1、高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题试题理专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A. Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p.2已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为()A4 B6 C8 D9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F(4,0)，于是由双曲线定义得|PF|PF|2a4，故|PF|PA|2a|PF|PA|4|AF|9，当且仅当A、P、
2、F三点共线时等号成立32016哈三中模拟直线l与抛物线C：y22x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2，则l一定过点()A(3,0) B(3,0) C(1,3) D(2,0)答案A解析设直线l的方程为xmyb，联立直线和抛物线的方程得整理得y22my2b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1y22b，y1y22m，故x1x2(my1b)(my2b)m2y1y2mb(y1y2)b22bm22bm2b2b2.因为k1k2，解得b3，故l的横截距为定值3，即l一定过点(3,0)42016贵州遵义联考设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆
3、y21上的点，即P，Q两点间的最大距离是()A5 B. C6 D7答案C解析解法一：设Q(x，y)，1y1.因为圆x2(y6)22的圆心为T(0,6)，半径r，则|QT|5，当y时取等号，所以|PQ|max56.故选C.解法二：设Q(cos，sin)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则|MQ| 5，故|PQ|max56.52016贵阳摸底已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1的斜率的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析解法一：设P(x，y)，直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2，易知A1(2,0)，A2(2,0)
4、，则有k1k2，因为2k21，所以k10且21，即12，解得k1.故选B.解法二：设直线PA2的斜率为k2，令k21，则直线PA2的方程为y(x2)，代入椭圆方程并整理得7x216x40，解得x12，x2，从而可得点P的坐标为，于是直线PA1的斜率k1.同理，令k22，可得k1.结合选项知，选项B正确62016山西运城调研已知A，B为抛物线y22px(p0)上的两动点，F为其焦点，且满足AFB60，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，|MN|AB|，则的最大值为()A1 B. C. D2答案A解析过点A，B作准线的垂线，垂足分别为D，C，因为M为线段AB的中点，BCAD，所以|MN|
5、(|BC|AD|)，又因为|AF|AD|，|BF|BC|，所以|MN|(|BF|AF|)，又|MN|AB|，所以2|AB|AF|BF|，两边平方得42|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|，即42.在ABF中，由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos60，即|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|，所以42，由|AB|2|AF|2|BF|2|AF|BF|2|AF|BF|AF|BF|AF|BF|，故|AB|2|AF|BF|，所以424，因为0，所以0b0)，其离心率e，过椭圆E内一点P(1,1)的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足，其中为实数当点C
6、恰为椭圆的右顶点时，对应的.(1)求椭圆E的方程；(2)当变化时，kAB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由解(1)因为椭圆E：1(ab0)的离心率e，即a2c2，所以b2a2.因为C(a,0)，成立，所以由，得A，将其代入椭圆方程中，得1，解得a2，所以a2，b，所求椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，由，得同理将A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得，3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，即3(x1x2)4(y1y2)kAB0.同理，3(x3x4)4(y3y4)kCD0.因为，所以ABCD，所以kA
7、BkCD，所以3(x3x4)4(y3y4)kAB0，所以3(x3x4)4(y3y4)kAB0，所以3(x1x3x2x4)4(y1y3y2y4)kAB0，即6(1)8(1)kAB0，所以kAB为定值122016贵阳检测已知抛物线C：y22px(p0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，已知点N(2，m)为抛物线C上一点，且|NF|4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交y轴于点M，且a，b，a，bR，对任意的直线l，ab是否为定值？若是，求出ab的值；否则，说明理由解(1)因为|NF|4，由抛物线的定义知xN4，即24，所以p4，所以抛物线C的方程为y28x.
8、(2)显然直线l的斜率存在且一定不等于零，设其方程为xty2(t0)，则直线l与y轴交点为M.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y28ty160，所以(8t)2(64)64(t21)0，y1y28t，y1y216.由a，得a(2x1，y1)，所以a1，同理可得b1，ab221.所以ab为定值1.132017广东四校联考 在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为30，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面已知直线l平面，l与的距离为2，平面与圆锥面相交得到双曲线.在平面内，以双曲线的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系(1)求双曲线的方程；
9、(2)在平面内，以双曲线的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线，在上任取一点P，过点P作双曲线的两条切线交曲线于两点M，N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值解(1)如图，设O为双曲线的中心，则轴l与平面的距离为|OO|2，A为双曲线的一个顶点，AOO60，所以|OA|2.在轴l上取点C，使得|OC|4，过C作与轴l垂直的平面，交圆锥面得到圆C，圆C与双曲线相交于D，E两点设DE的中点为B，易知|CB|2，|CD|4，可得|BD|2，从而可知双曲线的实半轴长为2，且过点(2，4)设双曲线的标准方程为1，将点(2，4)代入方程得b24，所以双曲线的标准方程为1.(2)证明：在条件(1)下，显然
10、双曲线的两切线PM，PN都不垂直x轴设点P的坐标为(x0，y0)，令过点P的切线的斜率为k，则切线方程为yk(xx0)y0，由消去y，得(k23)x22k(kx0y0)x(kx0y0)2120，由0，化简得(x4)k22x0y0k(y12)0.令PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2，由点P(x0，y0)在圆上，得xy8，得1，k1k21.所以PMPN，线段MN是圆的直径，为定值，|MN|4.14. 2016重庆统考如图，F是椭圆1(ab0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若直线l与上、下半椭圆
11、分别交于点P，Q，与x轴交于点M，且|PM|2|MQ|，求OPQ的面积取得最大值时直线l的方程解(1)由已知条件，|P0F|，易知|P0F|，从而.又c|OF|，即a2b25，因此a2a50，解得a3或a，又因为a0，故a3，从而b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m,0)，由题意知y10，y20，并可设直线l：xtym(t0)，代入椭圆方程得1，即(4t29)y28tmy4(m29)0.由题意可知|m|0，从而y1y2，y1y2.由|PM|2|MQ|，得2，即y12y2，因此y2(y1y2)，y1y22y，故22，从而m2，所以SOPQ|OM|y1y2|m|3y2|3，当且仅当4|t|，即t时，等式成立，此时m25，所以m.因为y2，且y20，所以tm0，故满足题意的直线l的方程为xy或xy.
