1、极坐标与参数方程专题复习汇编坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1坐标系（1） 理解坐标系的作用；（2） 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；（3） 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；（4） 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；2参数方程（1） 了解参数方程和参数方程的意义；（2） 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程；（3） 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；、题型分布:极坐标和参数方程是新课标考
2、纲里的选考内容之一， 在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。 由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。三、知识点回顾坐标系1 .伸缩变换：设点P（x, y）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换申：丿XX, ( 0),的作用下，点P（x, y）对应到点P（X , y ），称为平面直角坐标系中的坐标伸缩.变换，简称伸缩变换?2.极坐标系的概念： 在平面内取一个定点 0，叫做极点；自极点0引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。3点M的极坐标：设M
3、是平面内一点，极点 0与点M的距离|0M |叫做点M的极径， 记为；以极轴Ox为始边，射线 0M为终边的 xOM叫做点M的极角，记为二。有序 数对（OR叫做点M的极坐标，记为M （几旳.极坐标（几力与（亍门，2k二）（kZ）表示同一个点。极点 0的坐标为（0门）（” R）.4.若? :：: 0,则- ? 0,规定点（-匚力与点（：）关于极点对称，即（-6力与（匚二 二）表示同一点。如果规定7,0 V 2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 （门）表示;同时，极坐标（入“表示的点也是唯一确定的。5 极坐标与直角坐标的互化:2 2 2二 x y , x = Qcosv,y =】si nr,
4、 tan v - y (x 0)x6直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:cos J sin 0：cos(v -)对应图形如下:M( P印0Papcos 二QOPaM图5asinvasin：=COSp -)7圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a 0):=2a cos二-2a cosr J =2acos(v -)对应图形如下:图4=2asi n：图5：?二-2asim图6= 2acos(v -:)参数方程1.参数方程的概念：础卞磁x = f(t),的函数*iy =g(t),在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点x,
5、 y都是某个变数tM (x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。普通方程。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 2.常见曲线的参数方程如下:(1)过定点(xo, yo),倾角为a的直线:(t为参数)x =x0 tcos-y = y0 tsin :其中参数t是以定点P (xo, yo)为起点，对应于t点M (x, y)为终点的有向线段 PM的数量，又称为点 P与点M间的有向距离.(2)中心在(xo, yo),半径等于r的圆:(71为参数)x = x0 r cosy = yo r sin)（3）中心在原点，焦点在
6、 x轴（或y轴）上的椭圆:（或. x 二 bcosv、y = asin v（4）顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上的抛物线:x =2 pt2 I. y = 2pt（t为参数，po）四、直击考点：考点一：坐标的变化以及轨迹方程中参数方程与标准方程的互化参数方程与标准方程的互化：标准方程化为参数方程： 熟记常见曲线的参数方程即可。参数方程转化为标准方程： 牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。2 2 sin 日（女口 sin ） cos J - 1,k 二 tan 二cos日例题:1把方程xy =1化为以t参数的参数方程是（ ）. 1X =t2x = si ntx = costA.丿1B.
7、 1C. i1J =t 2iysin tiycostx 二 tantD. 1y =I. tan t解答：Dxy =1 , x取非零实数，而 A , B , C中的x的范围有各自的限制.x =1 一 2t)2若直线的参数方程为y：2_3t（t*参数），则直线的斜率为（解答:-23tx -12t3参数方程x =e_t, （t为参数）的普通方程为y耳d）x = 2et解答：x4 計,(_2)=e -ex丄2e4分别在下列两种情况下，把参数方程1x (e e )cosy =(d -e_L)sin 寸.2化为普通方程:（1）二为参数，t为常数；（2） t为参数，门为常数.解：(1 )当 t =0 时，y
8、 =0,x =cosr，即 x 乞1,且y = 0 ;当 t = 0时，COST 二1(et e)2,sin 八 ye)2而 X2 . y2 =1 ,丄()2 l(et4 4-e )(2)当 v - k二，k Z 时,=1 ；1心，Jet e4)，即 x - 1,且y = 0 ；当 v - k ,k Z 时，x = 0 , y =丄( -e)，即 x = 0 ；2 2jijic 5兀r 2兀A.B.C.D.6363实践练习:1.直线k jr当 ，k Z时,22et2xCOS2 rx=3tt2xee cosv得t2ye-esi nr2x 2y + cost sin j 2x 2y cost si
9、n j，得 2et2e=(空 红)(红-cos 日 sin 日 cos6亠,sin2 y sin2（t为参数）的倾斜角是2.方程严=一1 +2。3（t为非零常数，a为参数）表示的曲线是y =3 +t si notA.直线 B.圆3.把弹道曲线的参数方程C.椭圆 D.双曲线（1）化成普通方程.x = Vo cosa t,y =V0 sin ： t 一如2,考点二：最值为题通过题意得到参数方程，一般情况下是利用参数方程中三角函数的有界型来求最值例题2 2).1点P（x,y）是椭圆2x 3y -12上的一个动点，则 x 2y的最大值为（A. 2.2 B. 2、3 C. 11 D. - 22解析：C2
10、 2椭圆为 H 1，设 P(、6cos)2sin 扪,6 4x 2 y =、6 cos v 4sin v - , 22 sin(v - ) _ . 222已知.：ABC 中,A(-2,0), B(0,2), C(cosy-1 si nr)(二为变数), 求ABC面积的最大值.fx 二COS)解：设C点的坐标为(x, y)，贝U ，y = -1 +s in 日即x2 (y 1)2 =1为以(0, -1)为圆心，以1为半径的圆.- A(_2,0), B(0,2), | AB |= .4 =2、2 ,且AB的方程为=1,-2 2即 x - y 2=0 ,则圆心(0, -1)到直线AB的距离为1 一1
11、)2| =彳& J12 匚(-1)2 2点C到直线AB的最大距离为 1 3&,2- S ABC 的最大值是 2,2 (V 2) =32 2 2实践练习：1 在圆x2 + 2x + y2=0上求一点，使它到直线 2x+ 3y 5=0的距离最大.2.在椭圆4x2+ 9y2=36上求一点P,使它到直线x+ 2y + 18=0的距离最短（或最长）2 23. A为椭 y 1上任意一点，B为圆（X -1）2 y1上任意一点，求|AB |的最大值和25 9最小值。考点三：其他综合问题例题： 21.已知曲线；X 2pt （t为参数，p为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为和t2 ,ly=2pt且匕“2=0,
12、那么|MN戶 .解析：4p |t1 |显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即 X轴，|MN F2PI1 -t2 F2p|2t! |.2直线x1 +2t（t为参数）被圆x2 + y2 =9截得的弦长为（ ）.ly =2+tA.咚 B. 12 ；5 C. 9J5 D. 9 .105 5 5 52x = 1 + /5t x 解析：B !X2t 庚，把直线X=12代入l2+t “1+屁丄 StI V5x2 y2 =9得(1 2t)2 (2 t)2 =9,5t2 8t -4 =0 ,卩7 H ,（厂t2厂4花.（_8）2 16上，弦长为 5 5 5 53 x = 5cos日 ,3.已知直线l过定点P（-3
13、,）与圆C : （二为参数）相交于A、B两点.2 y=5si n。求：（1）若| AB |=8，求直线I的方程;3（2）若点p（_3,）为弦AB的中点，求弦 AB的方程.2x = 5cosT 2 2解: （1）由圆C的参数方程 ：x2 y2 =25 ,= 5sin日x = -3 tcos:设直线I的参数方程为 3 （t为参数），!y =+t si naI 2将参数方程代入圆的方程 x2 y2 =252得 4t -12(2cos-八 sin：)t-55=0,2 =169(2cos sin ) 55 0 ,所以方程有两相异实数根 t!、t2 ,- | AB |=出-t21二9(2cos ： sin
14、 ： )2 55 =8 ,化简有 3cos 二 1 4sin 二cos： =0 ,3解之 cos=0或tan4从而求出直线I的方程为x，3 = 0或3x 4y 10 .(2)若P为AB的中点，所以t1 t0 ,由(1 )知 2cos= sin=0，得 tan，- -2, 故所求弦AB的方程为4x 2y 15 =0(x2，y2乞25).实践练习：P点坐标1.已知直线；I : /二了二邱与双曲线（y-2 ） 2-x2=1相交于 A、B两点, y = 2 + 4tP（-1，2）。求：（1） |PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。2.坐标系及参数方程已知I经过点P（1,1），倾斜角:=，6（1 ）写出直线I的参数方程。2 2（2）设I与圆x y =4相交与两点A, B,求点P到A, B两点的距离之积。 2 2 23.、已知A (2,0 )，点B,C在圆x+y=4上移动，且有.BAC 二 求八ABC重心G的轨迹3方程。总结
