1、89章动量守恒定律和能量守恒定律作业解第三章动量守恒定律和能量守恒定律3 -8Fx 304t(式中Fx 的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2 内此力的冲量；(2) 若冲量I 300 Ns,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1 10 ms-1 ,方向与Fx 相同,在t6.86s时,此物体的速度v2 分析本题可由冲量的定义式,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2解(1) 由分析知(2) 由I 300 30t 2t2 ,解此方程可得t 686 s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有I m v2- m v1由(2)可知t
2、 686 s 时I 300 Ns ,将I、m 及v1代入可得3 -12一作斜抛运动的物体,在最高点炸裂为质量相等的两块,最高点距离地面为19.6 m爆炸1.00 s 后,第一块落到爆炸点正下方的地面上,此处距抛出点的水平距离为1.00102 m问第二块落在距抛出点多远的地面上(设空气的阻力不计)分析根据抛体运动规律,物体在最高点处的位置坐标和速度是易求的因此,若能求出第二块碎片抛出的速度,按抛体运动的规律就可求得落地的位置为此,分析物体在最高点处爆炸的过程,由于爆炸力属内力,且远大于重力,因此,重力的冲量可忽略,物体爆炸过程中应满足动量守恒由于炸裂后第一块碎片抛出的速度可由落体运动求出,由动量
3、守恒定律可得炸裂后第二块碎片抛出的速度,进一步求出落地位置解取如图示坐标,根据抛体运动的规律,爆炸前,物体在最高点A 的速度的水平分量为 (1)物体爆炸后,第一块碎片竖直落下的运动方程为当该碎片落地时,有y1 0,t t1 ,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度 (2)又根据动量守恒定律,在最高点处有 (3) (4)联立解式(1)、(2)、(3) 和(4),可得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为爆炸后,第二块碎片作斜抛运动,其运动方程为 (5) (6)落地时,y2 0,由式(5)、(6)可解得第二块碎片落地点的水平位置x2 500 m3 -18如图所示,一绳索跨过无摩擦的滑轮,系在质量为1
4、.00 kg 的物体上,起初物体静止在无摩擦的水平平面上若用5.00 N 的恒力作用在绳索的另一端,使物体向右作加速运动,当系在物体上的绳索从与水平面成30角变为37角时,力对物体所作的功为多少？ 已知滑轮与水平面之间的距离d 1.00 m分析该题中虽施以“恒力”,但是,作用在物体上的力的方向在不断变化需按功的矢量定义式来求解解取图示坐标,绳索拉力对物体所作的功为3 -20一人从10.0 m 深的井中提水,起始桶中装有10.0 kg 的水,由于水桶漏水,每升高1.00 m 要漏去0.20 kg 的水水桶被匀速地从井中提到井口,求所作的功分析由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡
5、水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可题3 -20 图求出解水桶在匀速上提过程中,a 0,拉力与水桶重力平衡,有F P 0在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为P mg -gy其中02 kg/m,人对水桶的拉力的功为3 -23如图(a)所示,A 和B 两块板用一轻弹簧连接起来,它们的质量分别为m1 和m2 问在A 板上需加多大的压力,方可在力停止作用后,恰能使A 在跳起来时B 稍被提起(设弹簧的劲度系数为k)分析运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一因为它与过程的细节无关,也常常
6、与特定力的细节无关“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件该题可用机械能守恒定律来解决选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出解选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点作各状态下物体的受力图对A 板而言,当施以外力F
7、时,根据受力平衡有F1 P1 F (1)当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移因为F1 ky1 ,F2 ky2 及P1 m1g,上式可写为F1 -F2 2P1 (2)由式(1)、(2)可得F P1 F2 (3)当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F2 P2 ,且F2 F2 由式(3)可得F P1 P2 (m1 m2 )g应注意,势能的零点位置是可以任意选取的为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点3 -25用铁锤把钉子敲入墙面木板设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比若第一次敲击,
8、能把钉子钉入木板1.00 10 -2 m第二次敲击时,保持第一次敲击钉子的速度,那么第二次能把钉子钉入多深？分析由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解解因阻力与深度成正比,则有Fkx(k 为阻力系数)现令x01.00 10 -2 m,第二次钉入的深度为x,由于钉子两次所作功相等,可得x0.41 10 -2 m3 -27如图(a)所示,天文观测台有一半径为R 的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最高
9、点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计求此冰块离开屋面的位置以及在该位置的速度分析取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功；而重力P又是保守内力,所以,系统的机械能守恒但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程求解上述两方程即可得出结果解由系统的机械能守恒,有 (1)根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 (2)冰块脱离球面时,支持力FN 0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置冰块此时的速率为v 的方向与重力P 方向的夹角为90- 41.
10、83 -28 3 -29如图所示,质量为m、速度为v 的钢球,射向质量为m的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k 的弹簧,此靶最初处于静止状态,但可在水平面上作无摩擦滑动求子弹射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离分析这也是一种碰撞问题碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解
11、应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题解设弹簧的最大压缩量为x0 小球与靶共同运动的速度为v1 由动量守恒定律,有 (1)又由机械能守恒定律,有 (2)由式(1)、(2)可得3 -30质量为m 的弹丸A,穿过如图所示的摆锤B 后,速率由v 减少到v /2已知摆锤的质量为m,摆线长度为l,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸速度v的最小值应为多少？分析该题可分两个过程分析首先是弹丸穿越摆锤的过程就弹丸与摆锤所组成的系统而言,由于穿越过程的时间很短,重力和的张力在水平方向的冲量远小于冲击力的冲量,因此,可认为系统在水平方向不受外力的冲量作用,系统在该方向上满足动量守恒摆锤在碰撞
12、中获得了一定的速度,因而具有一定的动能,为使摆锤能在垂直平面内作圆周运动,必须使摆锤在最高点处有确定的速率,该速率可由其本身的重力提供圆周运动所需的向心力来确定；与此同时,摆锤在作圆周运动过程中,摆锤与地球组成的系统满足机械能守恒定律,根据两守恒定律即可解出结果解由水平方向的动量守恒定律,有 (1)为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力F0,则 (2)式中vh 为摆锤在圆周最高点的运动速率又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有 (3)解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为3 -32质量为7.2 10 -23 kg,速率为6.0 107 ms-
13、1 的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒子B 发生二维完全弹性碰撞,碰撞后粒子A 的速率为5.0 107 ms-1求：(1) 粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏转角；(2) 粒子A 的偏转角分析这是粒子系统的二维弹性碰撞问题这类问题通常采用守恒定律来解决因为粒子系统在碰撞的平面内不受外力作用,同时,碰撞又是完全弹性的,故系统同时满足动量守恒和机械能守恒由两守恒定律方程即可解得结果解取如图所示的坐标,由于粒子系统属于斜碰,在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式,有 (1) (2)又由机械能守恒定律,有 (3)解式(1)、(2)、(3)可得碰撞后B 粒子的速率为各粒子相对原粒
14、子方向的偏角分别为 3 -33如图所示,一质量为m的物块放置在斜面的最底端A 处,斜面的倾角为,高度为h,物块与斜面的动摩擦因数为,今有一质量为m 的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中,且使物块沿斜面向上滑动求物块滑出顶端时的速度大小分析该题可分两个阶段来讨论,首先是子弹和物块的撞击过程,然后是物块(包含子弹)沿斜面向上的滑动过程在撞击过程中,对物块和子弹组成的系统而言,由于撞击前后的总动量明显是不同的,因此,撞击过程中动量不守恒应该注意,不是任何碰撞过程中动量都是守恒的但是,若取沿斜面的方向,因撞击力(属于内力)远大于子弹的重力P1 和物块的重力P2 在斜面的方向上的分力以及物块所
15、受的摩擦力F ,在该方向上动量守恒,由此可得到物块被撞击后的速度在物块沿斜面上滑的过程中,为解题方便,可重新选择系统(即取子弹、物块和地球为系统),此系统不受外力作用,而非保守内力中仅摩擦力作功,根据系统的功能原理,可解得最终的结果解在子弹与物块的撞击过程中,在沿斜面的方向上,根据动量守恒有 (1)在物块上滑的过程中,若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为v2 ,并取A 点的重力势能为零由系统的功能原理可得 (2)由式(1)、(2)可得3 -34 如图所示，一个质量为 m 的小球，从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下设容器质量为m，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上开始时小球和容器
16、都处于静止状态当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？ 解：以球、容器为物体系，小球沿内壁滑到容器底部的过程中，支持力和正压力这对内力的功的代数和为零，桌面支持力不做功，仅重力做功系统机械能守恒；水平方向无外力，水平方向上动量守恒。设滑到底部时，二者对地速度分别为v和v ,则对地水平方向动量守恒： （1）系统机械能守恒： （2）相对于容器做圆周运动，法向上有： （3）得：3 -35 打桩机锤的质量为m 10 t, 将质量为m24 t、横截面为S 0.25 m2 (正方形截面)、长达l 38.5 m 的钢筋混凝土桩打入地层,单位侧面积上受泥土的阻力为K 2.65 104 N m
17、 -2 问：(1) 桩依靠自重能下沉多深？(2) 在桩稳定后,将锤提升至离桩顶面1 m 处,让其自由下落击桩,假定锤与桩发生完全非弹性碰撞第一锤能使桩下沉多少？ (3) 若桩已下沉35 m 时,锤再一次下落,此时锤与桩碰撞已不是完全非弹性碰撞了,锤在击桩后反弹起0.05 m,这种情况下,桩又下沉多少？分析(1) 桩依靠自重下沉是利用重力势能的减少来克服摩擦力作功,可根据功能原理求解(2)打桩过程可分为三个阶段1.锤自由下落的过程在此过程中,锤与地球系统的势能转化为锤的动能,满足机械能守恒定律2.碰撞的过程在这过程中,由于撞击力远大于重力和泥土的阻力,锤与桩这一系统满足动量守恒定律由于碰撞是完全
18、非弹性的,碰撞后桩和锤以共同速度运动3.桩下沉的过程在这过程中,桩和锤的动能和系统的势能将用于克服摩擦力作功,可应用系统的功能原理根据以上分析列出相应方程式即可解(3)仍为打桩过程所不同的是,在此过程中,碰撞是非弹性的,因此,桩获得的速度还需根据锤反弹的高度求出桩下沉时,仍是以桩的动能和势能减少来克服摩擦力作功的解(1) 在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有 (1)桩下沉的距离为(2) 锤从1 m 高处落下,其末速率为由于锤与桩碰撞是完全非弹性的,锤与桩碰撞后将有共同的速率,按动量守恒定律,有 (2)随后桩下沉的过程中,根据系统的功能原理,有 (3)由式(2)、(3)可解得桩下沉的距离为h2 0.2 m(3) 当桩已下沉35 m 时,再一次锤桩,由于此时的碰撞是一般非弹性的,锤碰撞后的速率可由上抛运动规律得,再根据动量守恒定律,有 (4)随后,桩在下沉过程中,再一次应用系统的功能原理,得 (5)由式(4)、(5)可得桩再一次下沉的距离h3 0.033 m
