1、1第六章第六章第六章第六章 方差分析与正交实验设计方差分析与正交实验设计方差分析与正交实验设计方差分析与正交实验设计Chapter VI Variance Analysis and Chapter VI Variance Analysis and Orthogonal Layout of ExperimentsOrthogonal Layout of Experiments课件制作 杨玉峰王亮杜丽霞课件制作 杨玉峰王亮杜丽霞配套教材 庄楚强应用数理统计基础配套教材 庄楚强应用数理统计基础硕士生学位课程CAI课件硕士生学位课程CAI课件2某灯泡厂用四种不同的配料方案制造灯丝，生产了四匹灯泡某灯泡
2、厂用四种不同的配料方案制造灯丝，生产了四匹灯泡.每匹随机抽查若干支测得其使用寿命，对四种配料方案进行优选每匹随机抽查若干支测得其使用寿命，对四种配料方案进行优选.Example 1.Example 1.A1A2A3A41 2 3 4 5 6 7 8灯灯丝丝A1600 1610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 18201510 1520 1530 1570 1680 1600 灯泡寿命灯泡寿命n=26 一一.Mathematic model(数学模型）四个随机变量
3、：数学模型）四个随机变量：4321),(),(),(),(24232221NNNN6.1 一个因素的方差分析一个因素的方差分析3各自的样本：各自的样本：11=1+11,17=1+1721=2+21,25=2+2531=3+31,38=3+3841=4+41,46=4+46理论上总平均：理论上总平均：=（71+52+83+64）A1的效应的效应 1=1，A2的效应的效应 2=2，A3的效应的效应 3=3，A4的效应的效应 4=4，4个样本：单因素4水平的统计模型个样本：单因素4水平的统计模型261（双下标）（双下标）44个样本：单因素4水平的统计模型个样本：单因素4水平的统计模型),0(2Nij
4、jjjjjjjj ,444333222111+=+=+=+=6,18,15,17,1LLLL=jjjj04321=检验：检验：H0：（四种灯丝无大差异）H1：至少一个 0 （有差异）二二.统计分析（统计分析（Statistic analysis）波动程度的分类量化分析波动程度的分类量化分析i 5(n=26)i1637.3076168016621636.251568.33 1600 1610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 17501460 1550 1600 1620 1640 1740 1660 1820 1510 1520 1530
5、1570 1680 1600A1A2A3A41 2 3 4 5 6 7 8 寿命灯寿命灯ij泡灯丝泡灯丝实测总平均：（全部样本的均值）实测总平均：（全部样本的均值）=(1600+)/26=1637.3076=ijijn1纵向波动：灯丝配料不同+随机波动灯丝作用显著纵向波动：灯丝配料不同+随机波动灯丝作用显著横向波动：正常随机波动，不是灯丝配料改变而引起横向波动：正常随机波动，不是灯丝配料改变而引起6=(16001680)2+（16101680）2+（18001680）2+(15801662)2+(16401662)2+（17501662)2+(14601636.25)2+(18201636.2
6、5)2+（15101568.3）2+（16001568.3）22)(=ijijTS2)(=ijiijeS总偏差平方和（总偏差平方和（Total sum of squares)：随机误差平方和：随机误差平方和(Error sum of squares)：(横向偏差：由试验重复引起，灯丝相同)(横向偏差：由试验重复引起，灯丝相同)71637.3076168016621636.251568.33 1680 1680 1680 1680 1680 1680 16801662 1662 1662 1662 16621636.25 1636.25 1636.25 1636.25 1636.25 1636.
7、25 1636.25 1636.251568.33 1568.33 1568.33 1568.33 1568.33 1568.33A1A2A3A41 2 3 4 5 6 7 8 寿命灯寿命灯ij泡灯丝泡灯丝i8（A的）组间偏差平方和：的）组间偏差平方和：2)(=ijiAS(纵向偏差=灯丝不同带来误差+试验误差)2()riiin=222)1680(.)1680()1680(+=(7项)22)1662(.)1662(+（5）22)25.1636(.)25.1636(+（8）22)3.1568(.)3.1568(+（6）（抹平了横向波动，只剩下纵向波动）9平方和分解公式平方和分解公式(Theorem
8、 1,p388)Decomposition formula of square sum：ST =Se +SA总偏差=随机误差+组间偏差（组内偏差）计算公式化简总偏差=随机误差+组间偏差（组内偏差）计算公式化简(有些计算器上可直接读出有些计算器上可直接读出)：=ijijijijijijTnTnS2222)(12222111AijijiijijiiiTSTnnnn=Se =STSA10Theorem 2.在一个因素的方差分析模型中，有在一个因素的方差分析模型中，有E(SA)=(r1)2+nii2 E(Se)=(nr)2Theorem 3.在一个因素的方差分析中，组内误差与总体方差之比服从在一个因素
9、的方差分析中，组内误差与总体方差之比服从 2 分布，即分布，即Se/2 2(nr)Theorem 4.在一个因素的方差分析中，当假设在一个因素的方差分析中，当假设H0 成立时有：成立时有：(1)SA/2 2(r1)(2)Se与与SA 相互独立，因而相互独立，因而)()1(rnSrSFeA=F(r1,nr)11Theorem 5.在一个因素的方差分析模型中：在一个因素的方差分析模型中：的无偏估计量。是的无偏估计量；是的无偏估计量；是的无偏估计量；是22)/(n-rSeiiiiii=12理论方差的估计：理论根据：理论方差的估计：理论根据：E(Se)=(n r)2(定理定理2,p390（225）)W
10、here r=水平数水平数=4（本例中）（本例中）n=数据总个数数据总个数=26（本例中）两类偏差的相对大小：（本例中）两类偏差的相对大小：FSA组间偏差，不同灯丝有显著差别组间偏差，不同灯丝有显著差别.FSA组间偏差，不同灯丝无显著差别组间偏差，不同灯丝无显著差别F临界值（查表）：临界值（查表）：),1(rnrF),1(1rnrF(1)()AesrFsnr=rnSe=2公式、数据比较多，列成表格便于观察记忆，即下面的方差分析表：公式、数据比较多，列成表格便于观察记忆，即下面的方差分析表：F 1-13eASSF=ATeSSS=rn rnSe方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方和均方和
11、F值值显著性显著性因素因素A误差误差e总和总和表表6-3 一个因素差分析表一个因素差分析表(394页页)=riiiAnTTnS12211rSAr1=ijijTnTS22 n1=rinjrinjjiijiTT111 ,其中14表表6-4 例例1 的计算表的计算表（p395)灯丝灯丝使用寿命使用寿命TiT2iA1A2A3A416001610 1650 1680 1700 1720 18001580 1640 1640 1700 175014601550 1600 1620 1640 1740 1660 1820 1510 1520 1530 1570 1680 160011760831013090
12、94101382976006905610017134810088548100,4=r126,riinn=rinjiji112;69895900()2212941013090831011760261.1+=riiTnnT()=2642570269700188.461554.19571146.6970018869895900 =TS7.44360 46.697001882.69744549 46.69700188 1 14122241=iiiiiiATnnTTnS8.151350=ATeSSS()().15.222/8.1513503/7.44360/1/=rnSrSFeA0.10,F=查分 布
13、表 得()()(),22 ,3 35.215.2 35.222 ,3 ,1 10.0110.0111=FFFrnrFFa 16在这个问题中，四个总体均值的点估计分别为：在这个问题中，四个总体均值的点估计分别为：168011=166222=25.163633=156844=习题六习题六-4,5;Prep:6.2将上述计算结果列成方差分析表：将上述计算结果列成方差分析表：表表6-5 例例1的方差分析表的方差分析表方差来源方差来源平方和平方和S自由度自由度均方和均方和F值值显著性显著性因素因素A影响影响误差误差e44360.7151350.832214786.9687959215(F1 =2.35)无显著影响无显著影响195711.5425总和总和似乎配方似乎配方1好，但方差分析表明各方案差别不算大好，但方差分析表明各方案差别不算大.17
