1、高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用1教案 新人教A版必修12019-2020年高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（1）教案 新人教A版必修1教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的三维目标1借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及
2、幂函数的增长差异2恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题3让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点：应用函数模型解决简单问题课时安排2课时第1课时作者：林大华导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n20时它们的厚度你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)0.012n(cm)，n块砖的厚度：g
3、(n)10n(cm)，f(20)105 m，g(20)2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异推进新课如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.分别用表格、图象表示上述函数.,指出它们属于哪种函数模型.讨论它们的单调性.比较它们的增长差异.另外还有哪种
4、函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路总价等于单价与数量的积面积等于边长的平方由特殊到一般，先求出经过1年、2年列表画出函数图象引导学生回忆学过的函数模型结合函数表格与图象讨论它们的单调性让学生自己比较并体会其他与对数函数有关的函数模型讨论结果：yx.yx2.y(15%)x.如下表x123456Yx123456Yx2149162536y(15%)x1.051.101.161.221.281.34它们的图象分别为图1，图2，图3. 图1 图2 图3它们分别属于：ykxb(直线型)，yax2bxc
5、(a0，抛物线型)，ykaxb(指数型)从表格和图象得出它们都为增函数在不同区间增长速度不同，随着x的增大y(15%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数另外还有与对数函数有关的函数模型，形如ylogaxb，我们把它叫做对数型函数例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增
6、长情况，为选择投资方案提供依据解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.8
7、8400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214 748 364.8107 374 182.4再作出三个函数的图象(图4)图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在
8、第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累积的回报数通过计算机或计算器列表如下：天数回报/元方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三针对上例可以思考下面问
9、题：选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数课本把两种回报数都列表给出的意义何在？由此得出怎样的结论答案：选择哪种方案依据的是累积回报数让我们体会每天回报数的增长变化上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出一个月内通
10、话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算 思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大解：(1)y1500.4x(x0)，y20.6x(x0)(2)图象如图5所示图5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分
11、钟时，两种通讯业务的收费相同 (4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算另解：当y1200时有0.4x50200，x1375；当y2200时有0.6x200，x2.显然375，选用“全球通”更合算点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但
12、奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润于是只需在区间10,1 000上，检验三个模型是否符合公司要求即可不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数y0.25x，ylog7x1，y1.002
13、x的图象(图6)图6观察函数的图象，在区间10,1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图象始终在y5的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万对于模型y0.25x，它在区间10,1 000上递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x05，由于它在区间10,1 000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符
14、合要求；对于模型ylog7x1，它在区间10,1 000上递增，而且当x1 000时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1 000时，是否有0.25成立令f(x)log7x10.25x，x10,1 000利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此图7f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以当x10,1 000时， 0)，销售数量就减少kx%(其中k为正实数)目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个(1)当k时，该商品的
15、价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为ya(1x%)b(1kx%)kx2100(1k)x10 000(1)取k，y(x250x10 000)，所以x50，即商品价格上涨50%，y最大为ab.(2)因为ykx2100(1k)x10 000，此二次函数的开口向下，对称轴为x，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x0的一个子集内增大时，y也增大所以0，解得0k0且a1)由图知2a1.a2，即底数为2.253230，说法正确指数函数增长速度越来越快，说法不正确t11，
16、t2log23，t3log26，说法正确指数函数增长速度越来越快，说法不正确活动：学生先思考或讨论，再回答教师提示、点拨，及时评价引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题课本习题3.2A组1、2.本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材2019-2020年高中数学 第三
17、章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（2）教案 新人教A版必修1导入新课思路1.(情境导入)国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子请给我足够的麦粒以实现上述要求”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异思路2.(直接导入)我们知道，对数函数yl
18、ogax(a1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数但这三类函数的增长是有差异的本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异推进新课在区间 0， 上判断ylog2x，y2x，yx2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.结合函数的图象找出其交点坐标.请在图象上分别标出使不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样的结论？讨论结果：在区间(0，)上函数ylog2x，y2x，yx2均为单调增函数见下表与图9.X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4Y2x1.1491.51622.63
19、93.4824.9596.063810.556Yx20.040.3611.963.244.846.67911.56ylog2x2.3220.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766图9从图象看出ylog2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y2x的图象与yx2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)不等式log2x2xx2和log2xx22x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)(4，)我们在更大的范围内列表作函数图象(图10)，X012345678Y2x1248163264128256Yx201491625364964图
20、10容易看出：y2x的图象与yx2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2xx2，有时x21)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数yxn(n0)，在区间(0，)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因
21、此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn0)增长快于对数函数ylogax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社在
22、一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x250,400时，每月所获利润才能最大而每月所获利润卖报收入的总价付给报社的总价卖报收入的总价包含三部分：可卖出400份的20天里，收入为200.30x；可卖出250份的10天里，收入为100.30250；10天里多进的报刊退回给报社的收入为100.05(x250)付给报社的总价为300.20x.解：设
23、摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x250,400时，每月所获利润才能最大于是每月所获利润y为y200.30x100.30250100.05(x250)300.20x0.5x625，x250,400因函数y在250,400上为增函数，故当x400时，y有最大值825元例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线图12(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？解：
24、(1)依题意，得y(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则t14，t14.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有t2(t24)4，解得t29，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t3小时(t310)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和， (t24)(t29)4，解得t313.5，故第四次服药应在20：30.变式训练 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f(x)(1)
