1、第七章 第七节第七节动能和动能定理1知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。2能用牛顿第二定律、运动学公式结合做功公式导出动能定理，理解动能定理的含义。3能应用动能定理解决相关问题。1.动能(1)定义：物体由于运动而具有的能量。(2)表达式：Ekmv2。(3)单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳，1 J1_kgm2s2。(4)物理特点具有瞬时性，是状态量。具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。是标量，没有方向，Ek0。2动能定理(1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。(2)表达式：WEk2Ek
2、1。(3)适用范围：既适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动。判一判(1)合力为零，物体的动能一定不会变化。()(2)合力不为零，物体的动能一定会变化。()(3)物体动能增加，则它的合外力一定做正功。()提示：(1)合力为零，则合力的功为零，根据动能定理，物体的动能一定不会变化。(2)合力不为零，合力做功可能为零，此时物体的动能不会变化。例如做匀速圆周运动的物体。(3)根据动能定理可知，物体动能增加，它的合力一定做正功。想一想1.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向
3、不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，所以动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。2在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？提示：重力做功相同，动能改变相同，末动能、末速度大小相同，但末速度方向不同。3骑自行车下坡时，没有蹬车，车速却越来越快，动能越来越大，这与动能定理相矛盾吗？提示：不矛盾。人没蹬车，但合力却对人和车做正功，动能越来越大。课堂任务对动能、动能定理的理解仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：物体在恒力F作用下移动了一段位移l，速度由v1变到v2，在这个过程中力F做的功是多少？提
4、示：由WFlcos可知，WFl。活动2：这个运动过程中物体的加速度与速度和位移的关系怎样？提示：由运动学公式可知vv2al。活动3：可否把功这个物理量与运动联系起来(水平面光滑)?提示：由牛顿第二定律得Fma，WFl可以写为Wmal，再把活动2中的表达式代入得到Wm，即Wmvmv。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)动能动能是状态量：与物体某一时刻的运动状态相对应。动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值；速度方向改变不影响动能大小，例如匀速圆周运动过程中，动能始终不变。动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度大小可能不同，动能也可能不同。在通常的计算中，没有特别说明，都是
5、以地面为参考系。(2)动能定理内容：公式为Wmvmv或WEk2Ek1或WEk。外力对物体做的总功等于物体动能的变化。意义：揭示了力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量。(3)对动能定理的进一步理解由公式看：a.当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加。b当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少。由正负功的意义看：力对物体做正功，表示其是动力，促使物体运动，物体动能会增加；力对物体做负功，表示其是阻力，物体动能会减少；一个物体的动能究竟增加还是减少不是看某个力做功，而是看所有外力的总功；合力做
6、了多少正功，物体的动能就增加多少，合力做了多少负功，物体的动能就减少多少。对状态与过程关系的理解：功是伴随一个物理过程而产生的，是过程量；而动能是状态量，动能定理把过程量和状态量联系在了一起。对适用条件的理解：动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以采用微元法，把运动过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理。对于变力做功和曲线运动的情况，动能定理同样适用。例1(多选)关于动能，下列说法中正确的是()A动能是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能B公式Ekmv2
7、中，速度v是物体相对于地面的速度，且动能总是正值C一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化D动能不变的物体，一定处于平衡状态(1)动能具有相对性的根本原因是什么？提示：是因为速度具有相对性。(2)速度变化动能一定变化吗？提示：不一定。动能是标量，如果只有速度的方向变化，动能不会变；只有速度的大小发生变化动能才会变。规范解答动能是物体由于运动而具有的能量，是机械能的一种，所有运动的物体都有动能，A正确；Ekmv2 中的速度v与参考系的选取有关，虽然一般选地面为参考系，但也有特殊情况，B错误；速度是矢量，当其只有方向发生变化时，动能不变化，此时物体并不处于平衡状态，而
8、一定质量的物体，动能变化时，速度大小一定改变，故速度一定变化，C正确，D错误。完美答案AC一个物体的动能与速度的关系(1)数值关系：Ekmv2，速度v越大，动能Ek越大。(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量。当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是速度的方向变化，物体的动能可能不变。(多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是()Av10 m/s Bv0CEk1
9、J DEk0答案AD解析小球速度变化vv2v15 m/s(5 m/s)10 m/s，小球动能的变化量Ekmvmv0。故A、D正确。例2有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是()A木块所受的合外力为零B因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零C重力和摩擦力的合力做的功为零D重力和摩擦力的合力为零(1)曲线运动中有平衡状态吗？提示：曲线运动中没有平衡状态，因为木块做曲线运动时至少速度方向在变，其合外力一定不会为零。(2)题中有哪些力做功？提示：支持力时刻与速度垂直，不会做功；重力做正功，摩擦力做负功。规范
10、解答木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，摩擦力做负功，重力与摩擦力的合力所做的功为零，但摩擦力方向不断改变，重力和摩擦力的合力不可能为零，故C正确，B、D错误。完美答案C做功与动能变化的关系我们既可以通过做功去推知动能的变化情况，也可以通过动能的变化去推知做功的情况。由动能定理知，动能不变，总功必然为零，这种情况下有力做功必然就有正有负，正功的大小必然和负功的大小相等。另外，合外力不为零，总功未必就不为零，比如做匀速圆周运动的物体，所受合外力不为零，但动能不变，总功为零。下列关于
11、运动物体所受的合力、合力做功和动能变化的关系，正确的是()A如果物体所受的合力为零，物体的动能一定不变B如果合力对物体做的功为零，则合力一定为零C物体在合力作用下做匀变速直线运动，则动能在一段过程中变化量一定不为零D物体的动能不发生变化，物体所受合力一定是零答案A解析物体所受的合力为零，那么合力对物体做的功一定为零，动能不变，或者合力为零，物体速度不变，由动能定义知动能不变，A正确；如果合力对物体做的功为零，合力可能不为零，而是在力的方向上的位移为零，B错误；竖直上抛运动是一种匀变速直线运动，其在上升和下降阶段经过同一位置时动能相等，故动能在一段过程中变化量可以为零，C错误；动能不变化，只能说
12、明速度大小不变，但速度方向有可能变化，因此合力不一定为零，D错误。课堂任务动能定理的应用仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：用牛顿运动定律结合运动学公式能求出物体达到斜面底端的速度吗？提示：物体在斜面方向所受的合外力为F合mgsin，其加速度为agsin，高为h，由三角函数知识知道，斜面长为x，由运动学公式v2v2ax得，v22gsin，解得物体达到斜面底端的速度v。由解题过程知道，物体到达斜面底端的速度与斜面长短或者斜面的倾角无关，只与斜面的高度有关。活动2：用动能定理能求出物体达到斜面底端的速度吗？提示：斜面上的物体受重力和支持力，在下滑的过程中只有重力做功，而重力做功与路径无
13、关，只与始末位置的高度差有关。而无论从哪个斜面滑到底端高度差都是一样的，重力做的功WGmgh大小都一样；再根据动能定理可得mghmv2，解得物体达到斜面底端的速度v。活动3：讨论过程中有什么感受？任何时候都可以应用两种方法解题吗？提示：(1)同样一个问题，既可以用牛顿运动定律结合运动学公式解决，也可以用动能定理解决。应用动能定理解要简单些。另外，只要下降的高度是h，且只有重力做功，它们的末速度都是。(2)物体受力是恒力时两种方法都可以解；如果是变力，牛顿运动定律结合运动学公式就变得无能为力，反之动能定理是个好选择。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)应用动能定理解题的基本思路(2)动力学
14、问题两种解法的比较例3质量M6.0103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l7.2102 m时，达到起飞速度v60 m/s。求：(1)起飞时飞机的动能是多少？(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为3.0103 N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？(1)不计滑行阻力，客机受到的合外力是什么？总功是多少？提示：重力和支持力平衡，合外力等于飞机受到的牵引力。设牵引力为F，已知飞机滑行距离为l，由功的公式可以知道总功就是WFl。(2)使用动能定理除了分析力求总功，还要分析
15、什么？提示：还要分析初、末两个状态的动能变化Ek。(3)受阻力时客机受到的合外力是什么？总功是多少？提示：受阻力时分析思路是一样的。设阻力为f，此时飞机受到的合力为Ff。设滑行距离为l，总功W(Ff)l。规范解答(1)飞机起飞时的动能EkMv2代入数值得Ek1.08107 J。(2)设牵引力为F，由受力分析知合外力为F，总功WFlEk10，Ek2Ek，则EkEk2Ek1Ek由动能定理得FlEk，代入数值解得F1.5104 N。(3)设滑行距离为l，阻力为f，飞机受到的合力为Ff。其总功W(Ff)l由动能定理得(Ff)lEk0整理得l，代入数值，得l9.0102 m。完美答案(1)1.08107
16、 J(2)1.5104 N(3)9.0102 m动能定理与牛顿运动定律结合运动学公式在解题时的选择方法(1)动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法，同一个问题，用动能定理一般要比用牛顿运动定律解决起来更简便。因为本题中是恒力，本题也可以用牛顿定律解，但用牛顿定律解要麻烦很多。(2)通常情况下，若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决；而曲线运动、变力做功或多过程等问题，一般要用动能定理解决。即使是恒力，当不涉及加速度和时间，并且是两个状态点的速度比较明确的情况，也应优先考虑动能定理。为了安全，在公路上行驶的汽车间应保持必要的距离。已知某高速公路的最高限速vm120
17、km/h，假设前方车辆突然停止，后车以vm匀速行驶，司机发现这一情况后，从发现情况到进行制动操作，汽车通过的位移为17 m，制动时汽车受到的阻力为其车重的0.5倍，该高速公路上汽车间的距离至少应为多大？(g取10 m/s2 )答案128 m解析知道初速度vm120 km/h，知道末速度为零，还知道阻力为其车重的0.5倍。初、末两个状态清楚，物体受力也清楚，不涉及加速度和时间，首选动能定理解题(此题的加速度很好求，用运动学公式也容易求出需要的距离)。制动时，路面阻力对汽车做负功W0.5mgx根据动能定理得0.5mgx0mv可得汽车制动后滑行的距离为x111 m该高速公路上汽车间的距离至少是x总x
18、x128 m。例4如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。木板从水平位置OA缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。在这一过程中，物块的重力势能增加了2 J。用FN表示物块受到的支持力，用Ff表示物块受到的摩擦力。在此过程中，以下判断正确的是()AFN和Ff对物块都不做功BFN对物块做功为2 J，Ff对物块不做功CFN对物块不做功，Ff对物块做功为2 JDFN和Ff对物块所做功的代数和为0(1)在转动过程中，重力做功吗？支持力和摩擦力呢？提示：从题目知道重力做负功。支持物体的斜面在运动，支持力做正功，摩擦力时刻与速度垂直，不做功。(2)支持力做的功怎么计算？能用WFlcos计算吗？提示：
19、在运动过程中，支持力的方向一直都在变，是变力，不能用WFlcosa计算，应用动能定理计算。规范解答由做功的条件可知：只要有力，并且物块沿力的方向有位移，那么该力就对物块做功。受力分析知，支持力FN做正功，但摩擦力Ff方向始终和速度方向垂直，所以摩擦力不做功，A、C、D错误。物体的重力势能增加了2 J，即重力做功为2 J，缓慢转动的过程中物体动能不变，由动能定理知，WFNWG0，则FN对物块做功为2 J，B正确。完美答案B很明显地此题中FN是变力，不太适合用牛顿运动定律结合运动学公式解。利用动能定理求变力做的功是最常用的方法，这种题目中，一个变力和若干个恒力对物体做功，这时可以先求出恒力做的功，
20、然后用动能定理间接求变力做的功，即W变W恒Ek。如图所示，物体(可看成质点)沿一曲面从A点无初速度下滑，当滑至曲面的最低点B点时，下滑的竖直高度h5 m，此时物体的速度v6 m/s。若物体的质量m1 kg，g10 m/s2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功。答案32 J解析物体在曲面上的受力情况为：受重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功。设摩擦力做功为Wf，由AB用动能定理知mghWfmv20，解得Wf32 J。故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J。课堂任务应用动能定理求解多过程问题仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：在l1段和l2段各有哪些力做功？提示：在l1段有拉力和阻
21、力两个力做功，在l2段只有阻力做功。活动2：可以在两段利用动能定理得出拉力做的功吗？提示：可以。在l1段：WFfl1mv20，在l2段：fl20mv2用得到，WFf(l1l2)0，WFf(l1l2)。活动3：有简单点的办法快速算出拉力做的功吗？提示：有！不分段，全过程分析。整个过程只有拉力和阻力做功。初、末状态的动能都是零，动能的改变量为零，外力的总功也就为零，这意味着拉力和阻力的总功为零。而阻力整个过程的功可以很快算出Wff(l1l2)。故拉力做正功，WFf(l1l2)。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。(1)应用动能定理求解多过程问题的两种方法物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(
22、如加速、减速的阶段)时，可以分段分析应用动能定理，也可以对全过程整体分析应用动能定理，但当题目不涉及中间量时，选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。(2)全过程应用动能定理时的注意事项当物体的运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。研究初、末动能时，只需关注初、末状态，不必关心运动过程的细节。例5如图所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑到由小圆弧连接的水平面上，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37。求物体能在水平面上滑行多远。(1)应用动能定
23、理解题的一般步骤是什么？提示：确定研究对象和过程；分析受力；求合力的功；求初、末状态的动能；列式求解。(2)多过程问题用全程法求解应注意什么？提示：合力的功等于每个阶段各个力所做功的代数和。规范解答解法一：(分段法)对物体在斜面上和水平面上时受力分析，如图甲、乙所示。物体下滑阶段FN1mgcos37，故Ff1FN1mgcos37。由动能定理得mgsin37x1mgcos37x1mv0在水平面上运动过程中，Ff2FN2mg由动能定理，得mgx20mv 由两式可得x2x15 m3.5 m。解法二：(全程法)物体受力分析同解法一。物体运动的全过程中，初、末状态的速度均为零，对全过程应用动能定理有mg
24、sin37x1mgcos37x1mgx200得x2x15 m3.5 m。完美答案3.5 m应用动能定理解多过程问题的一般思路(1)应用动能定理解题时必须明确所研究的运动过程。(2)当既可用分段法也可用全程法时，一般说来全程法较为简捷。(3)当物体做往复运动时，一般选用全程法。物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h深度停止(如图所示)。求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？答案解析解法一：(分段法)选物体为研究对象，先研究自由落体运动过程，只有重力做功，设物体质量为m，落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理，有mgHmv20再研究物体在沙坑中的运动过程
25、，此过程重力做正功，阻力F做负功，根据动能定理有mghFh0mv2由两式解得可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。解法二：(全程法)研究物体运动的全过程，重力所做的功为mg(Hh)，阻力做的功为Fh，初末状态物体的动能都是零，根据动能定理，有mg(Hh)Fh00解得可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。A组：合格性水平训练1(动能定理的理解)一物体做变速运动时，下列说法中正确的是()A合外力一定对物体做功，使物体动能改变B物体所受合外力一定不为零C合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变D物体的加速度可能为零答案B解析物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周
26、运动，此时物体的动能不变，并且合外力对物体不做功，故A、C均错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合外力一定不为零，故B正确、D错误。2(动能定理的应用)一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为()A.mv2 Bmv2 C.mv2 Dmv2答案A解析由动能定理得：WFm(2v)2mv2mv2，A正确。3(动能定理的应用)(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s，如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上
27、，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是()A力F对甲物体做功多B力F对甲、乙两个物体做的功一样多C甲物体获得的动能比乙大D甲、乙两个物体获得的动能相同答案BC解析由功的公式WFlcosFs可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误、B正确；根据动能定理，对甲有FsEk1，对乙有FsfsEk2，可知Ek1Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确、D错误。4(动能定理的应用)(多选)一物体在运动过程中，重力做了2 J的功，合力做了4 J的功，则()A该物体动能减少，减少量等于4 JB该物体动能增加，增加量等于4 JC该物体重力势能减少，减少量等于
28、2 JD该物体重力势能增加，增加量等于2 J答案BD解析重力做负功，重力势能增大，增加量等于克服重力做的功，C错误、D正确；根据动能定理得该物体动能增大，增加量为4 J，A错误、B正确。5.(动能定理的应用)物体在合外力作用下做直线运动的vt图象如图所示。下列表述正确的是()A在01 s内，合外力做正功B在02 s内，合外力总是做负功C在12 s内，合外力不做功D在03 s内，合外力总是做正功答案A解析由vt图象知，01 s内，v增大，动能增大，由动能定理可知合外力做正功，A正确。12 s内v减小，动能减小，合外力做负功，可见B、C、D错误。6(综合提升)(多选)如图甲所示，质量m2 kg的物
29、体以100 J的初动能在粗糙的水平地面上滑行，其动能Ek随位移x变化的关系图象如图乙所示，则下列判断中正确的是()A物体运动的总位移大小为10 mB物体运动的加速度大小为10 m/s2C物体运动的初速度大小为10 m/sD物体所受的摩擦力大小为10 N答案ACD解析由图乙可知物体运动的总位移大小为10 m，A正确；物体的初动能Ek0mv100 J，则v010 m/s，C正确；由动能定理得fxEk100 J，则f10 N，D正确；由牛顿第二定律得fma，a5 m/s2，B错误。7.(综合提升)如图所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则()AWmgR，质点恰好可以到达Q点BWmgR，质点不能到达Q点CWmgR
