1、初二三角形压轴题分类解析汇报济南初中数学压轴姜姜老师北师大版七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1.( 1)如图7,点0是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形 OAB和等边三角 形OCD,连结AC和BD,相交于点 E,连结BC.求/ AEB的大小；(2)如图8 , OAB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点 0旋转( OAB和厶OCD不 能重叠)，求/ AEB的大小.立吗？作出判断不必说明理由M , N分别为EB,CD的中点，易证:C,连接AF和BE.同类变式：如图a,AABC和厶CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点线段
2、AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2)将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;若将图a中的 ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可),(1)中的结论还成3.如图9,若厶ABC和厶ADE为等边三角形,CD BE , AMN是等边三角形.(1)当把 ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD BE是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由；(2)当厶ADE绕A点旋转到图11的位置时， AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.同类变式：已知，如图所示，在厶ABC和厶ADE中
3、，AB AC , AD AE , BAC DAE，且点B, A, D 在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1)求证： BE CD ，AM AN .(2)在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立4.如图,(1)(2)MA E图 图四边形 ABCD四边形 AEFG为正方形，连接 BG与 DE相交于点H.证明： ABG也 ADE;试猜想 BHD的度数，并说明理由;CDACB将图中正方形 ABCD点A逆时针旋转(0 BAE v 180),设厶ABE的面积为S , ADG的面积为S
4、2，判断S与S2的大小关系，并给予证明.5已知：如图， ABC是等边三角形，过 AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G ,在GD的延长线上取 点 E ,使 DE DB,连接 AE , CD .(1) 求证： AGE DAC ；(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F，请你连接AF，并判断 AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)考点1 ：利用垂直证明角相等1.如图， ABC中，/ ACB = 90 , AC =BC, AE是BC边上的中线，过C作CF丄AE，垂足为F，过B作BD丄BC 交CF的延长线于D.2.(西安中考)如图
5、，已知 ABC中,/ BAC=90, AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在 A E的异侧,BD丄AE于D, CE丄AE于E 。图(1) 图(2) 图(3)(1)试说明：BD=DE+CE.若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变，问BD与DE CE的关系如何？写出结论，可不 说明理由。3.直线CD经过 BCA的顶点C, CA=CB E F分别是直线CD上两点，且 BEC CFA .(1)若直线CD经过 BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若 BCA 90, 90，则 EF BE AF (填“ ”，“ ”或“ ”号)；如图2，若0 BCA
6、 180，若使中的结论仍然成立，贝U 与 BCA应满足的关系是 BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给(2)如图3,若直线CD经过 BCA的外部, 予证明.考点2 :利用角相等证明垂直1.已知BE CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系2.如图，在等腰 Rt ABC中，/ ACE=90, D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF/ AC交DE的延长线于点F,连接CF(1)求证：CD=BF求证：ADL CF;连接AF,试判断 ACF的形状.拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三角形，/ACB= 90, AD是BC边上的中线
7、，过 C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDE.B(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论;中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由4.如图1, ABC的边BC在直线I上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也 在直线I上，边EF与边AC重合，且EF FP(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将 EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP, BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3) 将 EFP沿直线l向左平移到
8、图3的位置时，EP的延长线交 AC的延长线于点Q,连结AP,BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由压轴题拓展：（三线合一性质的应用） 已知Rt ABC中，AC BC , C 90 , D为AB边的中点， EDF 90 ,EDF绕D点旋转，它的两边分别交 AC、CB （或它们的延长线）于 E、F .1当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1）,易证S DEF S CEF -S ABC当 EDF绕D点旋转到DE和AC2C F B图2图3又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.是BC边的中点，连结 DH与BE
9、相交于点3.已知：如图， ABC中，/ ABC=45 , CD丄AB于D, BE平分/ ABC,且BEX AC于E,与 CD相交于点 F, HG。（1） BF=AC（2） CE=BFCE与BC的大小关系如何。考点2 :等腰直角三角形（45度的联想）1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边CBM经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A, B重合），另一条直角边与/的平分线BF相交于点F如图141，当点E在AB边的中点位置时:通过测量DE, EF的长度，猜想 DE与EF满足的数量关系是连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是请证明你
10、的上述两猜想如图142，当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点 N,使得NE=BF，进而猜想此时 DE与EF有怎样的数量关系并证明0 MS14-1明）连结点 E与AE边得中点N,猜想EE和CF满足的数量关系 是请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E在EC边 得任意位置时，AE和 EF有怎样的 数量关系，并说明你的理由？BC图(1)MB E C M图（2）四、角平分线问题1.如图：E在线段 CD上，EA EB分别平分/ DAB和/ CBA, / AEB=90 ,设AD= X,BC= y，且 x,y 满足 X2y2 6x 8y 25 0(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和
11、BC还有什么关系？并验证你的结论; (3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由2.如图，0P是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60, AD CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你13.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E,并且AE
12、- (AB AD),2则 ABC ADC等于多少？4.如图， ABC中, AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEIAB于 E, DF丄 AC于 F.FD(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.五、中点问题1.在厶ABC中，D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G。DEGF ,并交AB于点E .连结EG .(1)求证：BG CF ;（2）请猜想BECF与EF的大小关系，并加以证明2. 如右下图，在 ABC中，若 B 2 C，AD BC， E为BC边的中点.求证： AB 2DE .3.已知 ABC中，AB AC ,
13、BD为AB的延长线，且BD AB , CE为 ABC的AB边上的中线.求证CD 2CE （提示：倍长中线试试）附加思考题： 以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 连接DE , M、N分别是BC、DE的中点.探究： AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ;线段AM与DE的数量关系是将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 （0 90）后，如图 所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.BMC图BMC图点， 连接上，且 EF/DG。24、已知：如图，矩形 ABCD中点G为BC延长线上一DG,BH DG于 H，且GH DH，点 E,F 分别在 AB, BC(1)若 AD 3,CG 2，求 DG 的长;(2)若 GFAD BE，求证：EF -DG 。2
