1、 统计学统计学-从典型案例到问题和思想从典型案例到问题和思想 经济管理类“十三五”规划教材经济管理类“十三五”规划教材主讲人：朱芳芳主讲人：朱芳芳 典型案例【典型案例【6】第一节 抽样分布基本概念 第一节 抽样分布基本概念 第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布 第五章 抽样分布第五章 抽样分布 【典型案例【典型案例 6】如何决定是否购买一批】如何决定是否购买一批苹果？苹果？俗话说俗话说“一日一苹果，医生远一日一苹果，医生远离我。离我。”假如现在面对一批苹果，人们如何假如现在面对一批苹果，人们如何了解它们口感的均值和差异值，以便作出是了解它们口感的均值和差异值，以便作出是否购买这
2、批苹果的更好决策呢？否购买这批苹果的更好决策呢？众所周之，不可能通过将所有的众所周之，不可能通过将所有的苹果都咬一口品尝来解决这个问题，因为这苹果都咬一口品尝来解决这个问题，因为这样做苹果就全部报废了，对买卖双方都毫无样做苹果就全部报废了，对买卖双方都毫无益处！益处！人们常用作法：从这批苹果中随机挑人们常用作法：从这批苹果中随机挑出几个品尝后，得出这几个苹果口感的均出几个品尝后，得出这几个苹果口感的均 值和差异值，以此作为这批苹果口感的均值和差异值，以此作为这批苹果口感的均值和差异值，从而作出是否购买这批苹果值和差异值，从而作出是否购买这批苹果的更好决策。从统计学角度来讲，挑出的的更好决策。从
3、统计学角度来讲，挑出的这几个苹果口感的均值和差异值就这几个苹果口感的均值和差异值就是是样本样本平均数 平均数 和和样本方差 样本方差 ，这批苹果口感，这批苹果口感的的均值和差异值是总体平均数 均值和差异值是总体平均数 和和总体方差总体方差 。【典型案例【典型案例 6】如何决定是否购买一批】如何决定是否购买一批苹果？苹果？这种用商品质量数据的样本平均数 这种用商品质量数据的样本平均数 、样本方差、样本方差 作为总体平均数作为总体平均数 、总体、总体方差方差 的作法，是人们购买商品时常用的有的作法，是人们购买商品时常用的有效效估计方法，其理论依据是本章将要学习的估计方法，其理论依据是本章将要学习的
4、内容。内容。【典型案例【典型案例 6】如何决定是否购买一批】如何决定是否购买一批苹果？苹果？第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念n一、样本容量和样本个数 一、样本容量和样本个数 n二、参数和统计量二、参数和统计量n三、抽样分布三、抽样分布n四、抽样分布的数字特征四、抽样分布的数字特征 总体总体是研究的所有个体构成的集合是研究的所有个体构成的集合，其中的个体的数目常用 表示。其中的个体的数目常用 表示。从中 从中随机抽取部分个体随机抽取部分个体构成一个样本构成一个样本，构成样本的个体的数目构成样本的个体的数目，常用 表示，称，常用 表示，称为样本容量，也称样本量。为样本容量，也称样本
5、量。例如，典型案例 例如，典型案例 6 中，一批苹果有中，一批苹果有 400个，从中抽取个，从中抽取 8 个进行品尝，那么 个进行品尝，那么 ，而 。显然，从中可以得到很多个样而 。显然，从中可以得到很多个样本。本。从一个含有 从一个含有 N 个个体的总体中，随机个个体的总体中，随机第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念Nn400N=8n=抽取样本容量为抽取样本容量为 n 的样本，可得到很多个的样本，可得到很多个样本，此即样本的个数。例如，从一个含样本，此即样本的个数。例如，从一个含有有 5 个个体的总体中，随机抽取样本容量个个体的总体中，随机抽取样本容量为为 2 的样本（假设采取重
6、复抽样方式），的样本（假设采取重复抽样方式），则可以得到则可以得到 52=25 个样本。个样本。典型案例 典型案例 6 中，将中，将 400 个苹果编个苹果编号，则号，则随机抽取的样本可能是由编号为随机抽取的样本可能是由编号为 18 的这的这8 个苹果构成，也可能是由编号为个苹果构成，也可能是由编号为 101108 的的 8 个苹果构成等等。个苹果构成等等。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 参数是参数是用来描述总体数量特征用来描述总体数量特征的，如的，如总体均值 、总体比例 、总体方差 总体均值 、总体比例 、总体方差 等；等；统计量是 统计量是用来描述样本数量特征用来描述样本
7、数量特征的，的，是由样本构造的函数，如样本均值 、样是由样本构造的函数，如样本均值 、样本比例 、样本方差 等。本比例 、样本方差 等。由于总体是唯一的、固定不变的，故 由于总体是唯一的、固定不变的，故参数往往是一个未知的常数；而样本不唯参数往往是一个未知的常数；而样本不唯一，且一旦抽取出来，就成为已知，故统一，且一旦抽取出来，就成为已知，故统计量是随机变量，其取值随着样本的变化计量是随机变量，其取值随着样本的变化第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念mp2sXp2S 而改变。而改变。抽样的目的就是要根据样本统计 抽样的目的就是要根据样本统计量去量去估计或推断总体参数。估计或推断总体
8、参数。比如，常用样本均值 去推断 比如，常用样本均值 去推断总体均总体均值 、用样本比例 去推断总体比例 值 、用样本比例 去推断总体比例 、用样本方差 去推断总体方差 。用样本方差 去推断总体方差 。以上做法的理论依据就是样 以上做法的理论依据就是样本统本统计量的抽样分布。计量的抽样分布。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念xmpp2s2s 统计量是随机变量。抽样分布就统计量是随机变量。抽样分布就是是统统计量的概率分布计量的概率分布。如样本均值的概率分布、样本比 如样本均值的概率分布、样本比例的例的概率分布、样本方差的概率分布等都称为概率分布、样本方差的概率分布等都称为抽样分布。
9、抽样分布。以下将以样本均值为例说明统计以下将以样本均值为例说明统计量的量的抽样分布。抽样分布。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 【例【例 5-15-1】设有一个总体，含有】设有一个总体，含有 5 5 个个个个体：体：1010、2020、3030、4040、5050，即 。，即 。采采取重复抽样的方式从中抽取样本容量为取重复抽样的方式从中抽取样本容量为 2 2的样本，即 。的样本，即 。试写出样本均值 的抽样分布。试写出样本均值 的抽样分布。解：由于 解：由于 =5，=2，从总体，从总体中采取重中采取重复抽样的方式抽取样本，则样本共有 复抽样的方式抽取样本，则样本共有 =52=2
10、5 个。计算出这个。计算出这 25 个样本的均值 ，个样本的均值 ，其结其结果如表果如表 5-1 所示。所示。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念5N=2n=XNnnNX 样本样本序号序号样本样本个体个体样本样本均值均值样本均值样本均值的概率的概率1 110,1010,1010101251252 210,2010,2015152252253 310,3010,3020203253254 410,4010,4025254254255 510,5010,5030305255256 620,1020,1015157 720,2020,2020208 820,3020,3025259 92
11、0,4020,403030101020,5020,503535425425111130,1030,102020121230,2030,202525表 5-1 n=2 时样本均值的抽样及其取值情况时样本均值的抽样及其取值情况样本样本序号序号样本样本个体个体样本样本均值均值样本均值样本均值的概率的概率131330,3030,303030141430,4030,403535151530,5030,504040325325161640,1040,102525171740,2040,203030181840,3040,303535191940,4040,404040202040,5040,5045452
12、25225212150,1050,103030222250,2050,203535232350,3050,304040242450,4050,404545252550,5050,505050125125 表表 5-2 =2 时样本均值 的抽样分时样本均值 的抽样分布布从而，样本均值 的概率分布如表从而，样本均值 的概率分布如表 5-2所示。所示。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念101520253035404550123454321252525252525252525XP 在例在例 5-15-1 中，若样本容量中，若样本容量 n=4=4，则样，则样本本共有 共有 =54=625=
13、54=625 个个,并且例并且例 5-15-1 中的总体中的总体是一个非常小的总体，现实世界中，我们是一个非常小的总体，现实世界中，我们面对的总体往往很大，进而样本数目将很面对的总体往往很大，进而样本数目将很可观，不可能将所有的样本都抽取出来。可观，不可能将所有的样本都抽取出来。因此抽样分布实质上是一种理论分布。因此抽样分布实质上是一种理论分布。它可能是精确的某已知分布，也可能是以它可能是精确的某已知分布，也可能是以某已知分布为极限的极限分布。某已知分布为极限的极限分布。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 抽样分布理论在推断统计中具抽样分布理论在推断统计中具有重要有重要的作用，它
14、是后续参数估计和假设检验的的作用，它是后续参数估计和假设检验的理论依据和基础。理论依据和基础。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 在例在例 5-1 中，样本均值的平均数中，样本均值的平均数总体均值总体均值 样本均值的方差样本均值的方差 总体方差总体方差 由于由于n=2，从而验证了（，从而验证了（5.1）的）的正确性。正确性。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念1217502525252510155030Xm m=+=+=LL1(1020304050)305m m=+=+=222()()1000900100XE XE Xs s=-=-=-=-=222()()110090
15、0200E XE Xs s=-=-=-=-=由式由式（5.1）可知：的平均数为 ，可知：的平均数为 ，方差为 。随着 的增大，其方差越来越方差为 。随着 的增大，其方差越来越小，从而 的取值越来越向着 靠拢，故用 小，从而 的取值越来越向着 靠拢，故用 去估计 理论依据成立。去估计 理论依据成立。由此可见，典型案例由此可见，典型案例 6 中，人们中，人们用挑选用挑选出的几个苹果口感的均值去估计这批苹果出的几个苹果口感的均值去估计这批苹果口感的均值口感的均值的做法是站得住脚的。的做法是站得住脚的。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 以上结论均建立在重复抽样情形下以上结论均建立在重复
16、抽样情形下，若是在重复抽样情形下，方差需要用系若是在重复抽样情形下，方差需要用系数 进行修正，从而样本均数 进行修正，从而样本均值的数字特征为：值的数字特征为：（5.2）可见：用 去估计 理论依据同样成立。可见：用 去估计 理论依据同样成立。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念()XE Xmmmm=221XNnn Ns ss s-=-比例：比例：总体（或样本）中具有某总体（或样本）中具有某种属种属性的个体数与全部个体数之比性的个体数与全部个体数之比，总体比例，总体比例记为 。记为 。现有 ，采 现有 ，采取重复抽样的取重复抽样的方式从中抽取独立同分布的样本：，方式从中抽取独立同分布
17、的样本：，。样本中变量值 。样本中变量值 1 出现次数记为 出现次数记为 ，那，那么变量值么变量值 1 出现次数所占的比例为 出现次数所占的比例为 ，即，即 为样本比例。为样本比例。（二）样本比例的数字特征（二）样本比例的数字特征第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 根据根据数学期望数学期望和方差的性质，可和方差的性质，可推出推出样本比例 的数学期望、方差与总体的样本比例 的数学期望、方差与总体的平平均数、方差之间的关系：均数、方差之间的关系：（5.3）由式（由式（5.3）可知：的平均数）可知：的平均数为总体为总体比例 ，方差为 。随比例 ，方差为 。随着 的增大，方差越来越小，从
18、而 的着 的增大，方差越来越小，从而 的取值越来越向 靠拢，故用 去估计 取值越来越向 靠拢，故用 去估计 理论依据成立。理论依据成立。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念()pE pmpmp=2(1)pnpps-=n 以上结论均建立在重复抽样情形下以上结论均建立在重复抽样情形下，若是在不重复抽样情形下，当样本容量很若是在不重复抽样情形下，当样本容量很大时，方差需要用系数进行修正，从而样大时，方差需要用系数进行修正，从而样本比例的数字特征为：本比例的数字特征为：（5.4）可见：用 去估计 理论依据同样成立。可见：用 去估计 理论依据同样成立。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布
19、基本概念()pE pmpmp=2(1)1pNnnNpppps s-=-设总体 的方差为 ，采取设总体 的方差为 ，采取重复抽样重复抽样的方式，从中抽取独立同分布的样本：的方式，从中抽取独立同分布的样本：，。根据，。根据数学期望数学期望和方差的性质，和方差的性质，可可推出样本方差的数学期望、方差与总体的推出样本方差的数学期望、方差与总体的方差之间的关系为：方差之间的关系为：（5.5）（三）样本方差的数字特征（三）样本方差的数字特征第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念22()E Ss=24221Sns ss s=-由式由式(5.5)可知：样本方差的平均可知：样本方差的平均数为数为 ，方
20、差为 ，随着 的增大，方差为 ，随着 的增大，其方差其方差越来越小，从而 的取值越来越向着 越来越小，从而 的取值越来越向着 靠拢，故用 去估计 理论依据成立靠拢，故用 去估计 理论依据成立。由此可见，典型案例由此可见，典型案例 6 中，人们中，人们用用挑选挑选出的几个苹果口感的差异值去估计这批苹出的几个苹果口感的差异值去估计这批苹果口感的差异值果口感的差异值的做法是站得住脚的。的做法是站得住脚的。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 以上结论均建立在重复抽样情形下以上结论均建立在重复抽样情形下，若是在不重复抽样情形下，方差需要用系若是在不重复抽样情形下，方差需要用系数进行修正，从
21、而样本方差的数字特征为数进行修正，从而样本方差的数字特征为：（5.6）可见：用 去估计 理论依据同样成立。可见：用 去估计 理论依据同样成立。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念22()E Ss=242211SNnnNs ss s-=-2S2s 统计量抽样分布的标准差统计量抽样分布的标准差，称为统计，称为统计量的量的标准误标准误，也称，也称标准误差标准误差。标准误可用于说明抽样误差的大小。标准误可用于说明抽样误差的大小。抽样误差是指由抽样的随机性引起的样本抽样误差是指由抽样的随机性引起的样本结果与总体的真实值之间的差异，它描述结果与总体的真实值之间的差异，它描述的是所有样本可能的结
22、果与总体真值之间的是所有样本可能的结果与总体真值之间的平均性差异。的平均性差异。若若总体标准差未知，可用总体标准差未知，可用样本标准差代替，此时的标准误称为样本标准差代替，此时的标准误称为估计估计标准误。标准误。（四）标准误（四）标准误第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念 样本比例样本比例的标准误为 。当总体的标准误为 。当总体比例 未知时，可用样本比例代替，此比例 未知时，可用样本比例代替，此时得到的时得到的标准误称为估计标准误。标准误称为估计标准误。样本方差样本方差的标准误为 。当总体的标准误为 。当总体标准标准差未知时，可用样本标准差代替，此时得差未知时，可用样本标准差代替，
23、此时得到的标准误称为估计标准误。到的标准误称为估计标准误。样本均值样本均值的标准误为 。当总体标的标准误为 。当总体标准准差未知时，可用样本标准差代替，此时得差未知时，可用样本标准差代替，此时得到的标准误称为估计标准误。到的标准误称为估计标准误。第一节 抽样分布基本概念第一节 抽样分布基本概念ps2SsXs n一、样本均值的抽样分布一、样本均值的抽样分布n二、样本比例的抽样分布二、样本比例的抽样分布n三、样本方差的抽样分布三、样本方差的抽样分布n四、四、t 分布和分布和 F 分布分布第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布 抽样分布即统计量的概率分布。抽样分布即统计量的概率分布。本
24、节本节将分别对样本均值、样本比例以及样本方将分别对样本均值、样本比例以及样本方差的抽样分布作详细的讨论。差的抽样分布作详细的讨论。如无特别说明，本章中的抽样方式如无特别说明，本章中的抽样方式均均指重复抽样。指重复抽样。第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布，就是采取重复就是采取重复抽样的方式，选取容量为 的所有样本，抽样的方式，选取容量为 的所有样本，由样本均值所有可能的取值形成的概率分由样本均值所有可能的取值形成的概率分布布。它是推断总体均值 的理论基础。它是推断总体均值 的理论基础。以下分两种情况来讨论样本均值 以下分两种情况来讨论样本均
25、值 的的抽样分布类型。抽样分布类型。第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布 正态分布正态分布：若 的概率密度函数为：若 的概率密度函数为 （5.7）图图 5-1 正态分布概率密度函数图正态分布概率密度函数图其中，和 都是常数，且 其中，和 都是常数，且 ，则称 ，则称 服从参数为 和 的正态分布，记作 服从参数为 和 的正态分布，记作 。其概率密度函数图。其概率密度函数图像见图像见图 5-1。第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布e22()21()2xf xxm ms ss s-=-+=-+特别地，当参数 特别地，当参数 =0=0，=1=1 时，这时，这样的样的正态
26、分布为标准正态分布，记为 ，其正态分布为标准正态分布，记为 ，其概率密度函数为：概率密度函数为：第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布e221()()2。xxxj j-=-+=-221221222(2)()(2)(4)n nnD Xn nn+-+-=-2(4)n 对于给定的 ，称满足条件：对于给定的 ，称满足条件：的点 为 分布的上 的点 为 分布的上 分位点。有结论：。分位点。有结论：。以下是关于以下是关于 F 分布的两个常见结论分布的两个常见结论。随机变量 ，则 。这随机变量 ，则 。这个个结论在后面回归分析的回归系数显著性检结论在后面回归分析的回归系数显著性检验中有用到。验中有用到。第二节 几个常见的抽样分布第二节 几个常见的抽样分布(01)aa=12(,)F n naFa11221(,)1/(,)Fn nF n naa-=()Tt n:2(1,)TFn:
