1、学校代码 学 号 分 类 号 密 级 公开本科毕业毕业设计题 目基于 Matlab 的信号合成与分解(中、英文)Signals Decomposition and CompositionBased on MATLAB作者 姓 名 专业 名 称 学科 门 类 指导 教 师 提交论文日期 成绩等级评定 摘要为了便于进行周期信号的分析与处理，常要把复杂的周期信号进行分解，即将周期信号分解为正余弦等此类基本信号的线性组合，通过对这些基本信号单元在时域和频域特性的分析来达到了解信号特性的目的。本文主要阐述了傅立叶级数的推演过程，从而得出周期信号的分解与合成的基本原理。并利用 Matlab 仿真软件强大的
2、数值分析和图形功能来对周期方波信号与周期三角波信号的分解与合成进行演示，直观明了的观察周期信号分解与合成过程、周期信号的对称性与谐波成分的关系，以及对其中的误差程度和吉布斯现象做定量的分析，从而可以进行仿真结果与理论分析结论的对比，加深了对周期连续信号分解与合成的理解，描述了傅立叶级数分解合成信号的实现性，同时也展示了用 MATLAB 编写周期连续信号分解与合成的演示程序的优点关键词：周期信号；分解；合成；吉布斯现象- I -AbstractIn order to facilitate the periodic signal analysis and processing, often mak
3、e complicated cycle of signal decomposition, periodic signal will be decomposed into sine and cosine signals and other such basic linear combination of these basic signals through the unit in the time domain and frequency domain characteristics analysis of signal characteristics to achieve the purpo
4、se of understanding. This article focuses on the Fourier series to the inference process to arrive at periodic signal decomposition and composition of the basic principles. Matlab simulation software using the powerful numerical analysis and graphical capabilities of the periodic square wave signal
5、and the periodic triangular wave signal decomposition and synthesis of presentations and intuitive to understand the observation period signal decomposition and synthesis process, periodic signal and harmonic components of the symmetry relations, and the error of which the extent and quantitative an
6、alysis of the Gibbs phenomenon, which can make the simulation results and theoretical analysis comparing the cycle of continuous deepening of the understanding of signal decomposition and composition, Fourier series describes the synthesis of signal decomposition implementation, while also demonstra
7、ted the preparation of periodic continuous signal using MATLAB decomposition and synthesis of the advantages of the demonstration programKey words: Periodic signal; Decomposition; Synthesis; Gibbs phenomenon- II -目录1 绪论12 信号的分解与合成22.1 信号分解为正交函数22.1.1 正交函数集22.1.2 信号分解为正交函数32.2 周期信号的信号分解与合成52.2.1 周期连续
8、信号的特点62.2.2 周期为 T 的信号 f (t) 的三角形式傅里叶级数表示的一般形式63 MATLAB 的仿真实现83.1 基于 MATLAB 方波信号的分解与合成83.1.1 方波信号的傅立叶级数83.1.2 方波信号的分解仿真93.1.3 方波信号的合成仿真103.1.4 方波信号的频谱113.1.5 方波信号的误差分析123.1.6 吉布斯现象133.2 基于 MATLAB 三角波信号的分解与合成133.2.1 三角波的傅立叶级数133.2.2 三角波的分解仿真153.2.3 三角波的合成仿真153.2.4 三角波的频谱173.2.5 三角波的误差分析183.3 结论18参考文献2
9、0附录21谢辞25- III - IV -基于 MATLAB 的信号分解与合成1 绪论信号是携带信息的、随时间或空间变化的物理量或物理现象，是信息的载体与表现 形式，如声信号、光信号、电信号等。在数学上，信号总是一个或者多个独立变量的函 数，它包含了某个或某些物理现象性质的信息。信息不同的物理形态并不影响他们所包 含的信息内容，不同物理形态的信号之间相互转换。在各种信号中，电信号是一种最便 于传输、控制与处理的信号；同时，实际运用中的许多非电信号，如压力、流量、速度、转矩、位移等，都可以通过适当的传感器变换成电信号，因此对电信号的研究具有重要 的意义。研究信号是为了对信号进行处理和分析，信号处
10、理是对信号进行某些加工或变换， 目的是提取有用的部分，去掉多余的部分，滤除各种干扰和噪声，或将信号进行转化， 便于分析和识别。信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面进行描述，并且信号可以用函数解析式表示（有时域的，频域的及变化域的），也可用波形或频谱表示。信号分析通过研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性相应的 变化，来揭示信号自身的时域特性、频域特性等。信号分析的主要途径是研究信号的分 解，即将信号分解为某些基本信号的线性组合，通过对这些基本信号单元在时域和频域 特性的分析来达到了解信号特性的目的。信号的分解可以在时域、频域或变换域中进行， 分别用到信号分析的时域方法（ti
11、me domain analysis）、频域方法（frequency domain analysis）和变换域方法（transform domain analysis）。系统是若干相互依赖、相互作用的事物组合而成的、具有特定功能的整体。系统可以是物理系统，例如通信系统、自动控制系统、导航系统等；也可以是非物理系统，例如生产管理、司法等社会经济与管理方面的系统。系统分析的主要任务是分析系统对指定激励所产生的影响。其分析过程主要包括建立系统模型，根据模型建立系统的方程，求解出系统的响应，必要时对解得的结果给出物理解释。系统分析是系统综合与系统诊断的基础。LTI 系统各种分析方法的理论基础是信号的分
12、解特性与系统的线性、时不变特性，其出发点是：激励信号可以分解为若干基础信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别激励下响应的叠加。信号的分解与合成是信号与线性系统课程中最重要的内容之一。任何满足狄里赫利条件的周期信号都是由各种不同频率、幅度和初相的正弦波叠加而成的。对周期信号由它的傅立叶级数展开式可知，各次谐波为基波频率的整数倍。而非周期信号包括了从零- 7 -咸阳师范学院物理与电子工程学院 2011 届本科毕业论文到无穷大的所有频率成分，每一个频率成分的幅度均趋向无穷小，但其相对大小式不同的。MATLAB 具有以下五个特点：1. 运算功能强大。MATLAB 是
13、以矩阵为基本编程编程元素的程序设计语言，它的数值运算要素不是单个数据，而是矩阵，每个变量代表一个矩阵，矩阵由 m 乘 n 个元素，每个元素都可看做复数，所有的运算包括加、减、乘、除、函数运算等都对矩阵和复数有效；另外，通过 MATLAB 的符号工具箱，可以解决在数学、应用科学和工程计算领域中常常遇到的符号计算问题，强大的运算功能使其成为世界顶尖的数学应用软件之一。2. 编程效率高。MATLAB 的语言规则与笔算式相似，矩阵的行数无需定义，MATLAB 的命令表达方式与标准的数学表达式非常相近，因此，易写易读并易于在科技人员之间交流。MATLAB 是以解释方式工作的，即它对每条语句解释后立即执行
14、，键入算式无需编译立即得出结果，若有错误也立即做出反应，便于编程者立即更正。这些都大大减少了编程和调试的工作量，提高了编程的效率【1】。3. 强大而智能化的作图功能。MATLAB 可以方便地用图形显示二维或三维数组，将工程计算的结果可视化，使数据间的内在联系明晰了。MATLAB 能智能化地根据输入的数据自动确定最佳坐标，可规定多种坐标系（如极坐标系、对数坐标系），可设置不同颜色、线型、视角等。4. 可扩展性强。MATLAB 由一套程序扩展系统和工具箱，具有良好的可扩展性。工具箱是 MATLAB 函数的子程序库，每个工具箱都有为某个学科领域的应用而制定的，MATLAB 每年都会增加一些新的工具箱
15、【2】。5. Simulink 动态仿真功能。Simulink 是一个交互式动态系统建模、仿真和分析图形环境，用户通过框图的绘制来模拟一个系统，Simulink 能够针对控制系统、信号处理和通信系统等进行系统建模、仿真和分析【3】。正因为如此，利用仿真软件 MATLAB 来对信号的分解与合成十分方便有效。2 信号的分解与合成2.1 信号分解为正交函数2.1.1 正交函数集【4】如有定义在（ t1 , t2 ）区间两个函数j1 (t) 和j2 (t) ，若满足基于 MATLAB 的信号分解与合成t2 j(t)j(t)dt = 01t1 2则称j1 (t) 和j2 (t) 在区间（ t1 , t2
16、 ）内正交。如有n 个函数j1 (t),j2 (t),j3 (t),L,jn (t) 构成一个函数集，当这些函数在区间（ t1 , t2 ） 内满足t2 j(t)j(t)dt = 0当i j（2.1-1）1tijki =0当i= j式中ki 为常数，则称此函数集为在区间（ t1 , t2 ）的正交函数集。在区间（ t1 , t2 ）内相互正交的n 个函数构成正交信号空间。如果在正交函数集j1 (t),j2 (t),j3 (t),L,jn (t) 之外，不存在函数t1f(t) (0 t2 f2 (t)dt )满足等式t2 f(t)j(t)dt = 0(i = 1, 2,L, n)（2.1-2）1
17、t i则此函数集称为完备正交函数集。也就是说，如能找到一个函数f(t) ，使得式（2.1-2）成立，即f(t) 与函数集ji (t) 的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然，不包含f(t) 的集式不完备的。例如，三角函数集1, cos(Wt), cos(2Wt),Lcos(mWt),Lsin(Wt), sin(2Wt),Lsin(nWt),L在区间(t , t + T ) 式中T = 2p 组成正交函数集，而且是完备的正交函数集。这是因为0 0W 0,当m nt0 +T cos(mWt) cos(nWt)dt = T当m = n 0（2.1-3a）t0 2T 0,当m = n =
18、 0当m nt0 +T sin(mWt) sin(nWt)dt = （2.1-0tT , 23b）当m = n 0t0 +T sin(mWt) cos(nWt)dt = 0,t0对于所有的m和 n（2.1-3c）即三角函数集满足正交特性式（2.1-1），因而是正交函数集。咸阳师范学院物理与电子工程学院 2011 届本科毕业论文2.1.2 信号分解为正交函数设有n 个函数j1 (t),j2 (t),j3 (t),L,jn (t) 在区间(t1 , t2 ) 构成一个正交函数空间。将任一 函数 f (t) 用这n 个正交函数的线性组合来近似，可表示为nf (t) C1j1 (t) + C2j2 (
19、t) +L+ Cnjn (t) = Cjjj (t)j =1（2.1-4）这里的问题是：如何选择Cj 才能得到最佳近似。显然，应选取个系数Cj 使实际函数与近似函数之间误差在区间内为最小。这里“误差最小”不是平均误差最小，因为在平均误差最小甚至等于零的情况下，也可能有较大的正误差和负误差在平均过程中相互抵消， 以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差均方值（或称为方均值）最小，这时，可以认为已经得到了最好的近似。误差的均方值也称为均方误差，用符号e2 表示 n2e2 = 1 t2 f (t) - C j（2.1-5）t2 - t1t1 j =1j j (t) dt在 j = 1, 2,L
20、, i,L, n 中，为球的使均方误差最小的第i 个系数Ci ，必须使e2=0Ci2即 t2 nf (t) -C j = 0（2.1-6）t j j (t)dt Ci 1 j =1展开上式的被积函数，注意到有序号不同的正交函数相乘的各项，其积分均为零，而且所有不包含Ci 的各项对Ci 求导也等于零。这样，式（2.1-6）中只有两项不为零，它可以写为C t1 iii ii交换微分与积分次序，得t2 -2C f (t)j(t) + C 2j2 (t) dt = 0-2 t2 f (t)j(t)dt + 2C t2 j2 (t)dt = 0tii ti11于是可求得t2 f (t)j(t)dt基于
21、MATLAB 的信号分解与合成1tCi =式中iit2 j2 (t)dtt1= 1t2Ki t1f (t)ji (t)dt（2.1-7）K = t2 j2 (t)dt（2.1-8）1iti这就是满足最小均方误差的条件下，式（2.1-4）中各系数Ci 的表达式。此时， f (t) 能获得最佳近似。当按式（2.1-7）选取系数Ci 时，将Ci 代入到式（2.1-5），可以得到最佳近似条件下的均方误差为【5】 n2nne2 = 1t2 f (t) -C j= 1t2 f 2 (t)dt +c2 t2 j2 (t)dt - 2ct2 f (t)j(t)dt11t2 - t1 t j =1j j (t)
22、 dtjt2 - t1 tj =1j tjj =1j tj考虑到t2 j2 (t)dt = K ， C = 1t2 f (t)j(t)dt ，得tjjtj11jKne2 = 1 t2 f 2 (t)dt + C 2 K - 2C 2 Kn = 1 t2 f 2 (t)dt - C 2 K （2.1-9）1t2 - t1 tnj =1jjjjj =1t2 - t1 t1jj1j =1利用上式可直接求得在给定项数n 的条件下的最小均方误差。有均方误差的定义式（2.1-7）可见，由于函数平方后再积分，因而e2 不可能为负，即恒有e2 0。由式（2.1-8）可见，在用正交函数去近似（或逼近） f (t
23、) 时，所取的项数越多，即n 愈大，则均方误差愈小。当n 时，e2 = 0 。由式（2.1-9）可得，如e2 = 0 ，则有tC Kjjt2 f 2 (t)dt = n 2（2.1-10）11j =1式（2.1-10）称为帕斯瓦尔（Parseval）方程【6】。如果信号 f (t) 是电压或电流，那么，式（2.1-10）等号左端就是在(t1 , t2 ) 区间信号的能量，等号右边是在(t1 , t2 ) 区间信号各正交分量的能量之和。式（2.1-10）表明：在区间(t1 , t2 ) 信号所含能量恒等于此信号在完备函数集中各正交分量能量的总和。与此相反， 如果信号在正交函数中的各正交分量能量的
24、总和小于信号本身的能量，这时式（2.1-10）不成立，该正交函数集不完备。这样，当n 时，均方误差e2 = 0 ，式（2.1-4）可写成咸阳师范学院物理与电子工程学院 2011 届本科毕业论文f (t) = Cjjj (t)j =1（2.1-11）即函数 f (t) 在区间(t1 , t2 ) 可分解为无穷多项正交函数之和。2.2 周期信号的信号分解与合成2.2.1 周期连续信号的特点周期连续信号 f (t) 有如下特点【7】：（1） 满足 f (t + mT1 ) = f (t) ，m 是整数， T1 是周期。从波形上看，有一个时间跨度为T1 的基本波形，其余的是该基本波形经平移T1 的整数
25、倍后的重新拷贝。（2） f (t) 在一个周期T1 内的积分，其值与积分的起点和终点无关，即有t0 +T1 f (t)dt =t0T12-T12f (t)dt = T1f (t)dt（3） 将周期信号展开成傅里叶级数具有的以下显著优点是【8】：三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函数。三角函数和复指数函数是间谐函数，用它们表示时间信号，就自然地建立了时间和频率这两个基本物理量之间的关系。间谐信号较其他信号更容易产生和处理。三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后，仍为三角函数（或指数函数），其重复频率不变，只是幅度和相位有变化。线性时不变系统对三角函数（或指数函数）信号的响应可以
26、很方便地求的。很多系统（例如滤波器、信息传输等）的特性主要是由其频域特性来描述的，因此常常更需要知道的并不是这些系统的冲激响应，而是其冲激响应所对应的频率特性。时域中的卷积运算在频域会转化为乘积运算，从而找到了计算卷积的一种新方法， 这可使时域中难以实现的卷积运算求解便于实现。周期信号 f (t) 当满足狄里赫利（Dirichlet）条件时可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数分三角形式和指数形式两种。狄里赫利条件如下：【9】1（1） 在一个周期内， f (t) 是绝对可积，即T f (t) dt 。基于 MATLAB 的信号分解与合成（2） 在一个周期内， f (t) 的最大值和最小值的数目是有限
27、个。（3） 在一个周期内， f (t) 只有有限个间断点，而且在这些间断点上，函数值必须是有限个。2.2.2 周期为 T 的信号 f (t) 的三角形式的傅里叶级数表示的一般形式设有周期信号 f (t) ，它的周期为 T，角频率w= 2pf表示的一般形式为= 2p，则 f (t) 的三角傅里叶级数Tf (t) = a0 + a1 cos wt + a2 cos wt + + b1 cos wt + b2 cos 2wt + , - t 其中w= 2pT可以写成更紧凑的和式为：f (t) = a0 + an cos nwt + bn sin nwt = a0 + (an cos nwt + bn
28、 sin nwt)（2.2-1）n=1n=1n=1,)式（2.2-1）中的系数an 、bn 称为傅里叶系数， an 为 f (t) 在函数cos nwt 中的分量（相对大小）； bn 为 f (t) 在函数sin nwt 中的分量，它可由式（2.1-7）求得。为简便，式（2.1-7）的积分区间(t0 , t0+ T ) 取为(- T T2 2或(0,T ) 。考虑到正、余弦函数的正交条件（2.1-3），由式（2.1-7），可得傅立叶系数a = 2nT2）t0 +T f (t) cos nwtdtt0b = 2nTt0 +T f (t) sin nwtdtt0（2.2-周期信号也可分解为一系列余弦信号，即：f (t) = c0 + c1 cos(wt +j1 ) + c2 cos(2wt +j2 ) +La2 + b2nn其中cn = c0 + cn cos(nwt +jn )n=1
