1、最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答汇总3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答第三章 微分中值定理与导数的应用答案3.1 微分中值定理1 填空题（）函数Skip Record If.在Skip Record If.上使拉格朗日中值定理结论成立的是Skip Record If.（）设Skip Record If.，则Skip Record If.有 3 个实根，分别位于区间Skip Record If.中2 选择题（）罗尔定理中的三个条件:Skip Record If.在Skip Record If.上连续，在Skip Record If.内可导，且Skip Record If.，是S
2、kip Record If.在Skip Record If.内至少存在一点Skip Record If.，使Skip Record If.成立的（ B ） A 必要条件 B充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件（）下列函数在Skip Record If.上满足罗尔定理条件的是（ C ）A.Skip Record If. B. Skip Record If. C. Skip Record If. D. Skip Record If.（）若Skip Record If.在Skip Record If.内可导，且Skip Record If.是Skip Record If.内任意两点，则至
3、少存在一点Skip Record If.，使下式成立（ B ）A Skip Record If.B Skip Record If.在Skip Record If.之间C Skip Record If.D Skip Record If.3证明恒等式：Skip Record If.证明： 令Skip Record If.，则Skip Record If.，所以Skip Record If.为一常数设Skip Record If.，又因为Skip Record If.，故 Skip Record If.4若函数Skip Record If.在Skip Record If.内具有二阶导数，且Skip
4、Record If.，其中Skip Record If. Skip Record If.，证明:在Skip Record If.内至少有一点Skip Record If.，使得Skip Record If.证明：由于Skip Record If.在Skip Record If.上连续,在Skip Record If.可导,且Skip Record If.，根据罗尔定理知，存在Skip Record If.， 使Skip Record If. 同理存在Skip Record If.，使Skip Record If. 又Skip Record If.在Skip Record If.上符合罗尔定理的
5、条件，故有Skip Record If.，使得Skip Record If.5 证明方程Skip Record If.有且仅有一个实根证明：设Skip Record If.，则Skip Record If.，根据零点存在定理至少存在一个Skip Record If.， 使得Skip Record If.另一方面，假设有Skip Record If.，且Skip Record If.，使Skip Record If.，根据罗尔定理，存在Skip Record If.使Skip Record If.，即Skip Record If.，这与Skip Record If.矛盾故方程Skip Recor
6、d If.只有一个实根6 设函数Skip Record If.的导函数Skip Record If.在Skip Record If.上连续，且Skip Record If.，其中Skip Record If.是介于Skip Record If.之间的一个实数 证明： 存在Skip Record If., 使Skip Record If.成立.证明： 由于Skip Record If.在Skip Record If.内可导，从而Skip Record If.在闭区间Skip Record If.内连续，在开区间Skip Record If.内可导又因为Skip Record If.，根据零点存在
7、定理，必存在点Skip Record If.，使得Skip Record If. 同理，存在点Skip Record If.，使得Skip Record If.因此Skip Record If.在Skip Record If.上满足罗尔定理的条件，故存在Skip Record If.， 使Skip Record If.成立7. 设函数Skip Record If.在Skip Record If.上连续, 在Skip Record If.内可导. 试证:至少存在一点Skip Record If., 使Skip Record If. 证明： 只需令Skip Record If.，利用柯西中值定理即
8、可证明.8证明下列不等式（）当Skip Record If.时，Skip Record If.证明： 设Skip Record If.，函数Skip Record If.在区间Skip Record If.上满足拉格朗日中值定理的条件，且Skip Record If., 故Skip Record If., 即Skip Record If. (Skip Record If.)因此， 当Skip Record If.时，Skip Record If.（）当 Skip Record If.时，Skip Record If.证明：设Skip Record If.，则函数在区间Skip Record I
9、f.上满足拉格朗日中值定理得条件，有Skip Record If.因为Skip Record If.，所以Skip Record If.，又因为Skip Record If.，所以Skip Record If.，从而 Skip Record If.3.1 洛毕达法则1 填空题（） Skip Record If.Skip Record If. （）Skip Record If. 0 （）Skip Record If.=Skip Record If. （）Skip Record If.1选择题（）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）A Skip Record If.Skip Record If
10、.B Skip Record If.Skip Record If. C Skip Record If.不存在D Skip Record If.=Skip Record If.（） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A Skip Record If. B Skip Record If. CSkip Record If. D Skip Record If.3 求下列极限（）Skip Record If. 解： Skip Record If.=Skip Record If.（）Skip Record If.解： Skip Record If.=Skip Record If.
11、=Skip Record If.=Skip Record If. （）Skip Record If. 解：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.（） Skip Record If.解：Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.（）Skip Record If. 解：Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.Skip Record If.（） Skip Record If. 解：Skip Record If.（） Sk
12、ip Record If. 解：Skip Record If.（）Skip Record If. 解： Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.（） Skip Record If.解： 因为Skip Record If.，所以Skip Record If.=13.3 泰勒公式按Skip Record If.的幂展开多项式Skip Record If.解： Skip Record If.， 同理得Skip Record If.，且Skip Record If.由泰勒公式得：Skip Record If.=Ski
13、p Record If.2 求函数Skip Record If.的带有佩亚诺型余项的Skip Record If.阶麦克劳林公式解：因为Skip Record If.，所以 Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.3 求一个二次多项式Skip Record If.，使得Skip Record If.解：设Skip Record If.，则Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.，故 Skip Record If.，则 Skip Record If.为所求4利用泰勒公式求极限Skip Rec
14、ord If.解：因为 Skip Record If.，所以 Skip Record If.=Skip Record If.=Skip Record If.，故 Skip Record If.5 设Skip Record If.有三阶导数,且Skip Record If.,证明在Skip Record If.内存在一点Skip Record If.,使Skip Record If.证明： 因为 Skip Record If.，所以Skip Record If.由麦克劳林公式得：Skip Record If. （Skip Record If.介于0与Skip Record If.之间），因此 S
15、kip Record If.，由于Skip Record If.，故Skip Record If.3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1 填空题（） 函数Skip Record If.的单调增加区间是Skip Record If.，单调减少区间Skip Record If.（）若函数Skip Record If.二阶导数存在，且Skip Record If.，则Skip Record If.在Skip Record If.上是单调 增加 （）函数Skip Record If.在Skip Record If.内单调增加，则Skip Record If.Skip Record If.（）若点（1，3)
16、为曲线Skip Record If.的拐点，则Skip Record If.Skip Record If.，Skip Record If.Skip Record If.，曲线的凹区间为Skip Record If.，凸区间为Skip Record If. 2 单项选择题（）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数.A. Skip Record If. Skip Record If. B. Skip Record If. Skip Record If. C. Skip Record If. Skip Record If. D. Skip Record If. Skip Record I
17、f. （）设Skip Record If.，则在区间Skip Record If.内（ B ）A. Skip Record If.单调增加，曲线Skip Record If.为凹的 B. Skip Record If.单调减少，曲线Skip Record If.为凹的 C.Skip Record If.单调减少，曲线Skip Record If.为凸的 Skip Record If.单调增加，曲线Skip Record If.为凸的（）Skip Record If.在Skip Record If.内可导, 且Skip Record If.,当 Skip Record If.时, Skip Re
18、cord If.,则( D )A. 任意Skip Record If. B. 任意Skip Record If.C. Skip Record If.单调增 D. Skip Record If.单调增（）设函数Skip Record If.在Skip Record If.上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ）A. Skip Record If. B. Skip Record If.C. Skip Record If. D. Skip Record If.2 求下列函数的单调区间（）Skip Record If.解：Skip Record If.，当Skip Record If.时，S
19、kip Record If.,所以函数在区间Skip Record If.为单调增加； 当Skip Record If.时，Skip Record If.，所以函数在区间Skip Record If.为单调减少（）Skip Record If.解：Skip Record If.，当Skip Record If.，或Skip Record If.时，Skip Record If.,所以函数在区间Skip Record If.为单调增加；当Skip Record If.时，Skip Record If.，所以函数在区间Skip Record If.为单调减少（）Skip Record If.解：
20、Skip Record If.，故函数在Skip Record If.单调增加3 证明下列不等式（）证明： 对任意实数Skip Record If.和Skip Record If., 成立不等式Skip Record If.证明：令Skip Record If.，则Skip Record If.， Skip Record If.在Skip Record If.内单调增加.于是, 由 Skip Record If., 就有 Skip Record If., 即 Skip Record If. （）当Skip Record If.时, Skip Record If.证明：设Skip Record
21、If.， Skip Record If.，由于当Skip Record If.时，Skip Record If., 因此Skip Record If.在Skip Record If.单调递增, 当 Skip Record If.时, Skip Record If., 故Skip Record If.在Skip Record If.单调递增, 当 Skip Record If.时, 有Skip Record If.故当Skip Record If.时,Skip Record If., 因此Skip Record If.（）当 Skip Record If.时，Skip Record If.证明：
22、设Skip Record If., Skip Record If.，当Skip Record If.，Skip Record If.，所以Skip Record If.在Skip Record If.单调递增, 当 Skip Record If.时, Skip Record If., 故Skip Record If.在Skip Record If.单调递增, 从而当 Skip Record If.时, 有Skip Record If. 因此当 Skip Record If.时，Skip Record If.4 讨论方程Skip Record If.(其中Skip Record If.为常数)在
23、Skip Record If.内有几个实根解：设Skip Record If. 则Skip Record If.在Skip Record If.连续, 且Skip Record If.， 由Skip Record If.，得Skip Record If.为Skip Record If.内的唯一驻点Skip Record If.在Skip Record If.上单调减少，在Skip Record If.上单调增加 故Skip Record If.为极小值，因此Skip Record If.在Skip Record If.的最大值是Skip Record If.,最小值是Skip Record I
24、f. （） 当Skip Record If.或Skip Record If.时,方程在Skip Record If.内无实根； （） 当Skip Record If.时,有两个实根； （） 当Skip Record If.时，有唯一实根5 试确定曲线Skip Record If.中的a、b、c、d，使得Skip Record If.处曲线有水平切线，Skip Record If.为拐点，且点Skip Record If.在曲线上解： Skip Record If.,Skip Record If.，所以Skip Record If.解得： Skip Record If.6求下列函数图形的拐点及凹
25、或凸的区间（）Skip Record If. 解： Skip Record If., Skip Record If.,令Skip Record If.,得Skip Record If.，当Skip Record If.时Skip Record If.不存在当Skip Record If.或Skip Record If.时, Skip Record If.,当Skip Record If.或Skip Record If.时, Skip Record If.故曲线Skip Record If.在Skip Record If.上是凸的, 在区间和Skip Record If.上是凹的，曲线的拐点为S
26、kip Record If. （）Skip Record If.拐点及凹或凸的区间解：Skip Record If. ，Skip Record If.当Skip Record If.时，Skip Record If.不存在；当Skip Record If.时，Skip Record If. 故曲线在Skip Record If.上是凸的, 在Skip Record If.上是凹的，Skip Record If.是曲线的拐点, 7利用凹凸性证明: 当Skip Record If.时, Skip Record If.证明：令Skip Record If., 则Skip Record If., Skip Record If.当Skip Record If.时, Skip Record If., 故函数Skip Record If.的图形在
