1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 1 页 共 27 页1.元素与集合的关系UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC.5 集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1个；非空的真子集有2n2 个.6.
2、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM ()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x11()f xNMN.8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或
3、0)(2kf且22122kabkk.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bf xff xf pf qa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.(2)当 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0)f x,或21()()(),()0,1
4、)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 5 页 共 27 页30.分
5、数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.31根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.32有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式logloglogmamNNa(
6、0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).35对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log(
7、)axybx为增函数.，(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 6 页 共 27 页（2）2logloglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn(数列na的前 n 项的和为12nnsaaa).40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和
8、公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n.41.等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q.42.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).44常见三角不等式（1）
9、若(0,)2x，则sintanxxx.高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 7 页 共 27 页(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco212(1)s,s()2(1)sin,nnconco47.和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22c
10、os()cos()cossin.sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba).48.二倍角公式sin22sincos.2222cos2cossin2cos11 2sin .22tantan21tan.49.三倍角公式3sin33sin4sin4sinsin()sin()33.3cos34cos3cos4coscos()cos()33.323tantantan3tantan()tan()1 3tan33.50.三角函数的周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkk
11、Z(A,为常数，且 A0，0)的周期T.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 8 页 共 27 页51.正弦定理2sinsinsinabcRABC.52.余弦定理2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.53.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB .54.三角形内角和定理在ABC 中，有()ABCCAB222CAB
12、222()CAB.55.简单的三角方程的通解sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZa.s2arccos(,|1)co xaxka kZa.tanarctan(,)xaxka kZ aR.特别地,有sinsin(1)()kkkZ.scos2()cokkZ.tantan()kkZ.56.最简单的三角不等式及其解集sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,2arccos),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,22arccos
13、),xa axkaka kZ.tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ.57.实数与向量的积的运算律设、为实数，那么(1)结合律：(a a)=()a a;(2)第一分配律：(+)a a=a a+a;a;(3)第二分配律：(a a+b b)=a a+b b.58.向量的数量积的运算律：(1)a ab=bb=ba a（交换律）;(2)（a）a）b=b=（a ab）=b）=a ab b=a a（b b）;(3)（a+b）a+b）c=ac=ac+bc+bc.c.59.平面向量基本定理如果 e e1 1、e e2 2是同一平面内的
14、两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 9 页 共 27 页只有一对实数1、2，使得 a=a=1e e1+2e e2不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底60向量平行的坐标表示设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，且 b b0 0，则 a ab(bb(b0)0)12210 x yx y.53.a a与 b b 的数量积(或内积)a ab b=|a a|b b|cos61.ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积62.平面
15、向量的坐标运算(1)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a+b=a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a-b=a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy .(4)设 a a=(,),x yR，则a=a=(,)xy.(5)设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，则 a ab=b=1212()x xy y.63.两向量的夹角公式公式121222221122cosx xy yxyxy(a a=11(,)x y,b b=22(,)xy
16、).64.平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直设 a a=11(,)x y,b b=22(,)xy，且 b b0 0，则A A|b bb b=a a12210 x yx y.a ab(ab(a0)0)a ab=b=012120 x xy y.66.线段的定比分公式设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y是线段12PP的分点,是实数，且12PPPP，则121211xxxyyy121OPOPOP 12(1)OPtOPt OP（11t）.67.三角形的重心坐标公式ABC
17、三个顶点的坐标分别为11A(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y),则ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.68.点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP.注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.69.“按向量平移”的几个结论高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 10 页 共 27 页（1）点(,)P x y按向量 a a=(,)h k平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数()yf x的图象C按向量 a a=(,)h k平移后得到图象C,则C的函数解析式为()yf
18、 xhk.(3)图象C按向量 a a=(,)h k平移后得到图象C,若C的解析式()yf x,则C的函数解析式为()yf xhk.(4)曲 线C:(,)0f x y 按 向量 a a=(,)h k平 移后 得 到图 象C,则C的 方程 为(,)0f xh yk.(5)向量 m m=(,)x y按向量 a a=(,)h k平移后得到的向量仍然为 m m=(,)x y.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角,A B C所对边长分别为,a b c，则（1）O为ABC的外心222OAOBOC .（2）O为ABC的重心0OAOBOC .（3）O为ABC的垂心OA OBOB
19、OCOC OA .（4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC .（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC .71.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）bababa.72.极值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定值s，则当yx 时积xy有最大值241s.推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(2
20、2（1）若积xy是定值,则当|yx 最大时,|yx 最大；当|yx 最小时,|yx 最小.（2）若和|yx 是定值,则当|yx 最大时,|xy最小；当|yx 最小时,|xy最大.73.一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.74.含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa.高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 11 页 共
21、 27 页22xaxaxa或xa.75.无理不等式（1）()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.76.指数不等式与对数不等式(1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg
22、xf xg x77.斜率公式2121yykxx（111(,)P x y、222(,)P xy）.78.直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为k)（2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).（3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy(12xx).(4)截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkk bb;1212
23、1llk k.(2)若1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 12 页 共 27 页1212120llA AB B；80.夹角公式(1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k )(2)12211212tan|ABA BA AB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B).直线12ll时，直线 l1与 l2的夹角是2.81.1l到2l的角公式(1)212
24、1tan1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,121k k )(2)12211212tanABA BA AB B.(1111:0lAxB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B).直线12ll时，直线 l1到 l2的角是2.82四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()yyk xx(除直线0 xx),其 中k是 待 定 的 系 数;经 过 定 点000(,)P xy的 直 线 系 方 程 为00()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lAxB yC,
25、2222:0lA xB yC的交点的直线系方程为111222()()0AxB yCA xB yC(除2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量83.点到直线的距离0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).84.0AxByC或0所表示的平面区域设直线:0l AxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B，当B与AxByC同号时，表示直线
26、l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0CAxB yCA xB yC（12120A A B B），则高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 13 页 共 27 页111222()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是：111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区
27、域上下两部分；111222()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分.86.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程cossinxarybr.（4）圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径的端点是11(,)A x y、22(,)B xy).87.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyyyaxb
28、yc,其 中0axbyc是 直 线AB的方程,是待定的系数(2)过直线l:0AxByC与圆C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系数88.点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rby
29、ax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.91.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 14 页 共 27 页若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()02
30、2D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr;斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk.92.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.93.椭圆22221(0)xyabab焦半径公式)(21caxePF，)(22xcaePF.94椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆222
31、21(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.95.椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）椭 圆22221(0)xyabab与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是22222A aB bc.96.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21|()|aPFe xc，22|()|aPFex
32、c.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)P xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论第 15 页 共 27 页98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在 x轴上，0，焦点在 y 轴上）.99.
33、双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)P xy处的切线方程是00221x xy yab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)P xy所引两条切线的切点弦方程是00221x xy yab.（3）双 曲 线22221(0,0)xyabab与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是22222A aB bc.100.抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pCFx.过焦点弦长pxxpxpxCD212122.101.抛物线pxy22上的动点可设为 P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPP(,)x y，其中22ypx.102.二次函数2224()24bacbyaxbxca xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方
