1、第十五章 统计第 1 讲机抽和本估体随样样计总考纲要求考纲研读1.随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法2 总体估计(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题
2、.用样本估计总体是统计学的重要思想从总体中如何抽取样本，以及如何研究样本数据是本节需要掌握的主要内容根据总体的特点可采取合适的抽样方式，然后从列表，画图途径来体现样本数据特征，而样本的数字特征则是其客观体现，从而进一步去估计总体特征.1 总体、个体、样本把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体，从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本2 随机抽样均等的抽样时保证每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是 _，满足这样的条件的抽样是随机抽样3 简单随机抽样相等抽签法设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n
3、N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 _，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样最常用的简单随机抽样方法有两种 _ 和 _ 随机数表法4 系统抽样(1)当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样(2)步骤：编号采用随机的方式将总体中的个体编号，编号的方式可酌情处理；分段_先确定分段的间隔 k.当Nn(N 为总体中的个体数，n为样本容量)是整数时，kNn；当Nn不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩下的总体中个体总数 N能被 n 整除，这时 kNn；确定起始个体编号在第 1 段用 _ 确
4、定起始的个体编号 S；简单随机抽样 按照事先确定的规则抽取样本通常是将 S 加上间隔 k，得到第 2 个个体编号 Sk，再将(Sk)加上 k，得到第 3 个个体编号S 2k，这样继续下去，获得容量为 n 的样本其样本编号依次是：S，Sk，S 2k，S(n 1)k.5 分层抽样明显差异当总体由 _ 的几部分组成时，按某种特征在抽样时将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样6.频率分布直方图(1)求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差(2)决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，
5、常分成 5 12 组组距 _.(3)将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间最后一组取闭区间也可以将样本数据多取一位小数分组(4)列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的 _ 频率反映这组数据在样本所占比例的大小频率极差组数(5)绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应一个组距，然后以线段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得到一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率这些矩形就构成了频率分布直方图7 频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图
6、中各小长方形上端的 _，就得到频率分布折线图中点(2)总体密度曲线：随着 _ 的增加，作图时所分的组数增加，_ 减小，相应的频率折线图会接近于一条光滑的曲线，即总体密度曲线样本容量组距8 茎叶图在样本数据较少、较为集中，且位数不多时，用茎叶图表示数据的效果较好，它较好的保留了原始数据信息，方便记录与表示茎是中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数9 样本数字特征(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数最中间中位数(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 _ 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的 _(4)方差：s2 _.(5)标准差：s _.(3)
7、平均数：样本数据的算术平均数，即x_.1n(x1x2xn)1n(x1x)2(x2x)2(xnx)2 1nx1x2x2x2xnx2 C 都相等，且为D 都相等，且为1 从 2 004 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2 004 人中剔除 4 人，剩下的 2 000)C人再按系统抽样的方法进行则每人入选的概率(A 不全相等B 均不相等251002140解析：注意机抽，每体被抽到的率都一此随样个个概样题50 252 004 1 002中，每人入的率选概为 .故选 C.甲乙丙丁平均环数 x8.68.98.98.22方差 s3.53.52.15.62 (201
8、1 年广广州东调研)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是()CA 甲B 乙C 丙D 丁3 (2011 年广广雅中东学测试)在广雅中学“十佳学生”评选的演讲比赛中，如图 15 1 1 是七位评委为某学生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为()图 15 1 1A 85,85B 84,86C 84,85D 85,86C4 (2011 年上海)课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4,12,8.若用分层抽样抽取 6 个城
9、市，则丙组中应抽取的城市数为 _.25 某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图 15 1 2，则在区间 4,5)上的数据的频数为 _.30解析：于在的率的对区间频数值为 0.3，而总数为 100，因此频数为 30.图 15 1 2考点 1 随机抽样及其应用例 1：现要完成下列 3 项抽样调查：从 10 盒酸奶中抽取 3盒进行食品卫生检查科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请 32 名听众进行座谈东方中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名为了了解教职工对学校在校务公
10、开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本较为合理的抽样方法是()A 简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样C 系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样解析：此主要考察的是三抽方法的适用情题种样况对总体少，采用机抽，体相多，采用系个数较简单随样对个数对较抽，体相互差明，采用分抽，故 统样对个异显层样选 A.答案：A类别共同点不同点相互系联适用范围简单随机抽样都是等率抽概样体中逐抽取从总个体中体总个比少较系抽统样体均分成若将总匀干部分；按事先确定的在各部分抽规则取在起始部分采用简单随机抽样体中体总个比多较分抽层样体分成若干，将总层按体的
11、比例个个数抽取在各抽层样采用时简单机抽或随样系抽统样体中体总个有明差显异三抽方法的系：种样联与区别【互动探究】1 某小区有 800 个家庭，其中高收入家庭 200 户，中等收入家庭 480 户，低收入家庭 120 户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为 100 户的样本；从 10 名同学中抽取 3 个参加座谈会.简单随机抽样方法；.系统抽样)B方法；.分层抽样方法问题和方法配对正确的是(A B C D 2 一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职称的 200 人，其余人员 120 人为了解职工收入情况，决定采用分
12、层抽样的方法，从中抽取容量)D为 40 的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是(A 12,24,15,9B 9,12,12,7C 8,15,12,5D 8,16,10,63 用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生从 1 至 160 编号按编号顺序平均分成 20 组(1 8号，9 16 号，153 160 号)，若第 16 组应抽出的号码为 126，则第一组中用抽签方法确定的号码是 _.6解析：采用系抽，每中依次抽出的成一列统样设组号码构数an，首项为 a1，公差为 8 的等差列，列的通公式数则该数项为an a1 8(n 1)，依意题则 a16 126
13、a1 8(16 1)，则 a1 6.即第一中用抽方法确定的是组签号码6.考点 2频率分布直方图例 2：(2010 年广佛山东调研)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100 后得到如图 15 1 3 所示的部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：图 15 1 3(1)求分数在 70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为 60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成
14、一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段 70,80)的概率 1 0.7 0.3.故0.310 0.03，解析：(1)分在数70,80)的率：内频为1 (0.010 0.015 0.015 0.025 0.005)10如图 D33 图 D33(2)平均分：为x 450.1 550.15 650.15 750.3 850.25 950.05 71.(3)由意，题60,70)分段的人：数数为0.1560 9.70,80)分段的人：数数为0.360 18.在 60,80)的生中抽取一容量学个为 6 的本，样60,70)分段抽取数2 人，分别记为m，n.在 70,80)分段抽取数4 人，分
15、别记为a，b，c，d.本中任取设从样2 人，至多有 1 人在分段数70,80)事件 为A，基本事件空包含的基本事件有：则间(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(c，d)共 15，种事件 则A 包含的基本事件有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共 9，种P(A)91535.(1)率分布直方的制按照前面的要点频图绘预览的步行得注意的是，在率分布直方中，表示骤进值频图纵轴“率频距组”，据落在各小的率用小矩形的面表示，各小数组内频积矩形的面和等于 积总1.(2)由率分布直方估本的字特征：率频图计样数时众数
16、为频分布直方中最高矩形的底中点的坐，中位平分图边横标数为频率分布直方面且垂直于的直交点的坐；图积横轴线与横轴横标平均等于率分布直方中每小矩形的面乘以小矩形底数频图个积边中点的坐之和横标【互动探究】4 (2011 年广佛山东质检)为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为 100 分根据广东省标准，体能素质测试成绩在 85,100 之间为优秀；在 75,85)之间为良好；在 65,75)之间为合格；在(0,60)之间，体能素质为不合格现从佛山市某校高一年级的 900 名学生中随机抽取 30 名学生的测试成绩
17、如下：85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.(1)完成频率分布表和频率分布直方图，并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；(2)现用分层抽样的方法在该校高一年级共 900 名学生中抽取6 名学生，在上述抽取的 6 名学生中任取 2 名，求恰好抽到 1 名体能素质为优秀的学生的概率；(3)请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93，解：(1)分组 频数 率频 55,60)1 130 60,65)1 130 65,70)2
18、230 70,75)2 230 75,80)4 430 80,85)10 1030 85,90)6 630 90,95)3 330 95,100 1 130 合计 30 1 的有 900 300(人)图 D34如图 D34，根据抽，估校高一生中体能素秀样计该学质为优1030(2)在抽取的 设6 名生中任取 学2 名，恰好抽到 1 名体能素质秀的生的事件 为优学为A，抽取的 则6 名生中体能素秀学质为优的有103062(人)，作记a1，a2.非秀的有优203064(人)，作记b1，b2，b3，b4.基本事件有则15，如下：个(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，
19、b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)事件 A 包含的基本事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共 8个 所以恰好抽到 1 名体能素秀的生的率质为优学概为 P(A)815.(3)答下述三中的一即可对条条 估校高一生中体能素秀有计该学质为优1030900300(人)，占人的总数13.体能素良好的有质为1430900420(人)，占人的总数715，体能素秀或良好的共有质为优2
20、430900720(人)，占人的总数45.明校高一生体能素良好说该学质 估校高一计该学生中体能素不合格的有质为13090030(人)，占人的总数130.体能素合格的有质仅为530900150(人)，占人的总数16.体能素不合格或合格的共有质为仅为630900180(人)，占人的总数15.明校高一生体能素有待一步提说该学质进高，需加体育积极参锻炼 根据抽，估校高一生中体能素秀有样计该学质为优1030900300(人)，占总人的数13.体能素良好的有质为1430900420(人)，占人的总数715.体能素秀或良好的共有质为优2430900720(人)，占人的总数45.但体能素不合格或合格的共有质为
21、仅为630900180(人)，占人的总数15.明校高一生体能素良好，但仍有说该学质待一步提高，需加体育进还积极参锻炼 考点 3 茎叶图例 3：(2011 年广广州合东综测试)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔 1 小时抽一包产品，称其重量(单位：克)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图 15 1 4.图 15 1 4(1)根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克的概率解析：(1)x甲16(107111111113114
22、122)113.x乙16(108109110112115124)113.s2甲16(107113)2(111113)2(111113)2(113113)2(114113)2(122113)221.甲的品的重量相定车间产对较稳(2)乙从车间 6 件品中机抽取件，共有样随两15 不同的取法：种(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，(112,115)，(112,124)，(115,124)s2乙16(
23、108113)2(109113)2(110113)2(112113)2(115113)2(124113)2883.x甲x乙，s2甲s2乙，设A 表示机事件随“所抽取的件品的重量之差不超 两样过 2克”，则A 的基本事件有 4：种(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)明确叶的据理本的据特征得尤茎图数对处样数显重要，而方差可以衡量本据的定性为样数稳故所求率概为P(A)415.【互动探究】5 (2010 年广广州越秀高三摸底东区)甲、乙两名同学在 5 次考数学试中，成绩统计用茎叶图表示如图 15 1 5，若甲、乙两)B人的平均成绩分别用 x甲，x乙表示，则下列
24、结论正确的是(A.x甲 x乙，且甲比乙成绩稳定B.x甲 x乙，且甲比乙成绩稳定D.x甲 x乙，且乙比甲成绩稳定 图 15 1 5易、易混、易漏错24 频率分布直方图中某区间的频率误认为该矩形的纵坐标的值例题：(2011 年浙江)某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图 15 1 6)根据频率分布直方图 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是 _ 图 15 1 6正解：次考中成小于该数学试绩60 分的生的率是学频(0.002 0.006 0.012)10 0
25、.2，成小于则绩60 分的生人：学数为0.23 000 600.答案：600【失误与防范】于率分布直方，容易出的有以关频图现错误下：两种 在算位于某的率，容易坐直接作其计区间频时将纵标当频率，是率等于矩形的面实际频该积 此中要求用本据特征去估体的情，而生题运样数计总况学容易因不仔而出求本据中成小于审题细现样数绩60 分的生人学数另外得注意的是所有的矩形的面之和等于 值积1.1 根据总体的情况采取适当的抽样方式，无论采用哪种抽样方式，必须保证在整个过程中每个个体被抽到的机会相等而系统抽样和分层抽样在高考中考得比较多2 对于每个个体所取不同数值较少的总体时，常用条形图表示其样本分布，而对于每个个体所取不同数值较多或无限的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布3 描述数据的数字特征平均数、众数、中位数、方差，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与平均数的离散程度4 近年来高考题倾向于以统计为载体来考察概率的相关知识，如例 2、例 3.
