1、奥数最大公约数与最小公倍数例题练习及答案最大公约数与最小公倍数(一)教学目标:1.通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2.通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。3.培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。 教学过程:一、基本概念知识1.公约数和最大公约数如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数,b 为a 的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。 例如:12的约
2、数有:1,2,3,4,6,12;18的约数有:1,2,3,6,9,18。自然数n a a a ,21 的最大公约数通常用符号(n a a a ,21 )表示，例如,12和18的公约数有:1,2,3,6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12,18)=6。(8,12)=4,(6,9,15)=3。2.公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。 例如:12的倍数有:12,24,36,48,60,72,84,18的倍数有:18,36,54,72,90,自然数n a a a ,2
3、1 的最小公倍数通常用符号n a a a ,21 表示，例如12和18的公倍数有:36,72,.其中36是12和18的最小公倍数，记作12,18=36。8,12=24,6,9,15=90。3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。 用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别:求n 个数的最大公约数:(1) 必须每次都用n 个数的公约数去除;(2) 一直除到n 个数的商互质(但不一定两两互质);(3) n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求n 个数的最小公倍数:(1) 必须先用(如果有)n 个数的公
4、约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数;(2) 只要有两个数(被除数)能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止;(3) n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱? 分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克
5、三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144,180,240的最大公约数。是144,180,240的最大公约数。 所以(144,180,240)=223=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是6012=5(元)。 例2 用自然数a去除498,450,414，得到相同的余数,a最大是多少? 分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。 498-450
6、=48,450-414=36,498-414=84。所求数是(48,36,84)=12。 例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少? 分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们 的公约数一定是1111的约数。因为1111=10111，它的约数只能是1,11,101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101,101和909。所以所求数是1
7、01。 例4 在一个3024的方格纸上画一条对角线(见下页上图)，这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)? 分析与解:(30,24)=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成66个相同的矩形，那么每个矩形是由(306)(246)=54(个) 小方格组成。在66的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的54个小方格中，对角线不经过任何格点(见右下图)。 所以，对角线共经过格点(30,24)-1=5(个)。 例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出
8、发，最少需多长时间才能再次在起点相会? 分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。所求时间为60,75,90=900 (秒)=15(分)。 例6 爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗? 分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6,5,4,3
9、,2的公倍数。 6,5,4,3,2=60, 爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在 小明的年龄=60(7-1)=10(岁), 爷爷的年龄=107=70(岁)。 二、随堂练习 最大公约数与最小公倍数(二) 摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。 在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法 可知,(18,12)=23=6,18,12=2332=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么 (18,12)18,12 =(23)(2332) =(233)(232) =1812
10、。 也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18, 12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论: 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即, (a,b)a,b=ab。 例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18, 求另一个自然数。 解：由上面的结论，另一个自然数是(672)18=24。 例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求 这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为:“两个自然数的最大公约数是 1，最小公倍数是30
11、。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 改变以后的两个数的乘积是130=30，和是11。 30=130=215=310=56, 由上式知，两个因数的和是11的只有56，且5与6互质。因此改变后的两个 数是5和6，故原来的两个自然数是 75=35和76=42。 例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120, 求a,b,c。 分析与解：因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12, 15=60的倍数。再由a,b,c=120知, a只能是60或120。a,c=15，说明c没 有质因数2，又因为a,b,c=120=2335，所以c=
12、15。 因为a是c的倍数，所以求a,b的问题可以简化为:“a是60或120,(a,b)=12, a,b=120，求a,b。”当a=60时,b=(a,b)a,ba =1212060=24；当a=120时,b=(a,b)a,ba =12120120=12。所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。要将它们全部分别 装入小瓶 中，每个小 瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克? 分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。
13、 为此，先求几个分母的最小公倍数,6,4,9=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150,135和80,(150,135,80)=5。 上式说明，若三种溶液分别重150,135,80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150,135,80的1/36，所以每瓶最多装 在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数(含整数)都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。 由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法: (1)先将各个分数化为假分数; (2)求
14、出各个分数的分母的最小公倍数a ; (3)求出各个分数的分子的最大公约数b ; (4) a b 即为所求。 例5 求655,852,926的最大公约数。 类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数(或整数)同时是若干个分数(含整数)的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。 求一组分数的最小公倍数的方法: (1)先将各个分数化为假分数; (2)求出各个分数的分子的最小公倍数a ; (3)求出各个分数的分母的最大公约数b ; 一 个陷井。它 们之中谁先 掉进陷井?它掉进陷井时另一个跳了多远? 同理，黄鼠狼掉进
15、陷井时与起点的距离为 温馨推荐您可前往XX文库小程序享受更优阅读体验 不去了立即体验所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/26 3/10=5(次)。 黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了 专题练习 1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。 2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组? 3.求下列各组分数的最大公约数: 4.求下列各组分数的最小公倍数: 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶? 于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。 随堂练习解答 专题练习解答 1.72120=(7,120)72,120=24360。 2.12,72与24,36两组。 提示:7212=6=16=23，所以有两组: 121=12,126=72;122=24,123=36。 5.等于。 6.151瓶。 7.120米。
