1、直角三角形的三条高直角三角形的三条高探索直角三角形全等的条件5.8 探索直角三角形全等的条件一教学目标（一）教学知识点1.直角三角形全等的条件.2.直角三角形全等的应用.（二）能力训练要求经历探索直角三角形全等条件的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求通过画图、观察、操作、交流，培养学生自身的探索精神和探索能力.二教学重点直角三角形全等的条件.三教学难点直角三角形全等的条件的应用.四教学方法启发诱导法.五教具准备投影片七张第一张：图片及问题（记作投影片5.8 A）第二张：工作人员的方法（记作投影片5.8 B）第三张：做一做（记作投影片5.8 C）第
2、四张：想一想（记作投影片5.8 D）第五张：Rt全等的条件（记作投影片5.8 E）第六张：议一议（记作投影片5.8 F）第七张：理由（记作投影片5.8 G）六教学过程.巧设现实情景，引入新课师我们经常去看一些晚会，不知大家有没有注意过舞台背景的形状，我这里有一张舞台背景的图片（出示投影片5.8 A）.（图片为P153的舞台背景）舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？生甲他可测量每个三角形斜边和两个锐角中的任一个锐角.根据生乙他也可测量每个三角形没有被花盆遮住的那条直角边和一个锐角.同样根据师很好
3、，那如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？大家讨论讨论. 师好，看看工作人员是如何完成这个任务的（出示投影片5.8 B）.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是他就肯定你相信他的结论吗？师我们这节课就来探索直角三角形全等的条件.讲授新课师下面我们通过画图来看那位工作人员的结论是否正确.（出示投影片5.8C）做一做.已知线段a,c（ac）和一个直角（如图），利用尺规作一个RtABC，使C=,AB=c,CB=a.按照下面的步骤做一做. 图5165（1）作MCN=90 （2）在射线CM上截取线段CB=a（3）以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A （4）连
4、接AB（1）ABC就是所求作的三角形吗？（2）剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？ 生甲按照上述步骤所作出的ABC，就是所求作的三角形.生乙我按要求所作的直角三角形与同伴画的三角形能够完全重合.生丙老师，由此能不能说：在两个直角三角形中，只要有斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形就全等.师同学们的意见呢？生齐声同意丙同学的意见.师好，由此我们得到了直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成如图5166. 图5166RtABCRtABC我们现在来看刚才的那个例子（出示投影片 5.8 A、B）：你相信那位工作人员的结论吗？生齐声相
5、信，他就是应用了直角三角形全等的条件来判定的.师很好，那同学们来想一想（出示投影片5.8 D）你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？生甲因为直角三角形是特殊的三角形，所以它既满足一般三角形全等的条件：边边边、角边角、角角边和边角边；又满足它自身特有的全等的条件：斜边、直角边.师同学们总结得很好，这些直角三角形全等的条件要灵活应用.（出示投影片5.8 E） 图5167ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC好，下面我们来看一个题（出示投影片5.8 F）.议一议如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小
6、有什么关系？ 图5168生乙ABC与DFE相等.生丙不对，应该是互为余角.因为有一条直角边和斜边对应相等.即AC=DF、BC=EF所以ABC和DEF全等.这样ABC=DEF.也就是ABC+DFE=90.生丁ABC与DFE是互余的.因为在RtABC和 RtDEF中，BC=EF、AC=DF.因此这两个三角形是全等的.这样，ABC=DEF，所以ABC与DFE是互余的.生戊也可以这样写理由：ABCDEF.ABC=DEF ABC+DFE=90师同学们的理由说得很明白，其他同学怎么样？能听懂吗？现在来看一下刚才这三位同学说的理由.（出示投影片5.8 G）（上述三位同学的叙述）师大家明白他们的思考过程吗？生
7、齐声明白.师好，接下来我们做练习以巩固直角三角形全等的条件.课堂练习（一）课本P156随堂练习 图51691.如图5169，AC=AD.C、D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？解： RtABCRtABD BC=BD. 图51702.如图5170，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩子上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：相等.RtABORtACO BO=OC.（二）看课本P153155，然后小结.课时小结本节课我们重点探讨了直角三角形全等的条件.1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形全等的条件来判定，
8、还可以应用直角三角形特殊的全等条件-2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需找两个条件.注意：两个条件中至少有一个条件是一对边相等.课后作业（一）课本P156习题5.13 1、2.（二）1.预习内容：全章内容，即P117156.2.写一份章节总结.活动与探究 图51711.如图5171，ACB=BDA=90.要说明ACBBDA，需要再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来，有几种不同的方法就写几种. 过程让学生通过思考、交流，进一步掌握直角三角形全等的条件.结果如图5171，ACB=BDA=90.要说明ACBBDA.需要再补充一个条件即可.（1）补充一
9、条边时，有以下两种：可补充AD=BC，也可补充BD=AC即：（HL） （HL）（2）补充一个角时，有以下两种：补充DAB=CBA也可补充：DBA=CAB即：（AAS） （AAS）七板书设计5.8 探索直角三角形全等的条件一、做一做（尺规作图）二、直角三角形全等的条件斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简称为三、想一想四、议一议五、课堂练习六、课时小结七、课后作业 两直角三角形全等的条件两直角三角形全等的条件韩城金城二中 王小丽一、教学内容的背景和分析本节课是学生在学习了一般三角形全等的条件后教材安排的一课时内容。直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决
10、实际问题中有着广泛的运用。本节课是探索和掌握直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。、学生学习本节内容的认知基础：学生刚刚学习了有关三角形全等的基础知识，以及利用尺规作三角形，这些知识是学习本节课的认知基础，本节课正是在此基础上展开的。、学生容易出现的学习障碍或困难：学生虽然已经有了以上的认知基础，但由于八年级的学生的认知水平有限，所学知识还不能融会贯通，在三角形全等条件的综合运用上，学生也存在思维上的难点，HL的判定方法学生难以认可。这两个问题既是本节课的重点，也是本节课的难点，解决问题的主要思路是让学生动手实验，合作交流，在
11、活动中去领会、感悟。二、教学目标、知识与技能目标：进一步熟练掌握三角形全等的条件，掌握直角三角形全等的条件；培养学生的推理能力，有条理地表达能力。、方法与过程目标：探索直角三角形全等的条件，运用直角三角形全等的条件来解决实际问题；、情感与态度目标：通过探究直角三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好思维品质，以及发现问题的能力。三、教学重点、难点重点：掌握判定两直角三角形全等的条件；运用直角三角形全等的条件来解决实际问题难点：探索HL，灵活运用直角三角形全等的条件来解决实际问题四、教学方式采用师生互动，合作交流，实验探究的参与式教学。学生活动需准备的材料：直尺、圆规、三角
12、板、剪刀、两张硬纸片。五、教学过程设计：（一）创设与已有的认知冲突的情景，诱发学生的参与动机师：判定两三角形全等有哪些方法？若这两个三角形是直角三角形，这些方法适用吗？设计目的：使学生对已有的方法进行复习巩固，并且理解直角三角形是一种特殊的三角形，因此以前所学的判定方法仍然适用。生：独立思考并口答。师：如图，具备下列条件的RtABC与RtDEF,(其中C=F=90)是否全等，在（ ）里填写理由，如果不全等，在（ ）里打（1）ACDF,AD （ ）（2）ACDF, BCEF （ ）（3）ABDE，BE （ ）（4）AC=DF,CB=FE,AB=DE ( )（5）AD，BE （ ） (6) AC=
13、DF,AB=DE ( )设计目的：通过对此问题的探究，使学生处于与原有的认知相矛盾的冲突中，从而引入本节课的内容。生：学生观察思考后，进行口答。（二）展开实验，主动参与探究实验：任意画出一个RtABC，使C90，再画一个Rt ABC ，使 BC BC，AB AB，把画好的RtABC 剪下，放到RtABC上，看看它们是否全等?（首先引导学生探讨画法）画法：画MC N=90 2.在射线CM上取BCBC3.以为B圆心，AB为半径画弧，交射线CN于点A.连接AB 则 ABC就是所画的图形探究规律：通过实验可以得到两个直角三角形全等的判定的另一种方法：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写
14、成斜边、直角边公理或HL）然后引导学生用数学符号语言来准确表达这个结论：在RtABC与RtABC中BC= BCABAB RtABC RtABC(HL)强调；此结论在一般的两个三角形中是不成立的，但是在两个直角三角形中却正确。也就是说边边角在特殊情况下也能够成立。（三）应用迁移，巩固提高例1：如图，ADBE,垂足C是BE的中点，AB=DE,那么ABC DEC成立吗？设计目的：使学生初步会用所学的定理判断两直角三角形全等。生：独立思考后口述例2：如图所示，在ABO和ACO中，ABO=ACO=90_=_则RtABORtACO（这是一道开放性题目，答案不唯一，目的是为了培养学生的发散性思维。在思考中要
15、引导学生注意题目中已经隐含了两个条件。） 例3：如图：AB=CD,AEBC,DFBC,CE=BF.求证：AE=DF设计目的：培养学生简单的综合运用所学知识解决问题的能力。生：自己独立完成，一学生版演。（证明略）例4：如图，ACBC,BDAD,AC=BD.求证：BC=AD.分析：欲证BC=AD，只需证明ABCBAD，由于这两个三角形都是直角三角形，因此可首先利用直角三角形全等的判定方法去判定。由于这两个三角形中已经知道了有一组直角边对应相等，所以只要斜边相等即可说明全等。证明: ACBC,BDADC=D=90在RtABC 与RtBAD 中AB=BAAC=BD RtABC RtBAD(HL) BC
16、=AD(全等三角形的对应边相等)例5：如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿着两条直线行走，并同时到达D、E 两地。DAAB,EBAB. D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？分析：要判断D、E与路段AB的距离相等，即AD=BE，只需证明RtACD与 RtBCE全等。证明 DAAB,EBABA=B=90在RtACD与 RtBCE 中AC=BCCD=CERtACD RtBCE(HL)AD=BE即D、E与路段AB的距离相等（四）小结反思，拓展升华让学生谈谈自己这节课的收获是什么？在交谈中归纳本节课所学的内容。备选例题：已知：如图，在ABC和ABC中，CD、CD分别是高，并且
17、ACAC，CDCD，ACBACB求证：ABCABC（五）布置作业课本P104 7，8 六教学反思由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具备一般三角形所没有的特殊性质。通过本节课的学习，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等。在研究的过程中，注意渗透由一般到特殊的数学思想方法。为了实现教学目标，本节课改变了教材的情境设置，择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例集装箱的装运，使学生能在生活中找到数学原型，在思考中找到解
18、决问题的办法。教学中鼓励学生大胆猜想，大胆辩驳，关注和利用学生身边熟悉的材料，如集装箱、滑梯等，以学生已有的生活经验和感受为出发点，由课内延伸到课外，由学校走向社会，让学生切实感受到生活中处处有数学;注重学生在学习过程中的自主体验。教学过程中教师给学生留出了充分的活动时间和想像空间，鼓励每位学生动手、动口、动脑，积极参与到活动和实践中来。教学中将操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等学习方式贯穿数学学习的始终，促进学生形成主动学习的愿望和积极参与的意识，最终使教学的过程成了师生激情与智慧共生的过程。等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形课前热身1.如图，等边ABC的边长为3，
19、P为BC上一点，且BP1，D为AC上一点，若APD 60，则CD的长为（ ）BP第1题图 AC 3 2B2 3C1 2D3 42.如图，已知ABC中，AB17，AC10，BC边上的高 AD8， 则边BC的长为（ ）AC第2题图A21B15C6D以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm 4.如图，在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为 参考答案 1. B 2. A 3.4.3考点聚焦 等腰三角线1等腰三角形的判定与性质 2等边三角形的判定与性质3运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题 直角
20、三角形1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题2运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形 3折叠问题4将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用 备考兵法 等腰三角线1运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论2要正确辨析等腰三角形的判定与性质3能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题 直角三角形1正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数2在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）来解决问题，实现几何问
21、题代数化3在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30，45，60）若有，则应运用一些相关的特殊性质解题4在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形来解决5折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路 考点链接一等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角_；2. 等腰三角形底边上的_，底边上的_，顶角的_，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_ 二等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_，同样具有三线合一的性质；2. 三个角相等的三角形是
22、_，三边相等的三角形是_，一个角等于60的_三角形是等边三角形 三直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角_2. 直角三角形中30所对的直角边等于斜边的_3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的_；4. 勾股定理：_5. 勾股定理的逆定理：_ 典例精析例1（湖北襄樊）在ABC中，AB AC 12cm，BC 6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B A C的方向运动设运动时间为t，那么当t 秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍答案7或17解析本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点P在BA上时，BPt，AP12-t
23、，2（t+3）12-t+12+3，解得t7；当点P在AC上时， PC24-t，t+32（24-t+3），解得t17，故填7或17.例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB 4米， BAC 30， C 90，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为BA C答案（2+2）米解析掌握30所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.例3（四川乐山）如图，ADCD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（ ）A51234 B C D 131355答案 A解析由ADDC，知ADC为直角三角形 由勾股定理得：AC=AD+DC=3+4=5，AC=5， 在ACB中，A
24、B=169，BC+AC=5+12=169， AB=BC+AC由勾股定理的逆定理知：ABC是直角三角形 sinB=2222222222222AC5= AB13例4（安徽）已知点O到ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC （1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC； （2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示 图1 图2 解析 （1）过点O作OEAB，OFAC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC RtOEBRtOFC B=C AC=AB（2）过点O作OEAB，OFAC，E，F分别是垂足由题意知
25、，OE=OF 在RtOEB和RtOFC中，OE=OF，OB=OCRtOEBRtOFE OBE=OCF 又OB=OC OBC=OCBABC=ACB AC=AB （3）不一定成立当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则ABAC，如示例图 成立 不成立 点拨本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力 迎考精练 一、选择题1.(四川达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的 四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
26、形若正方形 A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面 积是（ ）A13 B26 C47 D94 2.（甘肃白银）如图，O的弦AB6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（ ）A5 B4 C3 D2 3.（山东济宁）赵爽弦图是四个全等的直角三角形与中间一个 小正方形拼成的大正方形如图，是一赵爽弦图飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A1111B C D 245104.（浙江嘉兴）如图，等腰ABC中，底边BC a，
27、 A36， ABC的平分线交AC于D， BCD的平分线交BD于E，设k 则DE（ ）Ak2aBk3a Cak25 1， 2Dak3D B C 第4题图5.（湖北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20， 点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A25 C5 D35 6.（浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A30B45C60 D907.（山东威海）如图，ABAC,BDBC，若A40，则ABD的度数是（ ）A20 B30 B C35 D40 ADC 8.（湖北襄樊）如图，已知直线ABCD，DCF 110 ，且AE AF，
28、则A等于（ ）A30 B40 C50 D70 ABD 二、填空题1.（四川泸州）如图，已知RtABC中，AC3，BC 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，则 CA1 ，C4A5 A5C5 2.(四川内江)已知RtABC的周长是4 4，斜边上的中线长是2，则SABC_. 3.（四川宜宾）已知：如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边 AB3,则图中阴影部分的面积为 第12题图 4.（湖南长沙）如图，等腰ABC
29、中，AB AC，AD是底边上的高，若AB 5cm，BC 6cm，则AD DC三、解答题1.（河南）如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系,并给出证明 2.（浙江绍兴）如图，在ABC中，AB AC， BAC 40，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使 BAD CAE 90（1）求 DBC的度数；（2）求证：BD CE 3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以雄、奇、秀、幽、险著称于世著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB 50km，A、B到直线X的距离分别为10
30、km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1 PA PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A ，连接BA 交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2 PA PB（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2 PA PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值P图（1）图（2） 图（3） 4.（广东中山）如图所示，ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CE CD，（1）用尺规作图的方法，过D点作DM BE，垂足是M（不写
