1、.数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A4和3 B3和2 C3和4 D4和42. 已知求积公式，则（ ）A B C D3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（ ） A0， B 0， C1， D 1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A超线性 B平方 C线性 D三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A B CD 二、填空1. 设 ，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ， 则二阶差商 3. 设, 则 ， 。4求方程 的近似根，用迭代公式 ，取初始值 ， 那么
2、5解初始值问题 近似解的梯形公式是 6、 ，则A的谱半径 。 7、设 ，则 和 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为 。10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成 。 11. 设, 则 ， .12. 一阶均差 13. 已知时，科茨系数，那么 14. 因为方程在区间上满足 ，所以在区间内有根。15. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式 .16.设是真值的近似值，则有 位有效数字。17. 对, 差商( )。18. 设, 则 。19.牛顿柯特斯求积公式的系
3、数和 。 20. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则( ).22. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).23. 迭代公式收敛的充要条件是 。24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。25、数值计算中主要研究的误差有 和 。26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则 ； 。27、设是区间上的一组n次插值基函数。则插值型求积公式的代数精度为 ；插值型求积公式中求积系数 ；且 。28、辛普生求积公式
4、具有 次代数精度，其余项表达式为 。29、则。30.设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有 位有效数字。31. ， 。32.求方程根的牛顿迭代格式是 。33.已知,则 , 。34. 方程求根的二分法的局限性是 。 三、计算题1设 （1）试求 在 上的三次Hermite插值多项式使满足，以升幂形式给出。（2）写出余项 的表达式2已知 的 满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数 ，使 0，1收敛？3 推导常微分方程的初值问题 的数值解公式：（提示： 利用Simpson求积公式。）4利用矩阵的LU分解法解方程 组 5. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，
5、并计算的近似值.6. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；（2）于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.7. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.8. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.9用二次拉格朗日插值多项式的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。11.用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。12.求系数13.
6、对方程组 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由14. 确定求积公式 的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.15. 设初值问题 .(1) 写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。16. 取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。17、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。18、利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。19确定求积公式。中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度20、
7、已知一组试验数据如下 ：求它的拟合曲线（直线）。21、用列主元消去法解线性方程组22. 已知(1)用拉格朗日插法求的三次插值多项式；(2)求， 使。23确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度24、用Gauss消去法求解下列方程组25. 试求使求积公式的代数精度尽量高，并求其代数精度。26. 取步长h=0.2, 用梯形法解常微分方程初值问题 27. 用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A的行列式detA的值.28用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。29、已知数据如下：求形如拟合函数。30、用二次拉格朗日插值多项式计
8、算。插值节点和相应的函数值如下表。31、利用改进的尤拉方法求解初值问题，其中步长。32、讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.简述题：叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？.数值分析复习题答案一、选择题1.A2.D3.D4.C5.B二、填空1、2.3150 2、 3、6 和 4、1.55、 6、 7、；8、 收敛 9、 10、 11. 9和 ；12. 13. 14. 15.；16、3 ；17、1 ；18、7；19、1；203；21.；22.；23. ；24、.迭代矩阵， ；25.相对误差 绝对误差 26. 1；
9、27. 至少是n ，b-a ；28. 3 ；29. 1 0；30、4；31、1，0；32、 ；33、 7, 6；34、收敛速度慢，不能求偶重根。 三、计算题1解：（1） （2） 2解 ：由 ，可得 ， 3 .解 ： 数值积分方法构造该数值解公式：对方程 在区间 上积分，得，记步长为h, 对积分 用Simpson求积公式得 所以得数值解公式： 4解 5. 解 ， ，所以分段线性插值函数为 6. 解 ：原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得7. 解： ， ，故取作初始值迭代公式为， ， 方程的根8.解 梯形公式 应用梯形公式得 辛卜生公式为
10、应用辛卜生公式得 9解 10.用二分法求方程区间内的一个根，误差限。解11.解 迭代公式 12.解：13. 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：144. 解 15. 解 16.解：=1+2( ，17、解：差商表由牛顿插值公式：18、解：19解：分别将，代入求积公式，可得。令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。20、解：设则可得 于是，即。21、解：即22. 解：23 解 令代入公式精确成立，得；解得，得求积公式对；故求积公式具有2次代数精确度。24、解：本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公
11、式直接计算即可。故25. 解：由等式对精确成立得：,解此方程组得又当时 左边右边 此公式的代数精度为226. 解：梯形法为 即迭代得27. 解：先选列主元，2行与1行交 换得消元；3行与2行交换；消元；回代得解；行列式得28解：是的正根，牛顿迭代公式 为， 即 取x0=1.7, 列表如下：29、已知数据如下：求形如拟合函数。解：30、解：过点的二次拉格朗日插值多项式为代值并计算得 。31、解：32、解： 简述题：解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。 误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数
12、吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。 一、 选择题(共30分，每小题3分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ ）。（A）方法收敛性； （B）方法的稳定性；（C）方法的计算量； （D）方法的误差估计。2、已知方程32x5=0在区间2,3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（ ）次可以保证误差不超过。(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）（A）调换方程位置； （B）选主元； （C）直接求解； （D）化简方程组。4、设，则和的值分别为（ ）（A）1，1； （B）98!，0； （C）9，0； （D
13、）9，1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要（ ）等分才能保证误差不超过？（A）10； （B）15； （C）20； （D）25。6、用一般迭代法 求解方程组Ax=b的解，则当（ ）时，迭代收敛。（A）方程组系数矩阵A 对称正定； （B）方程组系数矩阵A 严格对角占优；（C）迭代矩阵B 严格对角占优； （D）迭代矩阵B 的谱半径(B)1。7、在区间0,1 上满足y(0)=1.5,y(1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( )(A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、复相关系数的取值区间为： ( ) (A) ； (B) ；
14、 (C)； (D)9、方差分析主要用于分析（ ）(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量10、 方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（ ）(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等 (C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每小题3分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、的相对误差约是的相对误差的 倍。3. 方程求根的二分法的局限性是 。 4、求方程根的割线法的收敛阶为_ _ 。 5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。 6、若用高斯-
15、赛德尔法解方程组，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是a 应满足_ _。 7、线性代数方程组Ax=b相容的充要条件是_ _ _。8、单纯形算法的基本思路是: 。9、参数假设检验的含义是 。10、假设检验的基本思想的根据是 三、（7 分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。四、（8 分）已知方程组分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。五、（9分）设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出微分方程的求解公式。六、（8分）设总体 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，其中a、b未知，为总体 X 的样本，求a、b的极
16、大似然估计量七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型：.参加答案一、 选择题(共30分，每小题3分)1、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（ C ）。（A）方法收敛性； （B）方法的稳定性；（C）方法的计算量； （D）方法的误差估计。2、已知方程32x5=0在区间2,3存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（ C ）次可以保证误差不超过。(A) 5； (B) 7； (C) 10； (D) 12。3、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（ ）（A）调换方程位置； （B）选主元； （C）直接求解； （D）化简方程组。4、设，则和的值分别为（ B ）（A）1，1； （B）98
17、!，0； （C）9，0； （D）9，1。5、若用复化的辛浦生公式计算积分，问积分区间要（ A ）等分才能保证误差不超过？（A）10； （B）15； （C）20； （D）25。6、用一般迭代法 求解方程组Ax=b的解，则当（ D ）时，迭代收敛。（A）方程组系数矩阵A 对称正定； （B）方程组系数矩阵A 严格对角占优；（C）迭代矩阵B 严格对角占优； （D）迭代矩阵B 的谱半径(B)1。7、在区间0,1 上满足y(0)=1.5,y(1)=2.5 的0 次拟合多项式曲线是( A )(A) y = 2； (B) y = 1.5 ； (C) y = 2.5 ； (D) y = 4 。8、复相关系数的取
18、值区间为： ( A ) (A) ； (B) ； (C)； (D)9、方差分析主要用于分析（ D ）(A)自变量和因变量都是分类变量 (B)自变量和因变量都是顺序变量(C)自变量和因变量都是数值变量 (D)自变量是分类变量，因变量是数值变量11、 方差分析中在由样本推断总体性质时，零假设是（ B ）(A)各分类间方差相等 (B)各分类间均值相等 (C)各分类间均值不相等 (D)各分类间至少有两组均值相等二、填空题(共30分，每小题3分)1、数值计算中主要研究的误差有 和 。2、的相对误差约是的相对误差的 倍。3. 方程求根的二分法的局限性是 。收敛速度慢，不能求偶重根。4、求方程根的割线法的收敛
19、阶为_ _ 。或5、求定积分的牛顿-柯特斯公式的代数精度为 。56、若用高斯-赛德尔法解方程组，其中a为实数，则该方法收敛的充要条件是a 应满足_ _ _。7、线性代数方程组Ax=b相容的充要条件是_ _ _。rank(A)= rank(A,b)8、单纯形算法的基本思路是: 根据问题的标准型,从可行域中某个基本可行解 (顶点)开始,转换到另一个基本可行解(顶点),并使得每次的转换,目标函数值均有所改善,最终达到最大值时就得到最优解。9、参数假设检验的含义是对总体中某个数字特征或分布中的参数提出假设检验。10、假设检验的基本思想的根据是小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。
20、”三、（7 分）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。四、（8 分）已知方程组分别写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。五、（9分）设步长为h，分别用Euler方法、隐式Euler方法和梯形方法写出下列微分方程的求解公式：。六、（8分）设总体 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，其中a、b未知，为总体 X 的样本，求a、b的极大似然估计量七、（8 分）将如下线性规划问题化成标准型： 试题 一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点，其对应的函数的值分别为，则二次拉格朗日插值基函数为 。 2.设，则关于节点的二阶向前差
21、分为 。3.设，则 ， 。4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：12324123并估计误差。（10分）四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）五用Newton法求的近似解。（10分）六试用Doolittle分解法求解方程组： （10分）七请写
22、出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）参考答案一 填空题（每小题3分，共12分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）对于对称正定阵 A，从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）2. 解：（1）若，则称为函数的不动点。 （2分）（2）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：1）是在其定义域内是连续函数； （2分）2）的值域是定义域的子集； （2分）3）在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：计算vk=Auk-1;步4：计算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：若|mk- | e，计算，输出mk,uk；否则，转6；步6：若kN,置k:=k+1, :=mk，转3；否则输出计算失败 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系数法： 设满足 则（3分） 再设 （3分）
