1、概率论与数理统计习题及答案第一章解析概率论与数理统计习题及答案第一章1 .写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1） 掷一颗骰子，记录出现的点数 A二出现奇数点；（2） 将一颗骰子掷两次，记录出现点数 A =两次点数之和为10, B二第一次的点数，比第二次的点数大 2（3） 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为 123,4,5 ;从中同时取出3只球，观察其结果， A=球的最小号码为1;（4） 将a,b两个球，随机地放入到甲、 乙、丙三个盒子中去， 观察放球情况，A=甲盒中至少有一球；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =通过汽车不足 5台，B二通过的汽车不少于
2、 3台。解 （1） S =0,62,03, 56其中 e = 出现 i 点i =1211 丨,6，A =e1 ,e3,65。S二(1,1),(1,2),(1,3),(：1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2, 4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4, 2),(4,3),(4, 4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6, 2),(6,3),(6, 4),(6,5),(6,6) ；A= (4,6),(5,5),(6,
3、 4);B二(3,1),(4, 2),(5,3),(6, 4)。(3)S =(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,3,4), (1,4,5), (1,2,4), (1,2,5)(2,3,5), (2,4,5), (1,3,5)A 二(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5)(4) S=(ab,-,-)，(-, ab,-)，(-，-,ab), (a,b,-), (a,-,b), (b, a,-),(b, -a), (-a, b,), (-,b,a)，其中-表示空盒；A 二(ab,-,-)，(a,b,-)，(a,
4、-, b), (b,a,-)，(b,-, a)。(5)S 二0,1,2, |l, A 二0,1,2,3,4, B 二3,4,川。2 设A, B,C是随机试验E的三个事件，试用 代B,C表示下列事件：(1 )仅A发生；(2)A, B,C中至少有两个发生；(3)A, B,C中不多于两个发生；(4)A, B,C中恰有两个发生；(5)A, B,C中至多有一个发生。解(1) ABC(2)abuacubc或 abc IJabCIJaBc UAbc ；(3)AUBIJC或 abC JaBc IJAbc JaBC UAbCU ABcU ABC ；(4)abCUaBcUAbc ；(5)abijacijbc或 A
5、BCUABCUAbCUABc ；3 一个工人生产了三件产品，以 A (i =1,2,3)表示第i件产品是正品，试用A表示下列事件：(1)没有一件产品是次品； (2)至少有一件产品是次品；(3) 恰有一件产品是次品；(4)至少有两件产品不是次品。解 (1) A1 A2 A3 ； ( 2) Al U A2 U A3 ； ( 3) Aq A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 ；(4)A1 A2 UA As UA2A3。4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。5.一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取 5只，求(1)5只全是好的的概率；(2)5只中有两只
6、坏的的概率。解 (1)设A二 5只全是好的，则C5P(A) 乎 U 0.662 ；C40设B= 5只中有两只坏的，则C2C 3P(B) = 0.0354.C406袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取 3个球，求(1)3个球的最小号码为 5的概率；(2)3个球的最大号码为 5的概率.解 (1)设A= 最小号码为5则6个人的生日都集中在一个星&设一个人的生日在星期几是等可能的，求 期中的某两天，但不是都在同一天的概率 解 设A=生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天 ，则P(A)二。7(；6-2)=0.01107. ?为什么9 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰
7、好排成英文单 词SCIENCE的概率是多少？解1设A=恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：2字母C在7个位置中占两个位置， 共有C7种占法，字母E在余下的5个位 置中占两个位置，共有C2种占法，字母I, N,C剩下的3个位置上全排列的方法2 2共3!种，故基本事件总数为 C7 C5 31260，而A中的基本事件只有一个，解2七个字母中有两个 E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异 元素的全排列。一般地，设有 n个元素，其中第一种元素有 山个，第二种元素有n2个，第k种元素有nk个(ni 5k二n)，将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不
8、同的排列总数为n!ni !n?!入！对于本题有2!2!10从0,1,2,|,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事 件的概率：A二，三个数字中不含 0和5 A2二，三个数字中不含 0或5 A3二三个数字中含0但不含5每堆各成一双共有n!种情况，故2n n! P(A)二(2n)!12 设事件 A与B互不相容， P(A)=0.4, P(B)=0.3，求P(AB)与P(AU B)解 P(入1- P(以 B尸 1 P( A) P( B) 0. 3 因为代B不相容，所以A二B，于是p(AUb)二p(A)=0.613 若 P(AB) =P(AB)且 P(A) =P，求 P(B).解 P( A
9、_E 仁 P(以 B 1 P( A) P( B) P( AB) 由 P(AE)二 P(AB)得P(B) =1 -P(A) =1 - p14设事件A, B及AUB的概率分别为p,q,r，求P(AB)及P(AU B)解 P(AB) = P(A) P(B) _P(AUB) = p q _rP(AU B) = P(A) P(B) _ P(aB) = P(A) 1 _ P(B) _ P(A) P(AB) = 1_q p q_r=1p_r.15设P(A) P(B) =0.7，且A, B仅发生一个的概率为 0.5，求代B都发 生的概率。解1由题意有 _ _ _ _0.5 =P(aB Ab) =P(aB) P
10、(Ab)= P(A) _P(AB) P(B) _ P(AB)= 0.7 -2P(AB)，所以P(AB) =0.1.解2 A, B仅发生一个可表示为 AU B - AB，故0.5 二 P(aU B) -P(AB)二 P(A) P(B) -2P(AB),所以P(AB) =0.1.16设 P(A) =0.7, R A-B)毛.3 PB# 0.2 ，求 P(AB)与 P(AB).解 0. P A - B P (A ) P (A B=) 0.7 P ,B所以P(AB) =0.4 ,故p(AE) =0.6 ；0.2 二 P(B) -P(AB)二 P(B) -0.4.所以P(B) =0.6p(AB)=1 -
11、p(aU b) =1 -p(a)-p(b)p(ab)=0.117设 AB C，试证明 P(A) P(B) P(C)乞1证因为AB C，所以P(C) _P(AB) =P(A) P(B) _ P(AU B) _ P(A) P(B) _1故P(A) P(B) -P(C)叮. 证毕.18.对任意三事件 A,B,C，试证P(AB) P(AC) -P(BC) _ P(A).证P(AB) P(AC) -P(BC)乞 P(AB) P(AC) -P(ABC)二 P(ABUAC)二 PA(BUC)乞 P(A). 证毕.119. 设 A,B,C是三个事件，且 P(A)=P(B) =P(C) , P(AB)=P(BC
12、) =0,41P(AC) ，求A,B,C至少有一个发生的概率。8解 P(川 B C= P A P B PC P AB P AC (P B)C (P ABC 因为 OeP(ABC)乞 P( AE ,0所以 P(ABC) = 0，于是p(aUbUc)=?-54 8 820 .随机地向半圆0 ： y ：、2ax -x2 ( a为正常数)内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比， 求原点与该点的连线与 x轴的夹角小于设A二原点与该点连线与 x轴夹角小于： /4 1 2 1 2 a a 二 4 21 2 a221.把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率 解1设A =三段可构成三
13、角形，又三段的长分别为 x, y, a :x y ： a，不等式构成平面域 S .a aA 发生0 ： x , 0 ： y ,不等式确定S的子域A，所以A的面积 1P(A)=丽面积=42 2解 2 设三段长分别为 x, y, z，贝U 0 ： x ”： a, 0 ”： y : a, 0 ”： z ： a 且不等式确定S的子域A，所以A的面积 1P（A）=丽面积G22 随机地取两个正数 x和y，这两个数中的每一个都不超过 1,试求x与y之和不超过1，积不小于0.09的概率.解 O_x_1,0y_ ,1不等式确定平面域 S.yA00.10.9 1*yA 二 X y _ 1, xy _ 0.09 贝
14、U A发生的充要条件为0_x y_1, 1_xy_ 0.09不等式确定了 S的子域A，故P(A)二A的面积S的面积0.90.1 (1 一0.9x - )dxx= 0.4-0.181 n3 =0.223 （蒲丰投针问题）在平面上画出等距离 a（a 0）的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长 丨（1 : a）的针，求针与任一平行线相交的概率 .解 设A二针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则0 x ： a, 0 八，不等式确定了平面上2的一个区域S.A发生x 一 L sin ,不等式确定S的子域A21 二 I 21故 P（A） si nd _a J 0 2 a 兀2
