1、解直角三角形教案教学目标使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。教学过程一、引入新课测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢?二、新课 1根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长
2、度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有BACB1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以ACBA1C1B190，所以，ACBA1C1 B1，因此，则BC，即可求得旗杆BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角BAC=34,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将ABC画在纸上，并记作A1B1Cl，用刻度尺量出纸上BlCl的长度,便可以计算旗杆的实际
3、高度。由画图可知:BACBlAlCl34，ABCA1B1Cl90ABCAlB1Cl BlC1 BC500BlCl，CEBCBE，即可求得旗杆的高度。2带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度)三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。四、作业 1课本第99页习题191。 2写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。19、2勾股定理第一课时勾股定理（一）教学目标用试验的方法使学生知道直角三角形的边与边的关系（勾股定理）增强学生对勾股定理的感性认识，并能用
4、勾股定理解决一些简单的问题，渗透探索问题的思想与方法。教学过程一、复习直角三角形是特殊的三角形，其中一个角是直角，两个锐角具有互余的关系。 那么，直角三角形的三边具有什么关系呢?本节课就是要研究直角三角形三边的关系。二、新课 1等腰直角三角形边与边的关系。 如图，是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中的三个阴影的小正方形P、Q、R，它们的面积具有什么关系呢? 显然可以看出： S阴RS阴PS阴Q 即AB2BC2AC2，这说明，等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。那么，在一般的直角三角形中，是否也有两直角边的平方和等于斜边的平方呢? 2任意直角三角形三边的关系。 探索l，发给每位同学
5、印有右图的纸片，让学生观察图形，而后回答以下问题。如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到： 正方形P的面积平方厘米； 正方形Q的面积平方厘米； 正方形R的面积平方厘米； (这里正方形只的面积相当难算，教师要给予点拨，要多花时间让学生思考才能得出。) 通过以上练习，同学们可以发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是。 探索2在方格中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm和12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。 由上述的练习我们可以得出直角三角形ABC的三边的长度之间的关系：AB2BC2AC2。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
6、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。 3勾股定理的简单应用。 例1如图，将长为米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。(精确到米) 例2已知：直角三角形ABC中，C90，BC8，AC17。求AB4练习：课本第102页的练习题。三、小结这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上，勾股定理在我国古代早已被发现和运用，今天我们只不过做了粗略的探讨。通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面要能运用它来计算直角三角形边的长度。四、作业 1课本第104页习题192的第1、2小题。 2课本第119页复习题的第1题。 第二课时 勾股定
7、理教学目标 上节课学生感性认识了勾股定理，本节课通过给出一些证明勾股定理的方法，学生理性认识勾股定理，同时渗透方程思想，寓德于教，进一步运用勾股定理解决问题。 教学过程一、对勾股定理的回顾 如图，ABC是Rt，C90，A、B、C的对边分别是a、b、c，那么a、b、c具有什么关系呢?(a2b2c2)，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么，同学们是否能够想出证明这个定理的方法呢? 1勾股定理的证明思路与方法。 发给每位同学与右图完全相同的四个直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。 问：大正方形的面积可以表示为，又可以表示为。 对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。提问后再给出
8、提示。一方面，大正方形的面积可表示为；(ab)2;另一方面又可表示为：ab4c22abc2,所以(ab)22abc2即a2b2c2用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成右图所示的图形。与上面的方法类似，也可以证明勾股定理是正确的。 (请同学们模仿上面的证明方法，就右图给出勾股定理的证明)一方面，大正方形的面积为c2，另一方面，大正方形的面积为(ab)24ab，所以，a2b2c2。 2进一步应用勾股定理解决问题。 例1如图，为了求出湖两岸A、B的两点之间的距离，一个观测者在点设桩，使三角形恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米。问从A点穿过湖到点B多远? 练习：课本第10
9、4页第1、2题。 3勾股定理史话，增强学生的民族自豪感。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。上面的图四称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的。在北京召开的2002国际数学家大会(TCM2002)的会标，其图案正是“弦图”，它标致着中国古代的数学成就。 勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史。远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了，我国古代也发现了这个定理。据周髀算经记载，商高(公元前1120年)关于勾股定理已有明确的认识。人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很
10、难区分这个定理是谁先发现的。国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派(公元前580一前500)首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理。三、小结本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，同学们；在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果；不是直角三角形应该构造直角三角形来解决。 四、作业课本第104页第1、2、3、4、5题。 19、3锐角三角函数1锐角三角函数第一课时 锐角三角函数(一)教学目标使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。并能应用这些概念解
11、决一些实际问题。教学过程一、复习 由上节课例题若加改变得，若AC160cm，C31，那么，AB的长度为多少呢? 同学们现在或许不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。二、新课 1明确直角三角形边角关系的名称。 直角三角形ABC可以简记为RtABC，我们已经知道C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为A的对边与邻边，用a、b表示。 如右图，在RtEFG中，请同学们分别写出E、F的对边和邻边。 2在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。问题1如右图，ABC和A1B1C1中，若CC190， AA1，那么ABC和A1B
12、1C1相似吗?与相等吗? 和相等吗？ 显然ABCA1BlCl，这说明在RtABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。 这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。 3锐角三角函数的概念。 RtABC中(1)A的对边与斜边的比值是A的正弦，记作sinA (2)A的邻边与斜边的比值是A的余弦，记作cosA (3)A的对边与邻边的比值是A的正切，记作tanA (4)A的邻边与对边的比值是A的余切，记作cota 同学们想一想，在RtABC中，B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值
13、。 问题2锐角三角函数都是正实数吗?为什么? 若A是锐角，0sinAl，0cosAl，tanAcotA1，为什么? 4例题讲解。 例1求出右图所示的RtABC中A的四个三角函数值。例2已知RtABC中，C90，a:b3:2，c，求A、B的四个三角函数值。三、练习课本第109页练习的第1、2两题。四、小结在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。五、作业课本第11l页习题193的第1、2题，课本第120页复习题的第8题。第二课时
14、锐角三角函数(二)教学目标使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30、45、60等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。教学过程一、引入新课如图，这是一块三角形草皮，A60，AB2米，AC米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢?让同学们思考并加以引导，过C点作AB的垂线CD，垂足为D，我们知道，sinA，CDACsin60，AC是已知的，假如sin60能够知道，那么CD就可求，那么这个问题就得到解决。本节课我们一同来探讨30、45、60的三角函数值。二、新课 1通过测量，计算sin30的值，进而求出30的其他三角函数值 请每位同学画一个含有30的角的直角三角形，而后用
15、刻度尺量出它的对边和斜边，计算sin30的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。 通过测量计算，我们可以得到sin30,即斜边等于对边的两倍。因此，我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。从图中看，即c2a，由勾股定理得到ba所以cos30,tan30,cot30 2由上面测量得到的sin30值，推出60角的四个三角函数值。 如右图，若A30，则B60，c2a，ba,则sin60,cos60,tan60,cot60 3用同样的方法，求出45角的三角函数值。4用表格列出30、45、60角的四个三角函数值。asinacosatanacota304511
16、605例题。计算：(1)sin30cos45(cot601)tan37cot37 (2)cos245tan60(3)已知：cos(a28)，求a的度数三、课堂练习 1课本第110页练习的第4题 2如右图，RtABC中，A15，你是否能够通过添加辅助线，构造适当的三角形，求得它的正切值和余切值. 四、小结本节课我们通过测量，计算求出了30、45、60角的四个三角函数值，同学们应该记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值时的方法也显得相当的重要，应领会其实质五、作业 1课本第111页习题的第3题。 2课本第119页复习题的第3、4题 2用计算器求锐角三角函
17、数值教学目标使学生能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题。教学过程一、由问题引入新课 问题：小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成60的角，他的风筝有多高?(精确到1米) 根据题意画出示意图，如右图所示，在RtABC中，AB125米，B60，求AC的长。(待同学回答后老师再给予解答)在上节课，我们学习了30、45、60的三角函数值，假如把上题的 B60改为B63，这个问题是否也能得到解决呢?回答是肯定的。二、用计算器求任务任意锐角的三角函数值1.求已知锐角的三角函数值。例1.求sin635241的值(精确到例2求cot7045的值(
18、精确到2由锐角三角函数值求锐角。例3已知tanx，求锐角x(精确到l)。例4已知cotx，求锐角工(精确到1)。分析：根据tanx，可以求出tanx的值，然后根据例3的方法就可以求出锐角x的值。 通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决。三、课堂练习1课本第111页练习的第1、2题2如图是一块平行四边形的地皮，已知AB43米，AD34米，A672653，求这块地皮的面积。 四、小结1我们可以利用计算器求出任意锐角的三角函数值，反过来，知道某个锐角的三角函数值，可以求出这个锐角。2我们可以利用直角三角形的边角关系解决一些实际的问题五、作业课本
19、第111页习题193第4、5题。19、4 解直角三角形第一课时 解直角三角形教学目标使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。教学过程一、引入新课 如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为26 261036所以，大树在折断之前的高为36米。二、新课1解直角三角形的定义。任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角
20、形。像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。2解直角三角形的所需的工具。(1)两锐角互余AB90(2)三边满足勾股定理a2b2c2(3)边与角关系sinAcosB，cosAsinB，tanAcotB，cotAtanB。3例题讲解。例1如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。分析：本题中，已知条件是什么?(AB2000米，CAB90 CAD50)，那么求AC的长是用“弦
21、”还是用“切”呢?求BC的长呢?显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数。讲解后让学生思考以下问题：(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC；(2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC。通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的。4从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以。利用边角关系求出其他的边与角。所以，解直角三角形无非以下两种情况：(1)已知两条边，求其他边和角。(2)已知一条边和一个
22、锐角，求其他边角。三、练习课本第113页练习的第l、2题(帮助学生画出第2题的图形)。四、小结本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角。五、作业课本第116页习题第1、2题第二课时 解直角三角形(二)教学目标使学生进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。教学过程一、给出仰角、俯角的定义在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这
23、个角称为什么角呢? 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的1就是仰角， 2就是俯角。二、例题讲解 例1如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆米的C处，用米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22，求电线杆AB的高度。分析：因为ABAEBE，AECD米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在BDE中,已知DECA米，BDE22，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?显然正切或余切都能解决这个问题。 例2如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利
24、用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。 分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在RtABD中就可以求出BD的长度，因为AEBD，而后RtACE中求得CE的长度，这样CD的长度就可以求出请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B楼的高度。三、练习课
25、本第114页练习的第l、2题。四、小结本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决。五、作业课本116页3、4题第三课时 解直角三角形(三)教学目标使学生知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。教学过程一、引入新课如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明A1A。从图形可以看出，即tanAltanA。在修路、挖
26、河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。二、新课1坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是itanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。2例题讲解。例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为米，上底的宽是米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28，求路基下底的宽。(精确到 米) 分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割
27、成直角三角形和矩形，从题目来看，下底ABAEEFBF，EFCD米AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决。例2如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。和坝底宽AD。(iCE:ED，单位米，结果保留根号) 三、练习课本第116页的练习。四、小结会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。五、作业补充习题 回顾与思考第一课时 回顾与思考(一)教学目标通过复习，使学生系统地掌握本章知识。由于本章的概念比较多，需要记忆的知识也比
28、较多，因此，课前应该让学生先看看书本，以求得较高的复习效率。在系统复习知识的同时，使学生能够灵活运用知识解决问题。教学过程一、知识回顾1应用相似测量物体的高度(1)如图(一)，利用光线的平行和物体在地面的投影和物体构成的两个直角三角形相似，从而求得物体的高度。(2)如图(二)，我们可以利用测角仪测出ECB的度数，用皮尺量出CE的长度，而后按一定的比例尺(例如1:500)画出图形，进而求出物体的高度。 2勾股定理。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即AB2AC2BC2，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系。如 (三) 3锐角三角函数。(如图三)(1)定义：sinA，cosA，tanA，
29、cota。(2)若A是锐角，则0sinAl，0cosA1，tinAcotA1，sin2Acos2A1，你知道这是为什么吗?(3)特殊角的三角函数值。asinacosatanacota30451160同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。(4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。(5)正弦、正切值是随着角度的增大而增大，余弦、余切值是随着角度的增大而减少(6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。正切、余切也一样。即若a是锐角,a的余角为(90a)则 sin(90a)cosa， cos(90a)sina，tan(90a)cota， cot(90a)tana，二、例题讲解例1RtABC中，C90，B60，两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。
