1、 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 第十六届（2018 年）小学“希望杯”全国数学邀请赛 五年级培训题 1、计算：201891.1 1.91 1.9911.99991个【答案】原式2018020.920.0920.00920.00009个 201920180201920.99994037.00001个9个 2、计算：123201620172016321【答案】原式123201622017 12016201620172017201620171201720161201720174068289 3、计算：2015.20152016.20162017.20172018.20
2、181934.1934【答案】原式2015 1.00012016 1.00012017 1.00012018 1.00011934 1.0001 1.0001201520162017201819341.0001 1000010001 4、已知201300.0000125a 个，201700.00008b 个求abab【答案】因为2013020170403000.00001250.000080.00001ab个个个，20130201700.00001250.000081250081562.5ab个个，所以40300402900.00001 1562.51562.500001abab个个 5、定义
3、：ababab，求345【答案】根据题设定义，得3434345，55555515，所以 34515 6、定义：abab，cddddd（c个d相乘），求5837【答案】根据题设定义，得585 840，37777343，所以 5837403434034313720 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 7、定义：1000babab个0，10abab（其中，a，b都是自然数），求20181234 【答案】根据题设定义，得原式2018123 100004 201812300042018 1012300042018012300041250184 8、观察下列数表的规律，求2018
4、是第几行的第几个数?12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15，【答案】由数表可知行数即是该行所有数的个数，因为 123631636322016，即前63行有2016个数，且第63行的最后一个数是2016，所以2018是第64行的第2个数 9、观察下列数的规律，求第2018个数 1 2018 2017 1 2016 2015 1，【答案】将题设中的数重新分组，每3个数一组因为201836722，所以第2018个数是第673组的第2个数，于是，第2018个数是201867221675 10、根据下列算式的规律，求第2018个算式的和 23，37，411，515，619，【答案
5、】观察发现，第n个算式是141nn，所以，第2018个算式是 2018142018110090 11、计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数：1，2，3，10000时，不幸打印机有故障，每次打印数字7或9时，它都打印出x，其中被打印错误的共有多少个数?【答案】将110000想象成四位密码0001、0002 9999、0000，那么恰好每个数位上都有10种变化，共计10 10 10 1010000种变化 现10个数字中去掉了7和9，那么还有8种变化，能够组成正常打印的数有 8 8 8 84096 （个），因此打印错误的有1000040965904（个）12、桌上有一些纸片，每张纸片上都
6、有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1，问这些纸片共有多少张?【答案】把6拿倒了，变成9；把69拿倒了，还是69，所以马小虎同学把总数多算了3由于编号的平均数增加1，所以这些纸片共有3张 13、有一串数，最前面的4个数是2，0，1，8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7这4个数吗?【答案】根据规律，这串数是2，0，1，8，1，0，0，9，0，9，8，6，3，6，3，8，0，7，8，3，呈现的规律是偶偶奇偶奇，而2，0，1，7是偶偶奇奇，按照上述 规律两个奇数不可能相邻，所以不会依次出现2
7、，0，1，7这4个数 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 14、某工人每小时内需先生产2个A产品，再生产3个B产品，最后生产1个C产品，则第725个产品是哪种产品?【答案】容易得这个工人每小时需生产产品2316（个），因为72512065，所以，第725个产品是生产第121个小时生产的第5个产品，故它是B产品 15、著名的哥德巴赫猜想可以陈述为：任意大于2的偶数，都可表示成两个质数之和将偶数88表示成两个质数的和，有几种表示方法?（ab和ba视为同一种表示方法）【答案】88583177129594147，共有4种表示方法 16、小华将连续奇数1，3，5，7，9逐个相加
8、，结果是2018验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是多少?【答案】设题中有n个数相加，则 因为1，3，5，7，9，21n 依次相加，得 1212nnnn而444419362018，454520252018，所以至少有45个数当有45个数时，最大的是89，202520187，所以漏加的数是7当有46个数时，最大的数是91，464620189891所以漏加的数是7 17、A、B、C、D、E五个数，每次去掉一个数，将其余下的4个数求平均数，这样计算了5次，得到下面5个数：23，26，30，33，38求A、B、C、D、E的平均数【答案】5次计算中，A、B、C、D、E分别使用了4次，所以A、B、
9、C、D、E五个数的和是2342643043343844150，所以，A、B、C、D、E的平均数是150530 18、A、B、C、D是四个不同的自然数，它们的平均数是8对它们两两求和，得到5个不同的和：12，15，17，20，x求x【答案】对A、B、C、D两两求和，可得到六个和 AB，AC,AD，BC，BD，CD 将这四个数两两相加得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以六个和数之和是84396，由题设知A、B、C、D两两求和，得到5个和，这说明所表示的六个和中有两个和是相等的 用y表示这个相等的和，则y只能是12，15，17，20，x中的一个，且 1215172096xy，从而32
10、xy，当y取12，15，17，20中的一个时，x 也在这四个数中，不符合题意，所以只能是xy得16x 19、已知甲和乙的最大公约数是6，最小公倍数是264，求甲、乙两数和的最小值【答案】因为甲和乙的最大公约数是6，所以甲和乙可分别表示为6a和6b，且a和b互质，因为甲和乙的最小公倍数是264，且264622 11，所以22 11ab，若1a，44b，则甲、乙两数的和是6 1644270；若4a，11b，则甲、乙两数的和是646 1190 比较可知，甲、乙两数和的最小值是90 20、求201620172018的所有不同质因数的和【答案】因为522016237，2017是个质数，20182 100
11、9，所以201520162017的不同质因数有：2，3，7，1009，2017，共5个它们的和是 237100920173038 21、将一个自然数的各位数字反次序排列所得的自然数称为原数的反序数如5位数13245的反序数为54231，11722的反序数是22711等如果一个5位数n的反序数是4的倍数，则 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 这样的n最小的一个是多少，最大的一个是多少【答案】五位数abcde被4整除的充要条件是de能被4整除故n最小的一个是21001，最大的一个是88999 22、求能写成四个连续自然数的和的最小三位数【答案】设第一个自然数为a，则这4
12、个自然数为a，1a，2a，3a，其和为 123442aaaaa，即这四个连续自然数的和减去2所得的差是4的倍数，因为100425，所以，能写成四个连续自然数的和的最小三位数是102 23、已知三位数1ab和1ab的差是639，求ab【答案】根据题设，得1ab比1ab大，所以1 110010110010abababab 90999ab，于是90999639ab，整理得1082ab，即82ab 24、3333312320172018的个位数字是多少?（注：3aaaa）【答案】当一个数的尾数依次是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0时，3个这样的数相乘所得的商的个位数字依次为1，8，7，4，5，6
13、，3，2，9，0，将这10个数作为一组，这组数的和的个位数字是5因为2018102018，且 201 5187456321041，所以3333312320172018的个位数字是1 25、20182018201820182018个的个位数字是多少?【答案】2018的个位数字是8；2个2018相乘，乘积的个位数字是4；3个2018相乘，乘积的个位数字是2；4个2018相乘，乘积的个位数字是6；5个2018相乘，乘积的个位数字是8；所以，n个2018相乘，n取1，2，3，4，5，时，所得积的个位数字分别是8，4，2，6，8，即所得积的个位数字每4个为一周期，重复出现，因为 20184=5042，所
14、以，“2018个2018相乘所得积的个位数字”与“2个2018相乘所得积的个位数字”相同，即为4 26、31008AB，其中A、B均为自然数，B的最小值是多少?（注：3AAAA）【答案】因为421008237，所以，B的最小值是22237588 27、求有16个约数的最小的自然数【答案】要使这个数尽量小，所取的质因数应该尽量小 若这个数只有一个质因数，则最小的数是152，若这个数有2个质因数，且162844，则这个数可能是723，或3323，若这个数有3个质因数，且16224，则这个数可能是3235，若这个数有4个质因数，且162222，则这个数可能是2357 ，比较可知3235120 是最小
15、的 28、若4037位数20185201895555 9999a个个能被7整除，求a【答案】因为111111158737，所以5555555 111111，9999999 111111都能被7整除，又201863362，所以201655555个和201699999个能被7整除，第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 因为2018520189201652021020160201695555 99995555 1000055 99 100009999aa个个个个个个，所以55 99a能被7整除，因为995544aa，所以44a能被7整除，因为644792，所以6a 29、若五
16、位数1624能被11整除，求所表示的数字【答案】若一个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的倍数，则这个数是11的倍数因为五位数1624偶数位上数字和是628，奇数位上数字和是 145，它们的差是3，或3，所以，3，或3是11的倍数，只能是3故所表示的自然数是3 30、求2018位数201855555个除以13所得的余数【答案】因为5555551342735，且201863362，所以201855555个除以13所得的余数与55除以13所得的余数相同，因为551343，所以201855555个除以13所得的余数是3 31、求12342019除以9所得的余数【答案】因为1234201
17、920191201922039190，且 203919092265766 另解任意连续9个自然数的和都能被9整除，201992243，余数必然是1236 32、求2017位数201777777个除以30所得的余数【答案】因为30235，故先考虑201777777个除以2，3，5所得的余数 易得201777777个除以2所得的余数是1，因为201777777个的各位数字之和为72017，所以201777777个除以3所得的余数是1，又201777777个除以5所得的余数等于7除以5所得的余数，所以201777777个除以5所得的余数是2，又因为在小于30的数中，同时满足除以2所得的余数是1，除以
18、3所得的余数是1，除以5所得的余数是2的数只有7，所以201777777个除以30所得的余数是7 33、某一个自然数分别去除25，38，43，所得的三个余数之和为18，求这个自然数【答案】由题设，得这个自然数显然小于26，否则25除以这个自然数所得的余数是25，大于18，又由1836，可知这个自然数大于6因为2543381888，所以，88是所求自然数的整数倍，而88大于6，小于26的约数有8，11或22 经验算，只有11满足条件，故这个自然数是11 34、六位数2018ab，被5除余1，被11除余8，求ab【答案】因为2018ab被5除余1，所以20181ab 是5的倍数，所以b只能取1或6
19、；又2018ab被11除余8，所以20183ab 是11的倍数，所以 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 2018311201803111011abab1834510811ab，所以 108ab是11的倍数，当1b 时，109a是11的倍数，此时，a只能取9，当6b 时，1014a是11的倍数，此时，a只能取3，故91ab，或36ab 35、已知四位数abcd除以2，3，4，5，6，7所得的余数互不相同（都不是0），求abcd的最小值【答案】因为在除法运算中，余数一定比除数小，所以四位数abcd除以2，所得的非零余数只能是1，除以3，所得的非零余数可能是1或2，因为四
20、位数abcd除以2，3所得的余数互不相同，所以四位数abcd除以3，所得的余数只能是2 同理可得，四位数abcd除以4，5，6，7，所得的余数依次为3，4，5，6，于是有1abcd 可以同时被2，3，4，5，6，7整除，即1abcd 是2，3，4，5，6，7的倍数，2，3，4，5，6，7420，4202840，42031260，所以abcd的最小值是126011259 36、若两位数xyxyAABB，求xy【答案】因为110AABBA B，所以AABB是11的倍数，因为11是质数，所以xy也是11的倍数，又xyxyAABB，所以0A B也是11的倍数 设011A Bab，则ab是完全平方数，且
21、10ab，满足条件的ab只有64，所以 0704A B，88xy 验算88887744，满足条件 37、字母W、M、T、C分别代表4个不同的数字，并且2017WWMMWTC，求WMTC的值【答案】由2017WWMMWTC，得 11 112017WMWTC，又201711 111681，所以7W，11TC，16WM，或8W，1TC，16WM，可推出2882WM，故8W，2M，1TC，因此82111WMTC 38、字母a，b，c表示3个不同的非零数字，若724abcbcc，求abc 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点【答案】因为724abcbcc，即1001010724a
22、bcbcc，也即100203724abc，因为3只有与8的积的个位数字是4，所以c必是8，于是1002024724ab，因此10020700ab，即10270ab，又2与0，5的积的个位数字都是0，所以5b（舍去0b），对应地6a，从而 65819abc，故所求和是19 39、已知 12143Snnnk，若k是1至200之间的自然数，n是大于2的自然数，则有多少个不同的k，使得S是两个相同自然数的乘积【答案】当3n 时，49Sk，设Sxx，则 94334kxxxx，由k是自然数，得x是大于3的奇数，因为2732734180200，2932934208200，所以，x可取的值有273212（个）
23、，对应地，当3n 时，满足条件的k的值有12个；当3n时，因为432 124 ，所以 121nnn是4的倍数，记 1214nnnp（p是大于等于6的自然数），则43Skp，因为任何自然数的4倍加上3都不能写成两个相同自然数的乘积，所以，当3n时，不存在满足条件的k 综上，有12个不同的k，使得S是两个相同自然数的乘积 40、用一块橡皮泥捏一个表面积是64的长方体，使它的长、宽、高都是整数，则可以捏出多少种不同的长方体?【答案】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则由题设得 64222abacbc，即32abacbc，因为长方体的长、宽、高都是整数，所以，若1a，则32bcbc，经试验，只有当
24、2b，10c，或10b，2c 时，满足条件，注意到长、宽、高互换时，是同一长方体，故记为一种长方体；若2a，则3222bcbc，经试验，只有当1b，10c，或10b，1c 时，满足条件，与是同一种长方体；若3a，则3233bcbc，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若4a，则3244bcbc，经试验，只有当2b，4c 或4b，2c 时，满足条件；若5a，则3255bcbc，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若6a，则3266bcbc，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若7a，则3277bcbc，经试验，只有当2b，2c 时，满足条件；若8a，则3288bcbc，经试验，不存在整数宽和高满足条件
25、；若9a，则3299bcbc，经试验，不存在整数宽和高满足条件；若10a，则321010bcbc，经试验，只有当1b，2c 或2b，1c 时，满足条件，与是同一长方体；当a取其它值时，不存在整数宽和高满足条件 综上，满足条件的长方体有3种 41、已知两位数ab与ba的差是45，求满足条件的ab的个数 第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点【答案】因为1010945abbaabbaab，所以5ab，因此，满足条件的ab有16，61，27，72，38，83，49，94，共8个 42、五位数273ab既能被3整除，又能被7整除，求满足条件的五位数的个数【答案】因为2730021
26、1300，所以两位数ab也能被21整除，所以，满足条件的五位数有27300，27321，27342，27363，27384，共5个 43、若1009abccba，则这样的abc有多少个?【答案】因为1001010010101201009abccbaabccbaacb，所以101 ac的个位数是9，只能是9ac，所以20100b，于是5b，这样的abc有8个：158，257，356，455，554，653，752，851 44、6个互不相同的非零自然数的平均数是12，若将其中一个两位数ab换为ba（a，b是非零数字），那么这6个数的平均数变为18，求满足条件的ab的个数【答案】由题设得10101
27、8126baab，即936ba，所以4ba，于是当1a 时，5b，15ab，51ba，当2a 时，6b，26ab，62ba，当3a 时，7b，37ab，73ba，当4a 时，8b，48ab，84ba，当5a 时，9b，59ab，95ba，又因为6个自然数互不相同，所以ab最大为1261234557，同理，得ba最大为1861234593，所以，满足题设的ab有15，26，37，48，共4个 45、在1 300（包括1和300）的自然数中，既不能写成两个相同自然数的乘积，也不能写成三个相同自然数的乘积的数有多少个?【答案】因为1 11，224，4416，17 17289，18 18324，且1
28、1 11 ，2228，33327，666216，777343，第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 即在1 300的自然数中，能写成两个相同自然数的乘积的数有17个，能写成三个相同自然数的乘积的数有6个，其中，即能写成两个相同自然数的乘积，也能写成三个相同自然数的乘积的数有2个，即1和64，所以，满足条件的数共有3001762279（个）46、已知四位数abcd，bcad ，10abcd，a，d和abcd都是质数，求这个四位数【答案】因为a是一位数字，并且是质数，所以a是2，3，5，7之一 如果2a，则由bca，知0b,1c,由10abcd，得7d，于是2017abcd
29、 如果3a，则由bca，得1b，2c，或0b，2c 或0b，1c，又 10abcd，所以4d，或5d，或6d，因为d也是质数，于是3a，0b，2c，5d，因此3025abcd，3025是合数 如果5a，则由ad，得d最小是6，此时11 10ad，与10abcd矛盾，所以5a 不合题意 同理，7a 也不合题意综上可知，2017abcd 47、已知、分别代表不等于0的不同数字，若等式77 2018恒成立，求+的值【答案】先估算一个接近2018的数，以减少试算的次数 因为703021002018，所以代表的数字应该小于3，即代表的数字只能是1或2 当=1时，71 17112072018，则811，表
30、示两位数，而811是三位数，矛盾；当2时，72272194422018，则37，因此2，3，7，故23712+48、数一数，图1中共有多少个三角形?【答案】由1个三角形构成的三角形有16个，由1个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由2个三角形和1个四边形构成的三角形有16个，由5个三角形、2个四边形和1个八边形构成的三角形有8个，所以，图中共有三角形161616856（个）49、图2中共有多少个三角形?【答案】易得图中共有12个彼此没有重合部分的小三角形，由2个小三角形构成的三角形有8个，由3个小三角形构成的三角形有12个，由4个小三角形构成的三角形有4个，第 16 届希望杯五年级培训
31、100 题解析 每天进步一点点 由6个小三角形构成的三角形有4个，所以，图中共有三角形128124440(个)50、图3中有6个1 1的小正方形，它们共有12个顶点 从中取出3个，作为三角形的顶点，问：这些三角形中，面积是1的有多少个?【答案】首先，由面积公式12 112S ，可知（1）以图17中的粗线段为底边时，顶点可以选4个黑点中的任意一个，此时，有4个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有4个这样的三角形，此图中共有42个这样的三角形同理，底边在大长方体的最上边的橫边上，又有42个这样的三角形而图中这样的大长方形有2个，所以共有三角形422232（个）（2）如图18，类似（1），长方
32、形如果竖起来，共有三角形32318（个）（3）以图19中的粗线段为底边时，去掉与（2）重复的，顶点可以选2个黑点中的任意一个，此时，有2个这样的三角形，将底边向右移动一个单位，又有2个这样的三角形，此图中共有23个这样的三角形同理，底边在大长方形的最上边的橫边上，又有23个这样的三角形，所有共有三角形23212（个）（4）以图20中的粗线段为底，去掉与（1）重复的，顶点只有1种选法，有1个这样的三角形，将底边往下移一个单位，又有1个这样的三角形，此图中共有2个这样的三角形 同理，如果将大正方形的最右边的边作为底，有2个三角形而图中这样的大正方形有2个，所以共有三角形2228（个）故32的正方形
33、中，面积为1的三角形共有321812870（个）51、如图4，在正方形网格中有一个三角形，问图中含有三角形的正方形有几个?【答案】由1个小正方形构成的有三角形的正方形有1个；由4个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由9个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由16个小正方形构成的有三角形的正方形有4个；由25个小正方形构成的有三角形的正方形有1个 故含有三角形的正方形共有14个 52、把一副三角尺ABC与BDE按如图5所示拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上BM为ABC的平分线，BN为CBE的平分线，求MBN的度数 【答案】因为60ABC，且BM为ABC的平分线，第 16 届希望杯五年级培训 100 题解析 每天进步一点点 所以260230CBMMBAABC ，因为6090150CBEABCDBE ，所以150275CBNNBE，故753045MBNCBNCBM 53、如图6，从左
