1、第一章 12 充分条件与必要条件学习目标1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法知识点一充分条件与必要条件思考用恰当的语言表述下列语句的意义一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；只有同心协力，才能把事情办好答案如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件同心协力是办好事情的必要条件梳理(1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)若pq，但qp，称p是q的充分而不必要条件，若qp，但p
2、q，称p是q的必要而不充分条件知识点二充要条件思考在ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B60”的什么条件？答案因为A、B、C成等差数列，故2BAC，又因ABC，故B60，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B60”的充分必要条件梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果pq，那么p与q互为充要条件知识点三充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别充分条件、必要条件和充
3、要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系(1)从逻辑关系上看若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；若qp，但pq，则p是q的必要不充分条件；若pq，且qp，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件(2)从集合与集合之间的关系上看如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件(3)从传递性角度看由于逻辑联结符号“
4、”“”“”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系(4)从等价命题角度看当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立类型一充分条件、必要条件和充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x1或x2，q：x1；(4)p：m1，q：x2xm0无实根；(5)p：ab0，q：直线axbyc0与两坐标轴都相交解(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分条件(2)四边形的
5、对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形四边形的对角线相等，p是q的必要不充分条件(3)x1或x2x1；x1x1或x2，p是q的充要条件(4)若方程x2xm0无实根，则14m0，即m.m1m；mmb”是“a2b2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析可采用特殊值法进行判断，令a1，b1，满足ab，但不满足a2b2，即条件“ab”不能推出结论“a2b2”；再令a1，b0，满足a2b2，但不满足ab，即结论“a2b2”不能推出条件“ab”故选D.类型二递推法判断命题间的关系例2已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
6、(1)s是q的什么条件？(2)r是q的什么条件？(3)p是q的什么条件？解方法一(1)q是s的充分条件，qs.q是r的必要条件，rq.s是r的充分条件，sr，srq.即s是q的充要条件(2)由rq，qsr，知r是q的充要条件(3)p是r的必要条件，rp，qrp.p是q的必要不充分条件方法二如图所示(1)由图可知qs，srq，所以s是q的充要条件(2)因为rq，qsr，所以r是q的充要条件(3)因为qsrp，而pq，所以p是q的必要不充分条件反思与感悟解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系跟踪训练2如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的
7、充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析如图所示，甲是乙的必要条件，乙甲又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，丙乙，但乙丙综上，有丙乙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件类型三充要条件的证明例3求证：一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0，且x1x20，ac0.充分性：由ac0及x1x20，方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根因此一元二次方程ax2bxc0(a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0，ab10.ab1.综上可知，
8、当ab0时，ab1的充要条件是a3b3aba2b20.类型四利用充分条件、必要条件求参数的取值范围例4已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围解设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x28x200，得Ax|x10或x0，得Bx|x1a或x0依题意知pq，qp，说明A B.于是有(说明：“1a10”与“1a2”中等号不能同时取到)解得0a3.正实数a的取值范围是00)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围解由题意知p：|1|2212132x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0.(*)p是q的充分不必要条件，不等式|1
9、|2的解集是x22x1m20(m0)的解集的真子集m0，不等式(*)的解集为x|1mx1m，且1m2与1m10不同时成立m9.实数m的取值范围是9，).1人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析无功不受禄可写为命题：若无功，则不受禄逆否命题为：若受禄，则有功显然受禄是有功的充分不必要条件，因为有功不一定受禄2设命题p：x23x20，q：0，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析命题p：1x2；命题q：1x2，故p是q的充分不必要条件3“x24x50”是“x5
10、”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析根据方程得x24x50，解得x1或x5，故“x24x50”是“x5”的必要不充分条件，故选B. 4记不等式x2x60的解集为集合A，函数ylg(xa)的定义域为集合B.若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为_答案(，3解析由于Ax|x2x60x|3xa，而“xA”是“xB”的充分条件，则有A B，则有a3.5试说明0m是方程mx22x30有两个同号且不等实根的什么条件解(1)若方程mx22x30有两个同号且不等的实根，则0m.反之，若0m0， 0，412m0,0412m0，且0， 0.因此0m2
11、Cx2y22 Dxy1答案B解析若x1且y1时，可得xy2，反之不成立(用特殊值即可判定)；故x1且y1是xy2的充分不必要条件，那么根据逆否命题的等价性可得xy2是“当x、y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件5已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面内的一条直线，m，则，反过来则不一定，以“”是“m”的必要不充分条件6设aR，则“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必
12、要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若a2，则直线l1：2x2y10与直线l2：xy40平行，若“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”，解得a2或a1，“a2”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件7“0m1”是“函数f(x)sin xm1有零点”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析函数f(x)sin xm1有零点方程sin x1m有根11m10m2，所以“0m1”是“函数f(x)sin xm1有零点”的充分不必要条件二、填空题8若函数f(x)2x(k23)2x，则k2是函数f(x)为
13、奇函数的_条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当k2时，f(x)2x(k23)2x2x2x，此时函数f(x)为奇函数；反之，当函数f(x)为奇函数时，有f(x)f(x)2x(k23)2x2x(k23)2x(4k2)(2x2x)0，则有k24，即k2；故k2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件9“sin cos ”是“cos 20”的_条件答案充分不必要解析由cos 2cos2sin2知，当sin cos 时，有cos 20，反之，由cos2sin2不一定有sin cos ，从而“sin cos ”是“cos 20”的充分不必要条件故选A
14、.10给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“cos b”是“3a3b”的充分必要条件，故错误； 0，则coscos 0；coscos 2 015，则”是“cos cos ”的既不充分也不必要条件，故错误；“a0”是“函数f(x)x3ax2(xR)为奇函数”的充要条件正确三、解答题11已知条件p：Ax|2axa21，条件q：Bx|x23(a1)x2(3a1)0，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围解化简Bx|(x2)x(3a1)0，当a时，Bx|2x3a1；当a时，Bx|3a1x2因为p是q的充分条件，所以AB，于是有或解得1a3或a1.综上，a的取值范围是a|1a
15、3或a112已知函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a0，即(xa1)(x2a)0，又a2a，Bx|2axa1p是q的必要不充分条件，B A，2a1或a11，解得a1或a2.a的取值范围为(，2，1)13设a，b，c是ABC的三个内角A，B，C所对的边求证：a2b(bc)的充要条件是A2B.证明充分性：A2B，ABB，则sin(AB)sin B，则sin Acos Bcos Asin Bsin B，结合正弦、余弦定理得abb，化简整理得a2b(bc)；必要性：由余弦定理a2b2c22bccos A，且a2b(bc)，得b2bcb2c22bccos A，12cos A，即sin B2sin Bcos Asin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)，由于A、B均为三角形的内角，故必有BAB，即A2B.综上，知a2b(bc)的充要条件是A2B.
