1、美国数学建模题目至翻译2001年A题（一）Choosing a Bicycle Wheel选择自行车车轮有不同类型的车轮可以让自行车手们用在自己的自行车上。两种基本的车轮类型是分别用金属辐条和实体圆盘组装而成（见图1）。辐条车轮较轻，但实体车轮更符合空气动力学原理。对于一场公路竞赛，实体车轮从来不会用作自行车的前轮但可以用作后轮。 职业自行车手们审视竞赛路线，并且请一位识文断字的人推断应该使用哪种车轮。选择决定是根据沿途山丘的数量和陡度，天气，风速，竞赛本身以及其他考虑作出的。你所喜爱的参赛队的教练希望准备妥当一个较好的系统，并且对于给定的竞赛路线已经向你的参赛队索取有助于确定宜用哪种车轮的信
2、息。 这位教练需要明确的信息来帮助作出决定，而且已经要求你的参赛队完成下面列出的各项任务。对于每项任务都假定，同样的辐条车轮将总是装在前面，而装在后面的车轮是可以选择的。 任务1. 提供一个给出风速的表格，在这种速度下实体后轮所需要的体能少于辐条后轮。这个表格应当包括相应于从百分之零到百分之十增量为百分之一的不同公路陡度的风速。（公路陡度定义为一座山丘的总升高除以公路长度。如果把山丘看作一个三角形，它的陡度是指山脚处倾角的正弦。）一位骑手以初始速度45kph从山脚出发，他的减速度与公路陡度成正比。对于百分之五的陡度，骑上100米车速要下降8kph左右。 任务2. 提供一个例证，说明这个表格怎样
3、用于一条时间试验路线。 任务3. 请判明这个表格是不是一件决定车轮配置的适当工具，并且关于如何作出这个决定提出其他建议。 MCM2001B题 Escaping a Hurricanes Wrath逃避飓风怒吼(一场恶风)1999年，在Floyd飓风预报登陆之前，撤离南卡罗来纳州沿海地区的行动导致一场永垂青史的交通拥塞。车水马龙停滞在州际公路I-26上，那是内陆上从Charleston通往该州中心Columbia相对安全处所的主要干线。正常时轻松的两个小时驱车路要用上18个小时才能开到头。许多车竟然沿途把汽油消耗净尽。幸运的是， Floyd飓风掉头长驱北上，这次放过了南卡罗来纳州，但是，公众的喧
4、嚷正在迫使该州官员们寻找各种办法，以求避免这场交通恶梦再度出现。 倾力解决这个问题的主要提议是I-26公路上的车辆转向疏散，因此，包括通往海岸的多条次级公路在内，从两个侧面疏导车流在内陆从Charleston开往Columbia 。 把提议付诸实施的计划已经由South Carolina Emergency Preparedness Division准备好（而且贴在互联网上）。从Myrtle Beach和Hilton Head通往内地的主干道上车辆转向疏散的方案也在规划中。 这里有一张南卡罗来纳州的简化地图。Charleston有近500,000人，Myrtle Beach有200,000人左
5、右，而另一个250,000人分散在沿岸其余地区。（如果查找，更精确的数据随处可用。 州与州之间有两条车辆往来的次级公路，自然大都市地区除外，那里有三条。Columbia，又一个500,000人左右的大都市地区，没有充足的旅店空间为撤退者提供食宿（包括沿其他路线来自大北边的一些人），所以，若干车辆继续撤离，沿着I-26公路开往Spartanburg市；沿着I-77公路北上Charlotte市；而且沿着I-20公路东进Atlanta市。在1999年，从Columbia开往西北方向的车辆行进得非常慢。对这个问题建立一个模型，调查研究哪种策略可以降低在1999年观察到的拥挤。这里有一些问题需要加以考虑
6、： 在什么条件下，把I-26的两条开往海岸的次级公路变成开往Columbia的两条次级公路，特别是把整个I-26变成单行道会使撤离交通状况得到重大改善？ 在1999年，南卡罗来纳州的整个沿海地区奉命同时撤离。如果采取另一种策略，逐个郡按某个时间段错开撤离，同时与飓风对沿岸影响的模式相协调，撤离交通状况会改善吗？ 在I-26公路旁边有若干较小的高速公路从海岸延伸到内陆。在什么条件下，把车辆流转向这些道路会改善撤离交通？ 在Columbia建立更多临时收容所来减少离开Columbia的车辆，这会对撤离交通状况有什么影响？ 在1999年，离开海岸的许多家庭一路上携带他们的船只，露营设备和汽车住宅。许
7、多家庭驾驶他们的所有汽车。在什么条件下，应当对携带的车辆类型或车辆数目加以限制以求保证适时撤离？ 在1999年，人们还会记得，若干Georgia州 and Florida州的沿岸居民逃避较早预报的Floyd飓风南部登陆，沿着I-95公路北上而加重了南卡罗来纳州交通问题。他们对于撤离交通的冲击会有多大？ 要清楚地指明，为了比较各种策略，使用什么方法对实施状况予以评测。 要求：预备一篇简短的报刊文章，不超过两页，向公众解释你的研究成果和结论。 MCM2002A题 Wind and Waterspray风和喷水池在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上，装饰喷泉把水喷向高空。刮风的日子，风把水花从喷泉吹向过
8、路行人。喷泉射出的水流受到一个与风速计（用于测量风的速度和方向）相连的机械装置控制，前者安装在一幢邻近楼房的顶上。这个控制的实际目标，是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡：风刮得越猛，水量和喷射高度就越低，从而较少的水花落在水池范围以外。 你的任务是设计一个算法，随着风力条件的变化，运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流。 MCM2002B题 Airline Overbooking航空公司超员订票你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。 航空公司
9、一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。 航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。 根据当前情况，考虑超员订票问题： 航空公司安排较少的从A地到B地航班, 机场及其外围加强安全性, 乘客的恐惧, 航空公司的收入迄今损失达数千万美元. 建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就
10、是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。 MCM2003A题 The Stunt Person特技演员影片在拍摄中, 一个激动人心的动作场景将要摄入镜头, 而你是特技协调员! 一位特技演员驾驶着摩托车跨越一头大象，随后跌落在借以缓冲的一堆纸箱上. 你需要保护特技演员,而且, 也要使用相对而言较少的纸箱（较低的花费, 不能进入镜头, 等等）。 你的工作如下： 确定所用纸箱的大小 确定所用纸箱的数目 确定纸箱的堆放办法 还请
11、确定, 通过对纸箱的各种调整, 是否会有所帮助 请把你的研究推广到不同组合重量（特技演员 & 摩托车）和不同跨越高度的情形留心一下, 在影片“明日帝国”中，角色James Bond 驾驶着摩托车飞过一架直升机。MCM2003B题 Gamma Knife Treatment PlanningGamma刀治疗方案立体定位放射外科, 用单一高剂量离子化射束在X光机精确界定下照射颅内的一个小的3D脑瘤, 与此同时, 并没有处方剂量的任何显著份额伤及周边的脑组织. 在这个领域中,一般有三种形式的射束可以采用，分别是Gamma刀单元, 带电重粒子射束, 以及来自直线加速器的外用高能光子束. Gamma刀单
12、元具备的单一高剂量离子化射束, 是201个钴-60单位源通过厚重的盔状物发射出来的。所有的201条射束同时交会于一个等中心(最大放射剂量点)，从而在有效剂量的水平上形成一个近似球形的剂量分布. 照射这个等中心来达到处方剂量称为一个“shot”. 多个shot可以表述为不同的球. 四个可以互换的外部校准的盔状物分别具有4，8，14和18mm的射束通道直径, 都可以用来照射不同尺寸的体积. 对于大于一个“shot”的目标体积，可以用多个shot来覆盖整个目标. 实际上, 大多数目标体积要用1到15个“shot”加以处理. 在这里,目标体积是一个有界的通常包含数百万个点的三维数字图象。 放射外科学的
13、目的是消除肿瘤细胞同时保存正常的结构. 由于治疗过程中会涉及物理限制和生物不确定性，一个治疗方案就需要考虑到所有那些限制和不确定性。一般而言，一个最优的治疗方案需要符合如下的要求： 穿过目标体积的剂量梯度最小 为目标体积配置特异性的相同剂量轮廓线 为目标和关键器官配置特异性的剂量-体积限制条件 对正常组织或器官的整个体积照射要剂量总和最小 对指定的正常组织点的剂量要限制在忍耐剂量以下 使关键体积所需的最大剂量达到最小 在Gamma单元治疗方案中，有以下限制： 禁止“shot”伸展到目标以外 禁止“shot”交迭（避免热点） 用有效的剂量覆盖尽可能多的目标体积，但至少90%目标体积要被“shot
14、”覆盖 用尽可能少的“shot” 你的任务是用球体填充问题模型来建立最优的Gamma刀治疗方案，并且提出一个求解的算法. 在设计算法时你要记住: 它必须是相当有效率的MCM2004A题 Are Fingerprints Unique?指纹是独一无二的吗?人们普遍认为世界上每一个活人的指纹都是不一样的，请设计一个模型，并且用该模型分析以上说法正确的可能性，比较一下因为指纹相同导致确认身份时产生错误的可能性和因为DNA相同导致产生错误的可能性。 MCM2004B题 Faster QuickPass System更快的快通系统现在的快通系统在收费站、娱乐公园和其他的地方，正在被越来越频繁的使用，来减
15、少人们排队等候的时间，现在我们考虑为一个娱乐公园所设计的快通系统，在一次测试当中，这个公园在几个游客比较多的景点旁边都设置了快通系统，这个系统的设计创意是对于那些比较热门的景点，可以到旁边的一个机器，将门票插入后出来一张纸条，上面写着在具体的时间段你可以回来，比如说你把你的门票在1：15查到机子里，系统就告诉你你可以在3：304：30回来，这个时候队伍就比较短，你可以凭你的纸条加入这个队伍，很快就可以进入景点，为了防止游客同时在几个景点使用这个系统。系统的机器只允许你一次在一个景点排队等待。 现在你是几个被公园雇佣的相互竞争的一个，你的职责是改善快通系统的运行。很多游客都在抱怨测试期间系统的异
16、常现象，比如说有一次系统提供的回到景的时间是4小时以后，但是才过一小会，在相同的景点系统提供的时间只有1小时。在另外一些时候根据快通系统组织起来的游客的等候队伍，就和普通的队伍一样长一样慢。 现在的问题是要提出并且测试一个模型，这个模型能让快通系统的等候纸条的发放能增加人们在公园的乐趣的目的。问题的一部分就是首先要决定衡量不同模型的标准，在你提交的报告里还要附带一份非技术性的总结，以便公园的领导，在不同的顾问所提的模型当中选择。 MCM2005A题 Flood Planning水灾计划南卡罗来纳州中部的磨累河是由北部的一个巨大水坝形成的，这是在1930年为了发电而修建的，模拟一起洪水淹没下游的
17、事件，这起事件是由于一次灾难性的地震损毁了水坝造成的。 两个问题： Rawls Creek是水坝下游流入Saluda河的一条终年流动的河流，则当水坝损毁后在Rawls Creek将会出现多大的洪流，洪水的波及面将有多大？ S.C.国会大厦大楼在一座小山上，在S.C.国会大厦大楼能俯视Congaree 河。洪水能如此巨大顺流以致于水将扩展到S.C.国会大厦大楼吗？ MCM2005B题 Tollbooths收费亭像Garden State Parkway，Interstate 95等等这样的长途收费公路，通常是多行道的，被分成几条高速公路，在这些高速公路上每隔一定的间隔会设立一个通行税收费广场。因
18、为征收通行税通常不受欢迎，所以应该尽量减少通过通行税收费广场引起的交通混乱给汽车司机带来的烦恼。通常，收费亭的数量要多于进入收费广场的道路的数量。进入通行税收费广场的时候， 流到大量收费亭的车辆呈扇形展开， 当离开通行税收费广场的时候， 车流将只能按照收费广场前行车道路的数量排队按次序通过！从而，当交通是拥挤的时，拥挤在违背通行税广场上增加。当交通非常拥挤的时候，因为每车辆付通行费的时间要求，阻塞也会出现在通行税收费广场的入口处。 建立一个模型来确定在一个容易造成阻塞的通行税收费广场中应该部署的最优的收费亭的数量。需要保证每一个进入收费广场的交通线路上都仅有一个收费亭。与当今的实践相比较，在什
19、么条件下这或多或少有效？注意：最佳的定义由你自己决定。 MCM2006A题 Positioning and Moving Sprinkler Systems for Irrigation灌溉喷洒系统的定位和移动灌溉土地有许多不同的技术，包括先进的喷洒系统和周期灌水。对于较小的土地有一种叫手动的灌溉系统。轻型的铝管和喷头安装在田地各处, 人们定期地移动设备保证所有的田地都能受到充分的灌溉。这个系统比起其他系统更便宜也更容易维护。这个系统使用灵活，可以用于各种不同的土地和作物。不足的是人们需要花去大量时间精力定期去移动和安装设备。 针对这种系统，考虑怎样用最少的时间去灌溉一个80*30平方米的一块
20、土地，在这个系统中你需要确定一个算法，讨论如何由一个农场工人用最少的时间操作这个灌溉系统去灌溉一个长方形的土地。这块土地只用一个管道装置，你需要决定喷头的数目和喷头之间的距离， 您需要寻求一个方案怎样去移动管道，包括在那里移动它们。 一个管道系统包括若干个可以连成一条直线的水管，每根水管的内直径10厘米 ，并带有若个个内径是0.6厘米的旋转喷嘴，把它们组装在一块就可连成一根20米长的水管，在水源处的水压力是420千帕，水流量是每分钟150升，任何地方的降水量不能超过每小时0.75厘米，而且4天内的降水量至少要有2厘米。每处的灌溉的总水量应该尽量一致。MCM2006B题 Wheel Chair
21、Access at Airports机场轮椅的使用航空旅行中的一个难题，是旅客需要通过多个机场飞行，旅客每一次机场停留通常都需要换乘不同的飞机，这对于那些行走不便的旅客来说要行走到不同侯机厅尤为困难。航空公司为使这些旅客的转机变得方便的一个方法是为这类有帮助需求的旅客准备一个轮椅和一个陪送。一般来说这些旅客会事先提出帮助的要求，但是也有旅客在换登机牌时才提出要求，也有很少的旅客在降落前才提出要求。 航空公司承受着减少成本的压力。这些轮椅昂贵且容易损坏，经常需要维修，还有轮椅陪送的费用也不低。另外，轮椅和它们的陪送必须在机场内往返穿梭，使得有需求的旅客在降落时可以使用。在一些大的机场，通过机场所
22、需要的时间是有限制的。轮椅必须存放在机场的某一地方，但机场的空间很宝贵，且机场登机口只允许进入有限的轮椅，而且轮椅在人流密集的地方还有危险，因为人们走路时必须绕开它们。最后，最大的费用是飞机延误造成的费用，如果有人必须等待陪送而延误了时间，该航班就不能立即起飞。最后的最麻烦，因为其引起了该航空公司的平均延误时间，潜在的顾客可能因此不选择该公司而使该公司减少票源。 爱普斯隆航空公司决定寻求第三方帮助做一个关于保留和维护乘客的轮椅和陪送详尽的分析。航空公司需要找到一个办法去规划每天轮椅的最经济的调度方式，他们也需要找到确定这一项计划短期和长期的费用。 爱普斯隆航空公司要求你们顾问团投标帮助他们解决
23、上述问题。如果你完全明白他们的问题，你的投标应该包括目前情况的总观和分析以帮助他们做决定。他们需要你的算法的一个详细地描述，应用你的方法，他们可以确定轮椅和陪送应该出现在什么地方，以及每天应该怎么操作，目标是使总成本尽可能低，你的投标是航空公司会考虑的许多投标方案中的一个。你必须有一个强有力的证据说明你的方案是最好的。并且说明它可以处理不同情况下各种机场的情况。 你的投标还必须包括你的算法是如何为大型机场（至少4个候机区），中型机场（至少2个候机区），小型机场（1个候机区）在高的河低的客流量时服务的。你要决定所有可能的费用，并且权衡它们的重要性。最后，随着有时见出行并且需要帮助的老年人比例越来
24、越大，你的报告还应该包括应付这种情况带来的潜在的费用需要的计划。 人为划分选区(美国竞赛2007年A题) 美国宪法规定众议院由一定数目的众议员(目前是435人)组成，他们是由各州按照该州人口占全国总人口的百分比选出来的。尽管这种规定提供了确定每个州有多少众议员的方法，但是一点也没有说及有关一个特定的众议员所代表的选区应该怎样按地区决定的问题。这种疏忽已经导致了按某种标准看来是违反常情的很不好的(至少某些人认为通常是不必这样做的) 选区安排。 因此就向你们提出了以下的问题：假设你们有机会去制定一个州的众议院的选区。你们会怎样把它作为一种纯“基础性”的练习来创建一个州的所有选区的“最简单”的划分。
25、这些划分规则中至少要包含一条：该州的每个选区必须有同样的人口。“简单”的定义要由你们来下；但是你们必须就你们的解决方法是公正的做出一个能够使该州选民信服的论证。作为你们的方法的应用，试创建纽约州的按地域来说是简单的选区划分。飞机就座问题(美国竞赛2007年B题) 航空公司可以以任何次序自由地安排候机乘客的座位。下面的做法已经成为惯例: 首先安排有特殊需要的乘客，然后安排头等舱乘客(坐在飞机的前半部)。然后机组人员和商务舱乘客按行坐在后面，剩下的乘客由机尾的座位向前安排。 除了考虑乘客的等待时间外, 从航空公司的观点, 时间是金钱, 并且登机时间最好减到最小。飞机仅在运营中能为航空公司盈利, 而
26、长的登机时间就使得一架飞机一天航班的数目受到限制。 随着更大型飞机的出现, 譬如空中巴士A380 (800 位乘客), 航空公司强调使登机和下机时间都要减到最小。 为各种不同大小的飞机设计和比较一个登机和下机的程序: 小(85-210), 中(210-330), 和大(450-800) 。 准备一个措施的总结, 单行距，不超出二页, 以航空公司董事、机门管理人员, 和机组乘务员为您的听众，描述你的结论。 下面是一篇为航班找到这种程序的重要性的文章，刊登在纽约时报2006年11月14 日融化的冰盖(美国竞赛2008年A题) 请通盘考虑由于预测的全球温度的上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特
27、别是，要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对Florida州的海岸，尤其是大的城区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用到的数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。创建数独智力游戏(美国竞赛2008年B题) 研制构成不同难度的数独智力游戏的算法。试用矩阵来定义难度的级别。算法和矩阵应该可以推广到不同的难度级别。你们至少要对4个难度级别来说明该算法。你们的算法应该保证有唯一解。分析你们的算法的复杂性。你们的目标应该是使算法的复杂性最小，并且满足上述的各项要求。设计一个交通环岛(美国竞赛2009年A题) 在许多城市和社区都建立有交通环岛，既有多条行车道的大型环岛（例如巴黎的
28、凯旋门和曼谷的胜利纪念碑路口），又有一至两条行车道的小型环岛。有些环岛在进入口设有“停车”标志或者让行标志，其目的是给已驶入环岛的车辆提供行车优先权；而在一些环岛的进入口的逆向一侧设立的让行标志是为了向即将驶入环岛的车辆提供行车优先权；还有一些环岛会在入口处设立交通灯（红灯会禁止车辆右转）；也可能会有其他的设计方案。 这一设计的目的在于利用一个模型来决定如何最优地控制环岛内部，周围以及外部的交通流。该设计的目的在于可利用模型做出最佳的方案选择以及分析影响选择的众多因素。解决方案中需要包括一个不超过两页纸，双倍行距打印的技术摘要，它可以指导交通工程师利用你们模型对任何特殊的环岛进行适当的流量控制
29、。 该模型可以总结出在何种情况之下运用哪一种交通控制法为最优。当考虑使用红绿灯的时候，给出一个绿灯的时长的控制方法（根据每日具体时间以及其他因素进行协调）。找一些特殊案例，展示你的模型的实用性。能源和手机(美国竞赛2009年B题) 这个问题涉及到手机革命的能源问题。手机使用率迅速增加，许多人使用手机并放弃了固定电话。这方面的电能使用会带来什么后果？每个手机都配备了电池和充电器。 要求1 考虑现在的美国，人口约为3亿，从现有数据估计美国有H个家庭，每个家庭有M个成员，以前是使用固定电话的。现在，假设所有的座机被手机取代，也就是说每个家庭成员都有一部手机。建立当前美国在手机使用的过渡和稳定两个阶段
30、用电改变的模型，分析应该考虑到对移动电话充电的需要，同时移动电话不能像固定电话那样长期使用也是一个现实问题（比如说移动电话可能会丢失或者损坏） 要求2 考虑“伪美国”-一个约3亿人口，跟当前美国具有相同的经济状况的国家。然而，这个新兴国家既没有固定电话也没有移动电话，从能源角度看，为这个国家提供电话服务的最佳方式是什么？当然，手机有很多固定电话所不具有的用途和社会影响。这个讨论要涉及单独使用固定电话或者单独使用移动电话，或者混合使用二者所带来的广泛和潜在的影响。 要求3 手机需要定期充电。但是许多人在不考虑手机是否要充电的情况下，总是将充电器一直插在电器插槽上，有的甚至整晚都在给手机充电。在你
31、的要求2解决方案的基础上，针对“伪美国”，建立上述浪费方式的能源消耗的数学模型。另外，假定“伪美国”以石油作为电力来源，以原油桶为单位计算浪费量。 要求4 估计各种需要充电的电器设备（电视、DVR、电脑外围设备等）所使用能源的数量，考虑设备没有使用，但插头仍然插在插座上的情况。要求用精确的数据建立模型，估计当前美国每天所浪费的能源数量，以原油（桶/天）计量。 要求5 考虑人口及经济增长在未来的50年内的情况。如何使“伪美国”发展壮大？对于今后50年内的每一个10年进行电话服务的能源需求预测，前提是在你前三个要求的分析基础上进行。另外，假定以石油作为电力来源，以原油桶为单位计算。 最佳击球点(美
32、国竞赛2010年A题) 解释棒球棒上的“最佳击球点”。 每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。为什么这个点不在棒球棒的最末端？基于力矩的解释或许可以解释确定棒球棒的最末端就是最佳的击球点，但是实际当中并不是这样的。构建一个模型帮助解释实际当中的这个发现。 有一些棒球手相信在最佳击球点添充上软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充上软木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确认或者否定该结论。这个解释是否可以解释为什么棒球联盟否定这种做法。 球棒是否和材质有关系，模型是否可以预测木头和金属球棒的不同打击效果？这是否是联盟禁止金属球棒的原因？ 犯罪学(美国竞赛2010年B题) 1981年Peter Sutcliffe(萨克利夫)被判刑因为他参与了十三起谋杀和对其他人的恶毒攻击。缩小搜索S
