投影定理可以推如在
6、质点上同时作用着几个力，则由合力投影定理可以推知，知，合力在某一路程上的功，等于各分力分别在该路程中的合力在某一路程上的功，等于各分力分别在该路程中的功的代数和功的代数和。这个结论称为。这个结论称为合力之功定理合力之功定理。变力的功变力的功 三、合力的功定理三、合力的功定理 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-2 几种特殊力的功 2-2 几种特殊力的功 重力的功 弹性力的功 牛顿引力的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-2 几种特殊力的功 一、一、重力的功 设物体的重心设物体的重心 A 沿某一曲线由沿某一曲线由 A1 运动运动到到 A2 。物体的重力。物体的重力 G在坐标轴系上
7、的投影在坐标轴系上的投影为为 Fx=Fy=0,Fz=G 得重力的元功得重力的元功 d W=Gdz 故重力在曲线路程故重力在曲线路程 A1A2 上的功为上的功为 21)(d21zzGhzzGzGW由元功表达式由元功表达式 d W=Fxdx+Fydy+Fzdz 一、重力的功 O A1(x1,y1,z1)A G x y z A2(x2,y2,z2)第二章第二章 动动 能能 定定 理理 式中式中 z1 和和 z2 分别是重心的路程起点和终分别是重心的路程起点和终点的纵坐标；点的纵坐标；h=z1-z2 是物体重心降落是物体重心降落的高度的高度，称为称为高度降高度降。2-2 几种特殊力的功 重力的功重力的
8、功 O A1(x1,y1,z1)A G x y z A2(x2,y2,z2)21)(d21zzGhzzGzGW故重力在曲线路程故重力在曲线路程 A1A2 上的功为上的功为 有有 结结 论论（2）重力的功与运动路径无关。（1）重力的功等于重力与重心高度降的乘积。（3）重心下降，重力作正功；否则，重力做负功。第二章第二章 动动 能能 定定 理理 当当r l0 0 时时，=（r l0），弹簧压弹簧压缩缩，弹性力弹性力F指向点指向点A，其矢量表示式为其矢量表示式为 当当r l0 0 时，时，=r l0 ，弹簧拉长，弹弹簧拉长，弹性力性力F指向点指向点O，其矢量表示式为，其矢量表示式为 二二、弹性力的功
9、 设弹簧未变形时长度是设弹簧未变形时长度是 l0，刚度系数是刚度系数是k。弹簧的一端弹簧的一端 O 固定固定，而另一而另一端端 A 作任意曲线运动作任意曲线运动，且弹簧始终处于直线状态且弹簧始终处于直线状态。现求在点现求在点 A 由位置由位置 A1 沿沿某一路线运动到位置某一路线运动到位置 A2 的路程中弹性力所作的功的路程中弹性力所作的功。在任意位置在任意位置A，弹簧，弹簧 的变形为的变形为 =r l0，矢径方向的单位矢量为矢径方向的单位矢量为r/r。F=k (r/r)=k(r l0)(r/r)2-2 几种特殊力的功 1.弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示 F=k r/r=k(r l0)r/r
10、 O A1 dr A2 r1 r r2 F A 二、弹簧力的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 弹性力的矢量表示弹性力的矢量表示 F=k(r l0)r/r 式中式中 r/r 是矢径方向的单位矢量。是矢径方向的单位矢量。2-2 几种特殊力的功 2.弹性力的元功弹性力的元功 得得 弹性力弹性力 F 的元功的元功 考虑到考虑到 r dr=d（r r）/2=d（r 2）/2 =r dr=r d(r l0)，即得即得 弹性力弹性力 F 在曲线路程在曲线路程 A1A2 中的功中的功 d W=F dr=k(r l0)(r dr/r)d W=k(r l0)d(r l0)2121)()(2)(d)(d20
11、220100rrAAlrlrklrlrkWW由元功表达式由元功表达式 d W=F dr =F v dt 3.弹性力的功弹性力的功 弹性力的功弹性力的功 O A1 dr A2 r1 r r2 F A 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-2 几种特殊力的功 弹性力弹性力 F 在曲线路程在曲线路程 A1A2 中的功中的功 2121)()(2)(d)(d20220100rrAAlrlrklrlrkWW以以 1=r1 l0 和和 2=r2 l0 分别表示路程始末端分别表示路程始末端 A1 和和 A2 处弹簧的变形量，处弹簧的变形量，则则 上式写成上式写成 )(22221kW有有 结结 论论(2)弹
12、性力的功与运动路径无关。(1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否则，做负功。弹性力的功弹性力的功 O A1 dr A2 r1 r r2 F A 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 2-3 作用于质点系上的力系的功 平动刚体上力的功 定轴转动刚体上外力的功 平面运动刚体上力的功 质点系和刚体内力的功 约束力的功之和等于零的情形 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 一、一、平动刚体上力的功平动刚体上力的功 设一刚体在设一刚体在力力 F 作用下作平动
13、作用下作平动，其质心在其质心在 C 点点，刚体上点刚体上点 A 的矢径的矢径是是 r ，速度是速度是 v ,则力则力 F 的元功的元功 dW=F dr =F drC 2.2.总总 功功 一、平动刚体上力的功 O dr x r F A v y z 1.1.元元 功功 C drC vC dW=F v dt=F v C dt 或或 dW=F v dt=F v C dt dW=F dr =F drC 或或 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 二、二、定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功 设刚体绕定轴设刚体绕定轴z 转动转动，角速度角速度 =k，刚体上点刚体上
14、点 A 的矢径是的矢径是 r ，速度是速度是 v =r。作用着力作用着力 F，当刚体有一微小转角当刚体有一微小转角 d d 时时，力力 F 的元的元功功 dW=F dr =F vdt =F(r)dt 由静力学知，力由静力学知，力 F 对点对点 O 的矩矢的矩矢 mO(F)=r F，而力而力 F 对轴对轴 z 的矩的矩 mz(F)等于等于mO(F)在轴在轴 z 上的上的投影投影，即即 mz(F)=mO(F)k 所以，混合积所以，混合积 F(r)=(r F)=k mO(F)=mz(F)。二、定轴转动刚体上的力的功 O k dr x r F A v d y z 混合积混合积 F(r)=(r F)1.
15、1.元功元功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 因此有因此有元功元功 dW=mz(F)dt=mz(F)d 在刚体由角在刚体由角 1 转到角转到角 2 的过程中，力的过程中，力 F 的总功为的总功为 特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为特别是，若力矩是常量，则力在上述过程中的总功为 W=mz(F)(2 1)如果刚体上作用着一个力系，则其元功为如果刚体上作用着一个力系，则其元功为 dW=mz(F)dt=Mz d )102(d)(21FmWz2-3 作用于质点系上的力系的功 定轴转动刚体上定轴转动刚体上外力的功外力的功 2.总 功 有有 结结 论论 作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该
16、力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。O k dr x r F A v d y z 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 定轴转动刚体上定轴转动刚体上外力的功外力的功 假设扭簧上的杆处于水平假设扭簧上的杆处于水平时扭簧未变形，且变形时在弹时扭簧未变形，且变形时在弹性范围之内。变形时扭簧作用性范围之内。变形时扭簧作用于杆上的力对点于杆上的力对点O之矩为之矩为 kM 其中其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度为扭簧的刚度系数。当杆从角度1 1转到角度转到角度 2 2时所时所作的功为作的功为 2122121211d22Wkkk 扭转弹簧力矩的功 第二章第二章 动动 能
17、能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 三、三、平面运动刚体上力的功平面运动刚体上力的功 设一刚体在设一刚体在力力 F 作用下作平面运动作用下作平面运动，其质心在其质心在 C 点点，速度是速度是 vC ，刚体上点刚体上点 A 的速度是的速度是 vA ,则力则力 F 的元功的元功 2.2.总总 功功 三、平面运动刚体上的力的功 1.1.元元 功功 dW=F vA dt =F（v C+vAC）dt dW=F d dr C +mC(F)d r F A C vC vC vAC vA d =F v C dt +F vAC dt =F d dr C +F (r)dt =F d dr C +mC(
18、F)d 有有 结结 论论 作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和。第二章第二章 动动 能能 定定 理理 半径为半径为2r 的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮的圆轮在水平面上作纯滚动如图示，轮轴上绕有软绳，轮轴半径为轴半径为r，绳上作用常值水平拉力，绳上作用常值水平拉力F，求轮心，求轮心C运动运动x 距离时，力距离时，力F 所作所作的功。的功。2-3 作用于质点系上的力系的功 根据平面运动刚体上力的功的表达式可知根据平面运动刚体上力的功的表达式可知，力力F 所作的功为所作的功为 rxFrFx2W=F x mC(F)解：Fx2
19、1x 2r O r C F 思考题 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 思考题 2-3 作用于质点系上的力系的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 四、质点系和刚体内力的功 设质点系内有两质点设质点系内有两质点 A1 和和 A2,相相 互间作用着内力互间作用着内力 F1 和和 F2=F1。两质两质点的元位移分别是点的元位移分别是 dr1 和和 dr2,故得内力故得内力 F1 和和 F2 的元功之和的元功之和 2211dddrFrFW2-3 作用于质点系上的力系的功 dd2111rFrF)d(211rrF引入矢量引入矢量 ，设其单位矢量为，设其单位矢量为 12AAe12AAe则有则有 eF
20、11F所以所以)(d121AAF)d(211rrFdr1 dr2 r1 A1 O A2 F2 F1 r1 四、质点系和刚体上力的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 所以所以 dW=F1d(A1A2)2-3 作用于质点系上的力系的功)d(121eeAAF)(d121AAF eF11F)(d121AAF)d(211rrFd)()d(12121eeeAAAAFd)()()d(121121eeeeAAFAAFd)()d(121121eeAAFAAF0d)d(21)d(21d2eeeeeee)(d121AAF)d(121AAF12AAedr1 dr2 r1 A1 O A2 F2 F1 r1 内力的
21、功内力的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 这里这里 d(A1A2)代表两质点间距离代表两质点间距离 A2A1 的变化量的变化量，它和参考系的选择无关它和参考系的选择无关，在一般质点系中在一般质点系中，两质点间距离是可变两质点间距离是可变的的，因而因而，可变质点系内力所做功的总可变质点系内力所做功的总和不一定等于零和不一定等于零。但是但是,刚体内任意两点间的距离始终刚体内任意两点间的距离始终保持不变，所以保持不变，所以刚体内力所做功的总和刚体内力所做功的总和恒等于零。恒等于零。dW=F1d(A1A2)2-3 作用于质点系上的力系的功 内力的功内力的功 dr1 dr2 r1 A1 O A2
22、 F2 F1 r1 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 工程上几种内力作功的情形工程上几种内力作功的情形 作为整体考察作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃例如汽车内燃机工作时机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。弹性构件横截面上的所有内力分量作负功弹性构件横截面上
23、的所有内力分量作负功。内力的功内力的功 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 五、约束力的功之和等于零的情形五、约束力的功之和等于零的情形 光滑的固定支承面光滑的固定支承面(图图 a)，轴承，销钉轴承，销钉(图图 b)和和活动支座活动支座(图图 c)的约的约束力总是和它作用点的元位移束力总是和它作用点的元位移 dr 垂直，所以这些垂直，所以这些约束力的功恒等于零。约束力的功恒等于零。2-3 作用于质点系上的力系的功 FA dr FA dr FA dr(a)(b)(c)1.光滑的固定支承面光滑的固定支承面、轴承、销钉、轴承、销钉 和活动支座和活动支座 的约的约束力束力 五、约束力的功之和等于零的
24、情形 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-3 作用于质点系上的力系的功 约束力的功约束力的功 4.圆轮沿支承面滚动时，摩擦力圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力约束力)的功。的功。O vO Cv F FN 因为因为Cv 为速度瞬心为速度瞬心，其速度为零其速度为零。所以作用所以作用在在Cv点的静摩擦力点的静摩擦力F 所作元功为所作元功为 tvFfrFWCvCvFd ddN0ddtvFWCv（1）圆轮连滚带滑运动时圆轮连滚带滑运动时，动摩擦力动摩擦力F 所作元所作元功为功为（2）圆轮纯滚动时圆轮纯滚动时，这时出现静摩擦力这时出现静摩擦力F。第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能
25、2-4 动 能 质点的动能 质点系的动能 几种刚体运动的动能 柯尼西定理 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能 即：即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和质点系的动能等于系统内所有质点动能的总和，用符号用符号 T 表示表示，则有则有 国际单位制中国际单位制中，动能的常用单位是动能的常用单位是 kg m2/s2，即即 J。222121iiiivmvmT设质点的质量为设质点的质量为 m，速度为速度为 v，则该质点的动能则该质点的动能 221mvT 动能动能是物体机械运动的一种度量是物
26、体机械运动的一种度量，恒为正值恒为正值。二二、质点系的动能质点系的动能 一、质点的动能一、质点的动能 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能 1.1.平动刚体的动能平动刚体的动能 平动刚体各点的速度和质心速度平动刚体各点的速度和质心速度 vC相同相同，m 表刚体质量表刚体质量，则其动能则其动能 即即，平动刚体的动能平动刚体的动能，等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半等于刚体的质量与质心速度平方乘积的一半。22221221CiCCivmmvvmT三、几种刚体运动的动能 质点系的动能质点系的动能 222121iiiivmvmT三三、几种刚体运动的动能几种刚体运动的动能 第二章第二章
27、 动动 能能 定定 理理 2.2.定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 设刚体以角速度设刚体以角速度 绕定轴绕定轴 z 转动转动，以以 mi 表示刚体内表示刚体内任一点任一点 A 的质量的质量，以以 ri 表示表示 A 的转动半径的转动半径，则该刚体则该刚体的动能为的动能为 其中其中miri2=Jz 是刚体对转轴是刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量，故上式可写故上式可写成成 可见可见，定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半方乘积的一半.转动惯量转动惯量 Jz 就是刚体绕就是刚体绕 z 轴转动时惯性的度量轴转动
28、时惯性的度量。221zJT 2-4 动 能 17-9(b)A vi z ri O 2ii22ii2iirmrmvmT2)(2121第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能 O O e A，B两轮质量相同，以相同的角速度两轮质量相同，以相同的角速度绕圆心绕圆心O转动。转动。C A B A轮为匀质圆盘轮为匀质圆盘、B轮质心在轮质心在C点。两轮动能是否相同？点。两轮动能是否相同？思考题 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 3.3.平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体做平面运动时刚体做平面运动时，其上任一点的速度为其上任一点的速度为 vi，平面运动刚体的角速平面运动刚体的角速度是度
29、是 ，速度瞬心在速度瞬心在P P 点点，刚体对瞬轴的转动惯量是刚体对瞬轴的转动惯量是 J JP P。设刚体的质心设刚体的质心 C 到速度瞬心到速度瞬心 P 的距离是的距离是rC，刚体的质量是刚体的质量是m。2CCPrmJJ2-4 动 能 221iivmTPJ221 A vi C vC P rc riP 对对平行于瞬轴的平行于瞬轴的质心轴的转动惯量是质心轴的转动惯量是 JC ,则该刚体的动能为则该刚体的动能为 2)(21Piirm2221Piirm根据转动惯量的平行轴定理有根据转动惯量的平行轴定理有 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 因为质心因为质心 C 的速度大小的速度大小 vC=rC 。
30、由上式得由上式得 2-4 动 能 2CCPrmJJ222221)(2121PiiPiiiirmrmvmTPJ221222121CCJvmT即即,平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能,等于它以质心速度作平动时的动能等于它以质心速度作平动时的动能与相对于质心轴转动时的动能之和与相对于质心轴转动时的动能之和。22)(21CCrmJT平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 A vi C vC P rc riP 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能 系统如图所示系统如图所示，轮轮的质量为的质量为m1，纯滚动纯滚动，AO杆的质量为杆的质量为 m，角速角速度为度为 ，求系统的动能求系统的动能。
31、O A C r1 r2 1 vA 212122121AAJvmT,2121OJT 21TTT222121)(312121rrmJTO212121122112)(21(21)(21rrrrmrrmT22112)(43rrmT1211rrr)(21rrvA 练习题 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 2-4 动 能 系统如图所示系统如图所示，轮轮的质量为的质量为m1，纯滚动纯滚动，AO杆的杆的质量为质量为 m，角速度为角速度为 ，求系统的动能求系统的动能。O A C r1 r2 1 vA C是轮是轮上的点，上的点，JC是绕是绕C点的转动惯量，点的转动惯量，是否成立？是否成立？21221CJT 2
32、1TTT22211)(61rrmT22112)(43rrmT2112112112112321rmrmrmrmJJAC 练习题练习题 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 以质点系的质心以质点系的质心 C 为原点为原点,取平动坐标取平动坐标系系 Cx y z,它以质心的速度它以质心的速度 vC 运动运动。2)()(rriCiCvvvvim 设质点系内任一质点设质点系内任一质点 A 在这平动坐标在这平动坐标系中的相对速度是系中的相对速度是 vir,则该点的绝对速度则该点的绝对速度 vi=vc+vir,故得质点系在绝对运动中的动能故得质点系在绝对运动中的动能 2-4 动 能 四、柯尼西定理四、柯尼西
33、定理 222iiiiimvmTvv rrr22iiiiCiCCimmmvvvvvvO A vi x y z vC z y x C vC vir rC rir 四、柯尼西定理 第二章第二章 动动 能能 定定 理理 上式右端第一项上式右端第一项 即即，质点系在绝对运动中的动能质点系在绝对运动中的动能,等于它随质心一起平动时的动能等于它随质心一起平动时的动能,加上它加上它在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能在以质心速度做平动的坐标系中相对运动的动能。这就是这就是柯尼西定理柯尼西定理。r22TvmTC2-4 动 能 柯尼西定理柯尼西定理 rrr22iiiiCiCCimmmTvvvvvv第三项等于第三项等于 mivir2/2 =Tr 是质点系在相对运动中所具有的动能。记为是质点系在相对运动中所具有的动能。记为Tr 2221)(212CCiimmmvvvvCC第二项第二项 0)(21)(212r
