1、高中数学联赛平面几何常用定理1.2.3.4.5.6.7.8.9.101112131415（高中）平面几何常用基本定理勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平 方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍. （2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. 射影定理（欧几里得定理）中线定理（巴布斯定理）设厶ABC的边BC的中点为P,则有AB2 AC2（AP2 BP2）；中线长：2 2 2V2b +2c -a ma2垂线定理:AB_CD：= AC2 -AD2 二BC2 - BD2 .、, 2 be咼线
2、长： 低=* p（p _a）（p -b）（p -c） = sin A=csin B =bsinC .a a角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成 比例.如厶ABC中，AD平分/ BAC，贝U BD二竺；（外角平分线定理）.DC _AC角平分线长：ta = Jbcp（ p-a） （其中p为周长一半）.b +c b +c 2张角定理. sin ZBAC _ sin ./BAD sin ZDAC AD 一 AC AB斯特瓦尔特（Stewart）定理：设已知 ABC及其底边上B、C两点间的一点 D，则有AB2 DC+AC2 BD-AD2 BC= BC DC BD.圆
3、周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半. （圆外角如何转化？）弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角.圆幕定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD，自对角 线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边.点到圆的幕：设P为。O所在平面上任意一点，PO=d，O O的半径为r，则d2- r2就是点P对于。O的幕.过P任作一直线与。O交于点A、B,则PAPB= |d2- r2|.“到 两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线， 如果此二圆相交，则该轨迹 是此二圆的公共弦所在直线
4、”这个结论.这条直线称为两圆的“根轴” .三个圆两两的 根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” .三个圆的根心对 于三个圆等幕.当三个圆两两相交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点.托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC BD=AB CD+AD BC，（逆命题成立）.（广义托勒密定理）AB CD+AD B CAC BD .蝴蝶定理：AB是。O的弦，M是其中点，弦 CD、EF经过点M， CF、DE交AB 于 P、Q,求证：MP=QM.费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于 到另一顶点的距离
5、；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到 另一点的距离.定理2三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一点，它 对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点.拿破仑三角形：在任意厶 ABC的外侧，分别作等边 ABD、 BCE、A CAF，则 AE、AB、CD三线共点，并且 AE= BF = CD，这个命题称为拿破仑定理. 以厶ABC的三条边分别向外作等边 ABD、 BCE、A CAF，它们的外接圆。C1、O A1 B1的圆心构成的外拿破仑的三角形C1、O A1、OB1三圆共点，外拿破仑 三
6、角形是一个等边三角形； ABC的三条边分别向厶ABC的内侧作等边 ABD、ABCE、 CAF，它们的外接圆。C2A2B2的圆心构成的内拿破仑三角形，。 C2 O A2 O B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三 角形还具有相同的中心.九点圆(Nine point round或欧拉圆或费尔巴赫圆)：三角形中，三边中心、从各顶 点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 九点圆具有许多有趣的性质，例如：(1)三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 ；(2)九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；(3)三角形的九点圆与三角形
7、的内切圆，三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.欧拉(Euler)线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧 拉线)上.欧拉(Euler)公式：设三角形的外接圆半径为 R,内切圆半径为r，外心与内心的 距离为 d，贝U d2=R2 2Rr.锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成 2： 1的两部分；1617181920212223242526272829G(Xa Xb Xc3yA h yc3重心性质：(1)设G ABC的重心，连结AG并延长交BC于D,则D为BC的中点，贝U AG:GD =2:1 ；(2)设G
8、 ABC的重心，则S ABG - S BCG = S ACG S ABC3；(3)设G ABC的重心，过 G作DE / BC交AB于D，交AC于E,过G作 PF / AC交AB于P，交BC于F，过G作HK / AB交AC于K，交BC于H，贝UDE =FP =KH=2;DE FP KH =2BC CA AB 3 BC CA AB(4)设G ABC的重心，贝U1BC2 3GA2 =CA2 3GB2 =AB2 3GC2 ；GA2 GB2 GC2(AB2 BC2 CA2)23 ；2 2 2 2 2 2 2 PA PB PC 二GA GB GC 3PG (P ABC 内任意一点)；30313233343
9、5363738394041424344452 2 2到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即 GA GB GC最小;三角形内到三边距离之积最大的点是重心;G ABC的重心).垂 心反之亦然(即满足上述条件之一，则a b cXa Xb Xccos A cos B cos Ca b c + + cos A cos B cos C形 的 三a b讨a ycos A cos Ba b c条高线 的交点；c yccos C )-+-+-cos A cos B cos C垂心性质：(1)三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2倍；(2)垂心H关于 ABC的三边的对称点，均在 ABC的外接
10、圆上；(3) ABC的垂心为H，则 ABC， ABH， BCH， ACH的外接圆是等圆；4) 设 0 ， H 分别为 ABC 的夕卜心和垂心，则ZBAO EHAC,/CBO ZABHBCO ZHCA内心：三角形的三条角分线的交点一内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等;严 bxB ex。ayA byB cy-a +b +c内心性质：(1)设I ABC的内心，贝U I到厶ABC三边的距离相等，反之亦然；( 2 ) 设 I 为 ABC 的 内 心 ， 则1 1 1.BIC =90 A,. AIC =90 B,. AIB =90 C2 2 2 -7(3)三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的
11、距离与到内心的距离相 等；反之，若 A平分线交厶ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB， 则I ABC的内心；(4)设I ABC的内心，BC =a，AC =b，Ac， A平分线交BC于。，交厶ABCAI _AK _JK _b c外接圆于点K，则&=帀=齐=2 ；(5)设I ABC的内心，BcfAC =b,AB = c, I在BCACAB上的射影分别为DEF，内切圆半径为r1令 P(a b c)贝y S.abc 二 prAE = AF 二 p -a; BD 二 BF = p -b; CE = CD = p -c . abcr = p AI BI CI外心：三角形的三条中垂线的交点
12、一一外接圆圆心,即外心到三角形各顶点距离相等;sin 2Axa sin 2Bxb sin 2CxC sin 2AyA sin 2ByB sin 2CyCO( sin2A sin2B sin2C ， sin 2A sin 2B sin 2C )46 外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等；47. (2)设 0 为厶 ABC 的外心，则 BOC =2. A 或 BOC =360 -2 A ；R =叱48. (3) 4 ： ；(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.49. 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点一一旁切圆圆心；设 ABC的三边BC二a, AC二b,AB=
13、c,令p二丄(a b c)，分别与BC, AC, AB外侧相切的旁切圆圆心记为2Ia,Ib,Ic，其半径分别记为rA,rB,rc.1 1旁心性质：(1) . BIaC=90 A,. BIbC =/BIcC a,(对于顶角B, C也有类似的2 2式子)；1(2) I aIbIc ( A C)；2(3)设Al a的连线交 ABC的外接圆于D，则DIa二DB二DC (对于BIb,CIc有同样的 结论)；(4) ABC是厶IaIbIc的垂足三角形，且 IaIbIc的外接圆半径R等于 ABC的直径 为2R.50.三 角 形 面 积 公 式 ：11 a 2 b c 2 f 2 + 2S abc aha a
14、bsinC 2R2sin Asin BsinC 二 a b 二2 2 4R 4( A+ccB+c C)o o t t t= pr= p(p-a)( p-b)(p-c)，其中ha表示BC边上的咼，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p(a亠b亠c).251. 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系:= 4RcosAcosBsi nC;2 2 2r =4Rsin-sinBsinC;ra =4RsinAcosBcosC, rb =4Rcos-sin B cosC , rc2 22 2 2 2 2 2 2rar _Ctan tan -2 2rtA,r tan tan -2 2r 丄.丄.丄=1 ta
15、n tan 旦鳥 rb rc r2 252. 梅涅劳斯(Menelaus)定理：设 ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为 P、Q、R则有因凶塑=1.(逆定理也成PC QA RB立)53. 梅涅劳斯定理的应用定理1:设厶ABC的/ A的外角平分线交边CA于Q，Z C的平分线交边AB于R，Z B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线.54. 梅涅劳斯定理的应用定理 2:过任意 ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线.55. 塞瓦（Ceva）定理：设X、Y、Z分别为 ABC的边
16、BC、CA、AB上的一点，贝U AX、AZ bx CYby、cz所在直线交于一点的充要条件是 zb）XCYA=i.56. 塞瓦定理的应用定理：设平行于 ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M .57. 塞瓦定理的逆定理：（略）58. 塞瓦定理的逆定理的应用定理1:三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点.59. 塞瓦定理的逆定理的应用定理 2:设厶ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点.60. 西摩松（Simson）定理：从 ABC的外接圆上任意
17、一点 P向三边BC、CA、AB或 其延长线作垂线，设其垂足分别是 D、E、R,则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松 线 Sims on line）.61. 西摩松定理的逆定理：（略）62. 关于西摩松线的定理1： ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上.63. 关于西摩松线的定理2 （安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点.64. 史坦纳定理：设厶ABC的垂心为H ,其外接圆的任意点P,这时关于 ABC的点P的西摩松线通过线段 PH的中心.65. 史坦纳定理的应用定理： ABC的外
18、接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和 ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上.这条直线被叫做点 P关于 ABC的镜象线.66. 牛顿定理1:四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线.这条直线叫做这个四边形的牛顿线.67. 牛顿定理2:圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线.68. 笛沙格定理1:平面上有两个三角形 ABC、 DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.69. 笛沙格定理2:相异平面上有两个三角形 ABC、 DEF ,设它们的对应顶点（A和D
19、、B和E、C和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线.70. 波朗杰、腾下定理：设厶ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于 ABC交于一点的充要条件是：弧 AP+弧BQ+弧CR=0（mod2二）.71. 波朗杰、腾下定理推论1:设P、Q、R ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于 ABC的西摩松线交于一点，则 A、B、C三点关于厶PQR的的西摩松线交于与前 相同的一点.72. 波朗杰、腾下定理推论2:在推论1中，三条西摩松线的交点是 A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点.73. 波朗杰、腾下
20、定理推论 3:考查 ABC的外接圆上的一点P的关于 ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点 P、Q、R的关于 ABC747576777879808182838485868788的西摩松线交于一点波朗杰、腾下定理推论4:从厶ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分 别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,贝U D、E、F、L、M、 N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于 ABC的西摩松线交于一点.卡诺定理：通过 ABC的外接圆的一点P,引与 ABC的三边BC、CA、AB分别 成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、
21、E、F，则D、E、F三点 共线奥倍尔定理：通过 ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与 ABC 的 外接圆的交点分别是 L、M、N,在厶ABC的外接圆上取一点 P，则PL、PM、PN与厶ABC 的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是 D、E、F,则D、E、F三点共线.清宫定理：设P、Q ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边 BC、CA、AB的对称点分别是 U、V、W,这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或 其延长线的交点分别是 D、E、F,则D、E、F三点共线.他拿定理：设P、Q为关于 ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、 AB的对称点分别
22、是U、V、W,这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长 线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线.（反点：P、Q分别为圆0的半径 0C和其延长线的两点，如果 OC2=OQOP则称P、Q两点关于圆0互为反点）朗古来定理：在同一圆周上有 Ai、Bi、Ci、Di四点，以其中任三点作三角形，在 圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从 P向这4条西摩松线引 垂线，则四个垂足在同一条直线上从三角形各边的中点， 向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线， 这些垂线交 于该三角形的九点圆的圆心一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的 切线所引的
23、垂线都交于一点康托尔定理1： 一个圆周上有n个点，从其中任意n 2个点的重心向余下两点的 连线所引的垂线共点康托尔定理 2：一个圆周上有 A、 B、 C、 D 四点及 M、 N 两点，则 M 和 N 点关于 四个三角形 BCD、 CDA、 DAB、 ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同 一直线上这条直线叫做 M、 N 两点关于四边形 ABCD 的康托尔线康托尔定理 3：一个圆周上有 A、 B、 C、 D 四点及 M、 N、 L 三点，则 M、 N 两点 的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 L、 N 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线、 M、 L 两点的关于四边形 ABCD 的康托尔线
24、交于一点这个点叫做 M、 N、 L 三点关于四边形 ABCD 的康托尔点康托尔定理 4：一个圆周上有 A、 B、 C、 D、 E 五点及 M、 N、 L 三点，则 M、 N、 L 三点关于四边形 BCDE、 CDEA、 DEAB、 EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上 这 条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线.费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切 莫利定理：将三角形的三个内角三等分， 靠近某边的两条三分角线相得到一个交点， 则这样的三个交点可以构成一个正三角形这个三角形常被称作莫利正三角形布利安松定理：连结外切于圆的六边形 ABCDEF 相对的顶点 A
25、 和 D、 B 和 E、 C 和F，则这三线共点.89. 帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形 ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、 CD和FA的（或延长线的）交点共线.90. 阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m： n （值不为 1）的点P,位于将线段AB分成m： n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周 上.这个圆称为阿波罗尼斯圆.91. 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做 圆内接四边形的九点圆.92. 密格尔（Miquel）
26、点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于 A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是厶 ABF、A AED、 BCE、A DCF，则这四个三角形的 外接圆共点，这个点称为密格尔点.93. 葛尔刚（Gergonne）点： ABC的内切圆分别切边 AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点.94. 欧拉关于垂足三角形的面积公式： 0是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，2 2过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 卫丑d_I .2S 应BC 4 R斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知 ABC及其底边上B、C两点间
27、的一点 D，则有ABA2- DC+ACA2 BD-ADA2- BC = BC- DC- BD。证明：在图2 6中，作AH丄BC于H。为了明确起见，设 H和C在点D的同 侧，那么由广勾股定理有ACA2=ADA2 + DCA2-2DC- DH， ( 1)ABA2=ADA2+BDA2+2BD DH。 (2)用BD乘式两边得ACA2- BD=ADA2 BD+DCA2 BD-2DC DH- BD， ( 1)用DC乘(2)式两边得ABA2- DC=ADA2 DC + BDA2- DC + 2BD- DH- DC。( 2)由(1) +( 2)得到ACA2- BD+ABA2 DC=ADA2(BD + DC)+
28、DCA2 BD + BDA2- DC=ADA2- BC+BD DC- BC。 ABA2- DC + ACA2- BD-ADA2- BC=BC DC BD。或者根据余弦定理得ABA2=PBA2+PAA2-2PB PA cos 角 APCACA2=PAA2+PCA2-2PA PC- cos 角 APC两边同时除以 PB-PA- PC得ACA2- PB+ABA2 PC=(PBA2+PAA2)PC+(PAA2+PAA2)PB化简即可(注：图中 2-7A点为P点，BDC点依次为ABC)托勒密定理一些圆定理.doc定理图定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条
29、对 角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.定理的提出一般几何教科书中的 托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。)在任意四边形 ABCD中，作 ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为 ABE ACD所以 BE/CD=AB/AC,即 BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE，Z
30、 ACB= / ADE 所以 ABC AED相似.BC/ED=AC/AD 即 ED-AC=BC AD (2) (1)+(2),得AC(BE+ED)=AB CD+AD BC又因为BE+EIBD(仅在四边形 ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即 托勒密定理”)所以命题得证 复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点 A、B、C、D的复数，贝U AB、CD、AD、BC、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到 复数恒等式： (a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模， 运用三角不等式得。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与 A、B、C、D四点共圆等价。 四点不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。二、 设ABCD是圆内接四边形。 在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在 AB 上，/
