1、2021年福建省福州市高考数学质检试卷（一模）一、单项选择题（共8小题）.1已知集合A1，2，3，4，5，Bx|x2k+1，kA，则AB（）A1，3B2，4C3，5D1，3，52设复数za+bi（aZ，bZ），则满足|z1|1的复数z有（）A7个B5个C4个D3个3“m5”是“m24m50”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4若抛物线ymx2上一点（t，2）到其焦点的距离等于3，则（）AmBmCm2Dm45已知函数f（x）lnx，则函数yf（）的图象大致为（）ABCD6在ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F若，则的值为（）
2、A2B3C4D57分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学如图，有一列曲线P0，P1，Pn，已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k0，1，2，）记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn.对于nN，下列结论正确的是（）A为等差数列B为等比数列CM0，使LnMDM0，使SnM8已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）图象过（0，1），在区间（）上为单调函数，把f（x）的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合设x1，x2（）且x1x2，若f（x1）f（x2），则f（x
3、1+x2）的值为（）AB1C1D二、多项选择题（共4小题）.9“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9已知P（K26.635）0.010，P（K210.828）0.001，则下列判断正确的是（）认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）4010A在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B在该餐厅用餐
4、的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关10如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平面MNP的是（）ABCD11已知P是双曲线E：1在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，PF1F2的面积为则以下结论正确的是（）A点P的横坐标为BF1PF2CPF1F2的内切圆半径为1DF1PF2平分线所在的直线方程为3x2y4012在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函
5、数sinhx和双曲余弦函数coshx等双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画则下列结论正确的是（）Acosh2x+sinh2x1Bycoshx为偶函数，且存在最小值Cx00，sinh（ sinhx 0）sinhx0Dx1，x2R，且x1x2，1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13设x，y满足约束条件，则x2y的取值范围为 14（x+）5的展开式中，的系数为 15在三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，B
6、AC90，PCA30，AB3，PA2则三棱锥PABC的外接球的表面积为 16已知圆C的方程为（x2）2+（y1）24，过点M（2，0）的直线与圆C交于P，Q两点（点Q在第四象限）若QMO2QPO，则点P的纵坐标为 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17在Sn2an+1；a11，log2（anan+1）2n1；an+12anan+2，S23，a34这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答问题：已知单调数列an的前n项和为Sn，且满足 _（1）求an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn18在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，
7、c，a+bccosBbcosC（1）求角C的大小；（2）设CD是ABC的角平分线，求证：19如图，在三棱台ABCA1B1C1中，AA1A1C1CC11，AC2，A1CAB（1）求证：平面ACC1A1平面ABB1A1；（2）若BAC90，AB1，求二面角ABB1C的正弦值20已知椭圆E：1（ab0）的左、右顶点分别为A1（，0），A2（，0），上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B2A2B1的周长为4（1）求E的方程；（2）设P为E上异于A1，A2的动点，直线A1P与y轴交于点C，过A1作A1DPA2，与y轴交于点D试探究在x轴上是否存在一定点Q，使得3，若存在，求出点Q坐标；若不存在，说明理
8、由21从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元（注：月利率为年利率的十二分之一）已知某公司现有2020年底结余资金1050万元（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；（2）公司决定将
9、550万元作协定存款，于20211月1日存入该银行账户，规定从2月份起，每月首日支取50万元作为公司的日常开销将余下500万元中的x万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余（500x）万元作结构性存款求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该笔投资到2021年底将有60%的概率获得（+0.02x2+0.135x）万元的收益，有20%的概率亏损0.27x万元，有20%的概率保本问：x为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值22已知f（x）x2ex1（
10、1）判断f（x）的零点个数，并说明理由；（2）若f（x）a（2lnx+x），求实数a的取值范围参考答案一、单项选择题（共8小题）.1已知集合A1，2，3，4，5，Bx|x2k+1，kA，则AB（）A1，3B2，4C3，5D1，3，5解：集合A1，2，3，4，5，Bx|x2k+1，kA3，5，7，9，11，则AB3，5故选：C2设复数za+bi（aZ，bZ），则满足|z1|1的复数z有（）A7个B5个C4个D3个解：za+bi，z1（a1）+bi，|z1|，|z1|1，1，（a1）2+b21，而aZ，bZ，b1或0，b1时，a1，b0时，a0，1，2，综上：z1+i，z1i，z0，z1，z2，故
11、选：B3“m5”是“m24m50”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：由m24m50得（m+1）（m5）0，得1m5，则“m5”是“m24m50”的必要不充分条件，故选：B4若抛物线ymx2上一点（t，2）到其焦点的距离等于3，则（）AmBmCm2Dm4解：抛物线ymx2上一点（t，2），所以m0，抛物线的准线方程为：y，抛物线ymx2上一点（t，2）到其焦点的距离等于3，可得：3，解得m故选：A5已知函数f（x）lnx，则函数yf（）的图象大致为（）ABCD解：f（x）lnx，yf（）lnln（1x），1x0，x1，即该函数的定义域为（，1），排
12、除选项A和B，当x1时，yln20，排除选项C，故选：D6在ABC中，E为AB边的中点，D为AC边上的点，BD，CE交于点F若，则的值为（）A2B3C4D5解：设，因为，所以+，因为B，F，D三点在同一条直线上，所以+1，所以4，所以4故选：C7分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学如图，有一列曲线P0，P1，Pn，已知P0是边长为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作而得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k0，1，2，）记Pn的周长为Ln、所围成的面积为Sn.对于nN，下列结论正确的是（）A为等差数列B为等比数列C
13、M0，使LnMDM0，使SnM解：根据题意可知，封闭曲线的周长数列Ln是首项为L03，公比为的等比数列，所以Ln，由图可知，Pk边数为34k，边长为，所以Pk+1比Pk的面积增加了，所以，（k0，1，2，），即，累计相加可得，所以，根据等差数列以及等比数列的定义可知，既不是等差数列，也不是等比数列，故选项A，B错误；当n+时，Ln+，故选项C错误；因为，故M0，使SnM，故选项D正确故选：D8已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）图象过（0，1），在区间（）上为单调函数，把f（x）的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合设x1，x2（）且x1x2，若f（x1）f（x2），则f（x1+x2
14、）的值为（）AB1C1D解：函数f（x）2sin（x+）（0，|）图象过（0，1），故有2sin1，f（x）2sin（x+）f（x）在区间（）上为单调函数，4把f（x）的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合，k，kZ，2 或4当2，f（x）2sin（2x+），不满足在区间（）上为单调函数当4，f（x）2sin（4x+），满足在区间（）上为单调函数设x1，x2（）且x1x2，则 4x1+（ 2+，2+），4x2+（ 2+，2+），若f（x1）f（x2），则2+，x1+x2，则f（x1+x2）f（）2sin1故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，
15、有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如表所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9已知P（K26.635）0.010，P（K210.828）0.001，则下列判断正确的是（）认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）4010A在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B
16、在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关解：K2的观测值为9，且P（K26.635）0.010，P（K210.828）0.001，又96.635，但910.828，有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%66.7%，故选项A正确，选项B错误
17、，故选：AC10如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平面MNP的是（）ABCD解：对于选项A，连结AE，BE，如图所示，因为M，N，P为所在棱的中点，由中位线定理可得，AEMN，EBNP，且AEBEE，MNNPN，AE，BE平面AEB，MN，NP平面MNP，所以平面MNP平面AEB，因为AB平面AEB，所以AB平面MNP，故选项A正确；对于选项B，如图所示，因为M，N，P为所在棱的中点，所以ANPB，且ANPB，故四边形ANPB为平行四边形，故ABPN，因为AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB平面MNP，故选项B正确；对
18、于选项C，连结上底面的对角线交于点O，连结OP，如图所示，因为M，N，P为所在棱的中点，由中位线定理可得，ONAB，因为ON与平面MNP相交，故AB与平面NMP不平行，故选项C不正确；对于选项D，连结上底面的对角线AE，如图所示，因为M，N，P为所在棱的中点，所以AEMN，BEPN，又因为AEBEE，MNPNN，AE，BE平面ABE，PN，MN平面NMP，所以平面ABE平面MNP，又AB平面ABE，所以AB平面MNP，故选项D正确故选：ABD11已知P是双曲线E：1在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，PF1F2的面积为则以下结论正确的是（）A点P的横坐标为BF1PF2CPF1F2
19、的内切圆半径为1DF1PF2平分线所在的直线方程为3x2y40解：双曲线E：1中的a2，b，c3，不妨设P（m，n），m0，n0，由PF1F2的面积为，可得|F1F2|ncn3n，即n，由1，可得m3，故A不正确；由P（3，），且F1（3，0），F2（3，0），可得k，则tanF1PF2（，+），即F1PF2，故B正确；由|PF1|+|PF2|+9，则PF1F2的周长为9+615，设PF1F2的内切圆半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|F1F2|，可得15r15，解得r1，故C正确设F1PF2平分线所在的直线的斜率为k，k0，可得tanF1PF2，解得k（负的舍去），则F
20、1PF2平分线所在的直线的方程为y（x3），化为3x2y40，故D正确故选：BCD12在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinhx和双曲余弦函数coshx等双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画则下列结论正确的是（）Acosh2x+sinh2x1Bycoshx为偶函数，且存在最小值Cx00，sinh（ sinhx 0）sinhx0Dx1，x2R，且x1x2，1解：对于A：双曲正弦函数sinhx和双曲余弦函数cos
21、hx满足，只有当x0时，但是对于其他的值不一定成立，故A错误；对于B：，故函数为偶函数，由于，故，（当且仅当x0时，等号成立），故B正确；对于C：函数yex和函数yex都为单调递增函数，所以ysinhx也为增函数，当时，sinhx0sinh00，令tsinhx00，令g（t）sinhtt，则，所以g（t）在（0，+）单调递增，所以g（t）g（0）0，所以sinhtt（t0），即sinh（ sinhx 0）sinhx0，故C正确；对于D：不妨设x1x2，所以x1x20，则，即sinhx1sinhx2x1x2，由选项C得：g（t）sintt在（0，+）上单调递增，由于g（t）g（t）所以函数g（t
22、）为奇函数，所以函数的图像关于原点对称，在（，0）上单调递增，故x1，x2R，且x1x2，1，故D正确故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13设x，y满足约束条件，则x2y的取值范围为2，4解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（4，0），联立，解得A（2，2），作出直线x2y0，由图可知，平移直线至A时，x2y有最大值为4；至B时，x2y有最小值为2222x2y的取值范围为2，4故答案为：2，414（x+）5的展开式中，的系数为5解：（x+）5的展开式的通项公式为：Tr+1x5r，令5r1，解得r4，所以的系数为5故答案为：515在三棱锥
23、PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，BAC90，PCA30，AB3，PA2则三棱锥PABC的外接球的表面积为25解：在三棱锥PABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，BAC90，BA平面PAC，PCA30，PA2设PAC的外接圆的半径为r，外接圆圆心为Q，则2r，解得r2，过Q作OQ平面PAC，则QOAB，外接球的半径为R，球心为O，R，外接球的表面积为4R225故答案为：2516已知圆C的方程为（x2）2+（y1）24，过点M（2，0）的直线与圆C交于P，Q两点（点Q在第四象限）若QMO2QPO，则点P的纵坐标为解：圆C的方程为（x2）2+（y1）24，因为QMO2QPO，由三角形的补角可
24、知，QMOQPO+MOP，所以QPOMOP，故OMP为等腰三角形，所以OMMP2，设P（x，y），则，解得，所以点P的纵坐标为故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17在Sn2an+1；a11，log2（anan+1）2n1；an+12anan+2，S23，a34这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答问题：已知单调数列an的前n项和为Sn，且满足 _（1）求an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn解：方案一：选条件（1）由题意，当n1时，a1S12a1+1，解得a11，当n2时，anSnSn12an+12an11，化简整理，
25、得an2an1，数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，an12n12n1，nN*（2）由（1）知，nann（2n1）n2n1，则Tn11+221+322+n2n1，2Tn121+222+（n1）2n1+n2n，两式相减，可得Tn1+21+22+2n1n2nn2n（n1）2n1，Tn（n1）2n+1方案二：选条件（1）依题意，由log2（anan+1）2n1，可得anan+122n1，则an+1an+222n+1，两式相比，可得4，a11，数列an的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，又a1a222，a22，数列an的偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列，综合可得，数列an是以1为首项
26、，2为公比的等比数列，an12n12n1，nN*（2）由（1）知，nann（2n1）n2n1，则Tn11+221+322+n2n1，2Tn121+222+（n1）2n1+n2n，两式相减，可得Tn1+21+22+2n1n2nn2n（n1）2n1，Tn（n1）2n+1方案三：选条件（1）依题意，由an+12anan+2，可知数列an为等比数列，设等比数列an的公比为q，则，化简整理，得3q24q40，解得q（舍去），或q2，a11，an12n12n1，nN*（2）由（1）知，nann（2n1）n2n1，则Tn11+221+322+n2n1，2Tn121+222+（n1）2n1+n2n，两式相减，可得Tn1+21+22+2n1n2nn2n（n1）2n1，Tn（n1）2n+118在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+bccosBbcosC（1）求角C的大小；（2）设CD是ABC的角平分线，求证：解：（1）因为a+bccosBbcosC，所以由余弦定理可得a+bcb，整理可得a2+b2c2ab，所以cosC，因为C（0，），所以C（2）证明：
