1、电大专科 高等数学基础复习及答案电大专科2332高等数学基础复习及答案2332高等数学期末复习指导 高等数学基础复习指导 注意: 1 本次考试题型分为单选(20=4分*5)填空(20=4分*5)计算题(44=11分*4)应用题(16=16分*1) 2 复习指导分为3个部分，第一部分配有详细解答，掌握解题方法，第二部分历年试题汇编，熟悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题，应该重点掌握。 3 复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。 第一部分(详细解答) 一(填空题 x，41(函数的定义域为 xx,12且 。 y,ln(1)x,x，,40,x4,x,10解:且,xx12 x,1
2、,ln10x,，x,11,ln(1)x，2(函数的定义域是 。 ,12xy,24,xx，,10x,1, 解:,12x,2,22x40,x,x，23(函数的定义域是 。 xx,23且y,x,3xx，,202, 解:,xx,303,22f(x),4(设，则 。 xx,，46fxx(2)2，,2xt，,2xt,2解:设，则且原式 fxx(2)2，,22ftt()22,即, tt,，42，2fx(),亦即 xx,，424,x,4(1),0,xxfx(),x,0k4(若函数在处连续，则= e 。 ,kx,0,第 1 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 函数fx在x=0连续,lim则ffx,0
3、，x0,41,，,4，,4xxlimlim1limfxxxe,1， xxx,000,fk(0), ,4？,ke,xx,05(曲线在处的切线方程为 。 yx,1ye,曲线在点处的切线方程为yyyxx, yfx,xy,，0000x0,x0,解:， ye1,xye,01时，000x,0x,， yxyx,1(0)1ln(3)x，6. 函数的连续区间为 。 y,，,3,1,1,，x，1初等函数在其定义区间连续。 x，,30ln(3)x，,x,3x,1y,且 ,，,3,1,1,，,x，1x，,10,7(曲线在点(1,0)处的切线方程为 。 yx,lnyx,11,yx解:,ln1,，xxx,111 xyxy
4、x？,，01111dy,fxdx(ln2)8. 设函数yfx,(ln2)可导，则 。 x1dyydx,解:,fxxdx(ln2)2 fxdx(ln2)fxxdx(ln2)ln2，,2x11fxdx(ln2),fxxdx(ln2)2, ，x2x132yxxx,，239.(判断单调性、凹凸性)曲线在区间内是 单调递减且凹 。 2,3，32,解: yxxxxxy,，,4331,230当时，曲线下降，, yxy,20,4曲线是凹的22,f(f(x),10(设，则 。 41x，fxx()1,，222,fxxx()12,，,ffxfxxx()22141,，,，解:， ，1311( 0 。 xxdx(1co
5、s),1第 2 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 3解:是奇函数;是偶函数，由于偶+偶=偶，则是偶函数， 1cos,xx1cos和x3因为奇偶,奇，所以是奇函数，是对称区间 x，,1,11cos,x，,奇函数在对称区间上的积分为零 12212( 。 xxxdx(1),，,13111122222解: xxxdx(1),，,(1)xxxdx,，,xdxxxdx,，1,1111122是奇函数(奇偶,奇)，故; ，xxdx10，,xx1，,1111222232,而是偶函数，故 xdxxdxx2x,0,1033fx(ln3),13(设，则 。 Fxfx()(),dx,FxCln3，,x11
6、,解: ,？,ln3ln3ln3xdxxdxdx，xx1 fxdxfxdxFxC(ln3)ln3ln3ln3,，,x122,xfxdx(1),14(已知Fxfx()(),，则 。 FxC,，1，,211122222解: xfxdxfxxdxfxdxFxC(1)12111,，,222fxxdx(sin)cos,15(设Fx()fx()为的原函数，那么 。 FxCsin，,fuduFuC,，cossinxdxdx,Fx()fx()分析:为的原函数， ,，,fxxdxfxdxFxC(sin)cossinsinsin,，解: ，,sinx,sinxfx()16(设的一个原函数是, 则fx(), 。 ,
7、sinxfx()Fx()fx()Fx()fx(),解:的一个原函数为, sinxcosx,，0,xxcos2Fx(),17(，那么 。 Fxttdt()cos2,x,xx,解: ftdtfx,Fxttdtxx()cos2cos2，,0a0d,2t2,x,tedt18(_,xe_。 ，,xdx0xdd,2,t2t2,x,tedttedt解:,xe ，,0xdxdxx,1,sint,F(),19(设，则 e 。 Fxedt(),02第 3 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 ,x,sin,sinsin1tx2,FxedteFee,解: ，,，,02,0d2220(cos= 。 tdt,
8、cosx,xdx0xdd222coscos解:tdt,tdt, ,cosx,x0dxdx二(选择题 1( 下列函数中( B )的图像关于坐标原点对称。 xlnxA( B( C(xxsin D( axxcos规律:(1)1(奇偶函数定义: ; fxfxfxfxfxfx,;是奇函数，是偶函数，2243(2)(常见的偶函数: xxxxx,.,cos,常数111，,xx3523常见的奇函数: xxxxxxx,.,sin,ln1,ln,ln，11,，xxxxxx,常见的非奇非偶函数:; aeaex,ln(3)(奇偶函数运算性质: 奇?奇=奇;奇?偶=非;偶?偶=偶;奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶; y(4
9、)(奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于轴对称。 y解:A(非奇非偶; B(奇偶=奇(原点); C(奇奇=偶(轴); D(非奇非偶 2(下列函数中( B )不是奇函数。 xx,2sinxcosxA(; B(sin(1)x，; C(; D( ee,ln1xx，解:A(奇函数(定义); B(非奇非偶(定义);C(奇函数(奇偶);D(奇函数(定义) y3(下列函数中，其图像关于轴对称的是( A )。 1,xx2lncos(1)x,A( B( C( D( excossin(1)x,1，xy解:A(偶函数(轴); B(非奇非偶(定义);C(奇函数(常见);D(非奇非偶(定义) 4(下列极限正确的是(
10、B )。 3xx,11e,1A( B( lim,lim0,3x,313x，,0xxsinx1x,，,elim(1)lim1C. D( x,0xxxxxe,1xlim1,x,0解:A错。?，e,1,?; lim,xx,0x,0xxB正确。分子分母最高次幂前的系数之比; 11sinxsinx,0lim0C错。?，即是无穷小，即是有界变量，?; sin1x,x,x,xxx第 4 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 11x,x1，,eD错。第二个重要极限应为或，其类型为。 lim(1)lim(1)，,xe,x,x0x5(当x,1时，( D )为无穷小量。 x，11A( B(sin C( D
11、( cos(1)x，ln(2)x，2x,1x，10x，1110lim解:A( ,0; lim2x,1x,1x22x,111B(x,1，x，,10，,， 不存在; limsinx,1x，x，11x,1C(，; cos(1)cos01x，,x,1D(，。 ln(2)ln10x，,6. 下列等式中，成立的是( B )。 1,33xx,22xxedxde,A( B( edxde,2321C( D( dxdx,ln3 dxdx,3xx1,33xx,22xx,33xxedxde,解:A(错，正确的应为 B。 正确，即 ,2edxde,3edxde311C(错，正确的应为 D(错，正确的应为 dxdx,dx
12、dx3ln3,3x2x,f(x)7(设在点可微，且，则下列结论成立的是( C )。 xx,fx()0,00f(x)f(x)A( 是的极小值点 B( 是的极大值点 ; xx,xx,00f(x)f(x)C(是的驻点; D( 是的最大值点; xx,xx,00,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。 xx,fx()0,xx,000fxf()(3),fxx()ln,8(函数lim,，则 ( D )。 x,3x,311ln3A( 3 ; B( ; C( ; D( x3fxf()(3),11解一:lim, ffxx,3ln，xx,33x,3x,3x3x,310fxf(
13、)(3),lnln3x,1x0lim,lim解二: ,limx,3x,3x,3x,3x,313第 5 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 fx()9(设，则,( B )。 fxx()sin,limx,0x12A( 0 ; B( ; C( ; D( 不存在 fx，sinx 解一,:limlim1xx,00xxfx，sin0x, 解二:limlimsincos1,xx，xx,00xx,00,0xx3210(曲线在区间(1,3)内是( A )。 yxxx,，391A(下降且凹 B(上升且凹 C(下降且凸 D( 上升且凸 解: 22,yxxxxxx,，369323331,，,在任取一点13
14、,0,xyx带入可知，曲线下降 ,yx,66,，,在中任取一点13,0,xyx带入可知，曲线是凹的x11(曲线在(0,)，,内是( B )。 yex,A( 下降且凹; B(上升且凹; C(下降且凸; D(上升且凸 解: xxyexe1,，当时上升xy,00，曲线 xye,当时，曲线是凹的xy,0012(曲线在点M(1,2)处的法线方程为( B )。 yx,21yx,2(1)yx,2(1)yx,22(1)A.;B.;C(D.yx,1(2) 21规律:曲线在x=处的法线方程为 xyfx,yfxxx,，000,fx，011yfxx,2解:， fxx2,f,，11，xxx,1yx,2(1)故法线方程为
15、B(; 13(下列结论中正确的是( C )。 A(函数的驻点一定是极值点 B(函数的极值点一定是驻点 00C(函数一阶导数为的点一定是驻点 D(函数的极值点处导数必为 ,fx()fx()解:驻点定义:设在点可微，且，则是的驻点。驻点为可能的极值点。 xx,fx()0,xx,000第 6 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 14(设函数，则( A )。 df(x),fxx()cos,sinxsinxsinxsinxA(; B(; C(; D( dxdx,dxdx2xx2xxsinx解: dfxdxxd()coscossi,xxxdx,n,dx，2x15(当函数不恒为0，为常数时，下列
16、等式不成立的是( B )。 fx()ab,db,f(x)dx,f(x)A. B. (f(x)dx),f(x),adxb,C. D. df(x),f(b),f(a)f(x)dx,f(x)，c,a解: ,()()fxdxfx,A. 成立，为不定积分的性质; ,bB. 不成立，常数，而常数的导数为零; fxdx(),a,fxdxfxc()(),，C. 成立，为不定积分的性质; ,bD. 成立，为牛顿,莱布尼兹公式。 dfxfbfa()()(),a1116(设函数f(x)Fx()fdx(),的原函数为，则( A )。 2,xx111FC()，fC()，A( ,，FC()FxC()，; B(; C(;
17、D( xxx11fuduFuC,，fx()Fx()解:函数的原函数为，,dxd ,，2,xx1111111,fdx(), ,fdxfd(),，FC,22,xxxxxxx,17(下列无穷积分为收敛的是( B )。 ，,0，,01,x2x1edxdxA. B. C. D. edxsinxdx,1,0,2x，,0,1,发散p,0,收敛1,pxdxedx,规律:?(0), ? ,a,xp,0,发散,1,收敛,，,，,，,p,0,发散npx,xedxn,N,?、发散 ? sinxdxcosxdx,0aap,0,收敛，,1p,20p,10,解:A.;B.，收敛; C.，发散; D. ，发散 1sinxdx
18、,0218(下列无穷积分为收敛的是( C )。 第 7 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 x，,，,，,，,122,2A. B.dx C. D. edxxdxxdx,1111x解:A. 发散;B. 发散;C. 收敛;D. 发散; 三(计算题 12,x2x41x,4x,limlim1、求极限 2、求极限 ,x,x,41x，43x，,414122xx,，,44333xx，,解:? 解:? ,，1,，1414141xxx，434343xxx，,212x，,32x3 lim,-lim,1x,x,43x，241x，3,2?原题, ?原题, eexex,1xx,03、求极限解:?，,，, e
19、,1limln1，xxx，,0xxxln(1)，,xxxxex1,，e1ex,1e,1lim?原题,=, limlimlim,0,0,0xx,0xx222xxx,2,x，sin3xsin3x3x,2xx,04、求极限lim解:?，,，, 141,xx,0,141x3x3,lim?原题, x,0,22x2ln(13),x22sin2x2xx,0、求极限5解:?，,，, ,3xlimln(13),xx,0xxsin223,3x,?原题,lim, x,02xx,2sin2xe,16、求极限 lim,x0tan4xsin2xsin2x2x4xx,0tan4x解:?，,，, e,12x1lim?原题,
20、x,04x23dy7、设函数，求 yxx,ln(2)13323yxxxxln(2)ln2,，,，,，,3ln(2)2xxxx解: ，2,x第 8 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 3x2 ,3ln(2)xx2,x3，x2 ,3ln(2)xxdx,dy,2,x，cosx8、设函数，求。 dyyxex,2，3xcos2解: yxex,2131,coscosxxxcosxxcoscos222,，,exex3yxex2, ,，,exexxcos3，,1xxcoscos2 ,exxexsin31,xxcoscos2,exxexdx,sin3dy ,2x,129、设函数，求dy。 yxee,
21、，cos(ln2)2,x,12,解:yxeecosln2 ,，2,x,12,cosln2xee ,，2,x,12, sinln2ln210xxex,，,，21x,1,xxex,，,sinln222 ，x22sinlnxx,1,，2xe x2sinln2x,x,1 ,，dy2xedx,x,3xedy10、设函数y,，求。 2,x,33xx,33xx33xx,3x,exex22,，exxe321,32exe,，,，e,解:y, ,2222,x22,xx2,x，,33xx32ex,，e，dy,dx 22,x，sin3xy,dy11、设函数，求。 cos1x，第 9 页 共 19 页 2332高等数学
22、期末复习指导 ,sin31cossin31cosxxxx，,，sin3x,解:, y,21cos，x,1cos，x，,cos331cossin3sinxxxxx，,， ,21cos，x，3cos31cossin3sinxxxx，, 21cos，x，3cos31cossin3sinxxxx，dy,dx 21cos，x，x2xdxsin12、计算不定积分 ,222x 2 0 解:x+ + xxxx,4cossin,2cossin8 2222xxxx22,，2cos8sin16cosxxC xdxsin, ,2222,3xxedx13、计算不定积分 解: 1 0 x,， 11,3x,3x,3x,ee
23、 e9311,3x,3x,3xxedx,xe,，eC, ,39四、应用题 1、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。 h解:设圆柱体底半径为，高为， r42,h则体积 Vrh,42,r材料最省即表面积最小 48222S,，,，r表面积rr2,rrh，2, 2rr,843,S2rS,，令,0，得唯一驻点 ,r2r,4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即材料最省。 ,2、 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半
24、径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 第 10 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 h解:设圆柱体底半径为，高为， rr162h则体积, hVrh,162,r64022,，,，,且造价函数 frrhr1020210r64043,令，得唯一驻点 fr200,r22r,4433所以当底半径为米，此时高为米时造价最低。 2,3、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。 解:要使建造费用最省，就是在体积不变的情况下，使圆柱体的表面积最小。 h设圆柱体底半径为，高为， r1082,则体积h Vrh,1082,r10821
25、6222S,，,，r则圆柱体仓库的表面积为, rr2,rrh，22rr,216108433,SS2r,，令,0，得唯一驻点, ,3r2r,4433所以当底半径为米，此时高为米时表面积最小即建造费用最省。 ,33,4、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形(如图)， 为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 y2x解:设长方形的底边长为，高为， 2222,yx64y则 8 8,，xy2Sxyxx,2264面积 xx2,x2,Sx,2640令，得唯一驻点 x,42,264,x,所以当底边长为米，此时高为米时面积最大。 82425、在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积
26、最大， 该长方形的底长和高各为多少。 2x2y解:设长方形的底边长为，高为， 2222,yx64则 8,，xy第 11 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 2Sxyxx,4464面积 2,x2,令Sx,4640，得唯一驻点 x,42,264,x,米，此时高为米时面积最大。 所以当底边长为8282第二部分 高等数学基础历年试题汇编 一、单项选择题(每小题4分，本题共20分) ,xxee, 1.函数的图形关于(A)对称( y,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x2.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B
27、) xx1x (C) ln(x，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 3.设f(x)在可导，则,(C)( x0h,02h, (A) (B) (C) (D) f(x)2f(x),f(x),2f(x)00001f(x)dx,F(x)，cf(lnx)dx, 4.若，则(B)( ,x11F(lnx)，cF()，c (A) F(lnx)F(lnx)，c (B) (C) (D) xx5.下列积分计算正确的是(D)( 1001,x (A) (B) (C) (D) xsinxdx,0edx,1sin2xdx,xcosxdx,0,11,xx22，y,6.函数的图形关于(B)对称(
28、2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x7.在下列指定的变化过程中，(A)是无穷小量( 11xsin(x,0)xsin(x,) (A) (B) xxxlnx(x,0) (C) (D) e(x,)8.下列等式中正确的是(B)( dxdx1xxd(x),d(),lnxdxd(lnx), (A) (B) (C) (D) d(3),3dxxxx第 12 页 共 19 页 2332高等数学期末复习指导 1f(x)dx,F(x)，c 9.若，则f(x)dx,(C)( ,x(A) (B) (C) (D) F(x)F(x)，c2F(x)，c2F(x)10.下列无穷限积分收敛的是(D)( ，,，,，,，,111xdxdx (A) (B) (C) dx (D) edx2,1110xxx,xxee,11.函数的图形关于(A)对称( y,2yy,x (A) 坐标原点 (B) 轴 (C) 轴 (D) x12.在下列指定的变化过程中，(C)是无穷小量( 11xsin(x,)sin(x,0) (A) (B) xx1x (C) ln(x，1)(x,0) (D) e(x,)f(x2h)f(x),00lim 13.设f(x)在可导，则,(C)( x0h,0
