1、完整版初中数学相似三角形经典练习难题易错题附详解相似三角形难题易错题 一填空题（共 2 小题）1如图所示，已知 AB EFCD ，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求 EF2如图， ?ABCD 的对角线相交于点 O，在 AB 的延长线上任取一点 E，连接 OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则 BF= _ 二解答题（共 17 小题）3如图所示在 ABC 中，BAC=120 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D求证： 4如图所示， ?ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证： 1
2、5一条直线截 ABC 的边 BC、CA 、AB（或它们的延长线） 于点 D、E、F求证： 6如图所示 P为ABC 内一点， 过 P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于 AB ，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d7如图所示梯形 ABCD 中，AD BC，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB ，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米， BC=20 厘米求 EF238已知：P 为?ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于 Q 点，求证： 9如图所示， 梯形 ABCD 中，ADBC，MN BC
3、，且 MN 与对角线 BD 交于 O若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求 MN 10P 为ABC 内一点，过 P 点作 DE，FG，IH 分别平行于 AB ，BC，CA（如图所示） 求证： 411如图所示在梯形 ABCD 中， ABCD，AB CD一条直线交 BA 延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=GH=HI=IJ ，求 DC：AB 12已知 P 为ABC 内任意一点，连 AP，BP，CP 并延长分别交对边于 D，E，F求证：（1） （2） 三者中，至少有一个不大于 2，也至少有一个不少于 213如
4、图所示 在ABC 中，AM 是 BC 边上的中线， AE 平分BAC ，BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F求证： EFAB 5614如图所示 P，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点， 且 BP=BQ ，BHPC 于 H求证： QHDH 15已知 M 是 RtABC 中斜边BC 的中点， P、Q 分别在AB 、AC 上，且 PMQM 求证：2 2 2PQ =PB +QC16如图所示在ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于 D，AE 平分CAB ，CF 平分BCD求证： EFBC 17如图所示在ABC 内有一点 P，满足APB= BPC=CPA若 2B=A+C，求
5、证：2PB =PA?PC（提示：设法证明PABPBC）7818已知：如图， ABC 为等腰直角三角形， D 是直角边 BC 的中点， E 在 AB 上，且 AE ：EB=2：1求证： CEAD 19如图所示， ABC 中， M 、N 是边 BC 的三等分点， BE 是 AC 边上的中线，连接AM 、AN ，分别交BE 于 F、G，求 BF： FG：GE 的值20.在 ABC 中， A B C=1 2 4求证1AB +1AC =1BC提示：要证明如1a +1b =1 c几何题的常用方法：比例法：将原等式变为a+bab =1c或a+ba =bc，故构造成以 a+b、b 为边且与a、c 所在三角形相
6、似的三角形。 通分法：将原等式变为ca +cb = 1，利用相关定理将两个个比通分即：ca=md，cb=nb，且 m + n = d，则原式成立。92013 初中相似三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共 2 小题）1如图所示，已知 AB EFCD ，若 AB=6 厘米， CD=9 厘米求 EF考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：计算题分析：由 于 BC 是ABC 与DBC 的公共边，且AB EFCD，利用平行线分线段成比例的定理，可求 EF解答：解 ：在 ABC 中，因为EFAB ，所以 EF： AB=CF ：CB，同样，在 DBC 中有 EF：CD=BF ：CB，+得 EF：AB+EF
7、 ：CD=CF ：CB+BF ：CB=1设EF=x 厘米，又已知 AB=6 厘米， CD=9 厘米，代入 得x：6+x：9=1，解得 x= 故 EF= 厘米点评：考 查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算2如图， ?ABCD 的对角线相交于点 O，在 AB 的延长线上任取一点 E，连接OE 交 BC 于点 F若 AB=a ，AD=c ，BE=b，则BF= 考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：计算题分析：首 先作辅助线：取 AB 的中点 M ，连接OM ，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得： EFBEOM 与 OM 的值，利用相似三角形的对应边
8、成比例即可求得 BF 的值解答：解 ：取 AB 的中点 M ，连接OM，四边形 ABCD 是平行四边形，10AD BC，OB=OD ，OM ADBC，OM= AD= c，EFBEOM ， ，AB=a ，AD=c ，BE=b ，ME=MB+BE= AB+BE= a+b， ，BF= 故答案为： 点评：此 题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识 解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17 小题）3如图所示在ABC 中，BAC=120 ，AD 平分BAC 交 BC 于 D求证： 考点 ：相 似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题 ：证 明题分析：过D 引
9、 DEAB ，交 AC 于 E，因为 AD 平分BAC（ =120），所 以 BAD= EAD=60 若引 DEAB ，交 AC 于 E，则ADE 为正三角形， 从而 AE=DE=AD ，利用 CED CAB ，可实现求证的目标解答：证 明：过D 引 DEAB ，交 AC 于 EAD 是BAC 的平分线， BAC=120 ，BAD= CAD=60 又BAD= EDA=60 ，所以ADE 是正三角形，EA=ED=AD 由于 DEAB ，所以 CEDCAB ， = = =1由，得 =1，11从而 + = 点评：本 题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定， 考查了等边三角形的
10、判定，考查了角平分线的性质，本题中求证 CEDCAB 是解题的关键4如图所示， ?ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点， E为AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F，EO 延长线交 AB 于 G求证： 考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：证 明题分析：应 利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中 ”到一个三角形中来求证解答：证 明：延长 CB 与 EG，其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB 在 EIH 中，由于 DFIH ， = IH=AB ， = ，从而，= = =1+ 在 OED 与OBH 中，DOE= BOH，OED= OH
11、B ，OD=OB ，OEDOBH （AAS ）从而 DE=BH=AI ， =1由，得=2点评：此 题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握， 此题的关键是延长 CB 与 EG，其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形 AIHB 这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题125一条直线截 ABC 的边 BC、CA、AB （或它们的延长线）于点 D、E、F求证： 考点 ：三 角形的面积专题 ：证 明题分析：连 接 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证解答：证 明：如图，连接 BE、AD ，BDE 与DCE 等高， = ，DCE 与ADE
12、 等高， = ，ADF 与BDF 等高， = ，AEF 与BEF 等高， = ， = ， ? ? = ? ? =1点评： 此 题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接 BE、AD ，并把线13段之比转化为两三角形面积之比6如图所示 P为 ABC 内一点，过P 点作线段 DE，FG，HI 分别平行于 AB ，BC 和 CA ，且 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 求 d考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题 ：计 算题分析：由 FGBC，HI CA ，EDAB ，易证四边形 AIPE 、四边形 BDPF、四边形 CGPH 均
13、是平行四边形， 利用平行线分线段成比例定理的推论可得 IHB AFG ABC ，于是 =， = ，再结合= ，先计算式子右边的和，易求 + + = =2，从而有 + + =2，再把 DE=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450 ，CA=425 代入此式，解即可解答：解 ：FGBC，HICA， EDAB ，四边形 AIPE 、四边形 BDPF 、四边形 CGPH 均是平行四边形，IHB AFG ABC ， = ， = ， + + = ，又DE=PE+PD=AI+FB ，AF=AI+FI ，BI=IF+FB ，DE+AF+BI=2 （AI+IF+FB ） =2AB ， + + = =2，D
14、E=FG=HI=d ，AB=510 ，BC=450，CA=425 ， + + = + + =2， + + =2，解得 d=306点评：本 题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质147如图所示梯形 ABCD 中，AD BC，BD ，AC 交于 O 点，过 O 的直线分别交 AB ，CD于 E，F，且 EFBCAD=12 厘米， BC=20 厘米求 EF考点 ：平 行线分线段成比例分析：由平行线的性质可得 = = = ，得出 OE 与 BC，OF 与 AD 的关系，进而即可求解 EF 的长解答：解 ：AD BC，EFBC， = = = ，又 = = ，
15、 = = ，OE= BC= ，OF= AD= ，EF=OE+OF=15 点评： 本 题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题8已知：P 为?ABCD 边 BC 上任意一点， DP 交 AB 的延长线于 Q 点，求证： 考点 ：相 似三角形的判定与性质专题 ：证 明题分析：由于 AB=CD ，所以将 转化为 ，再由平行线的性质可得 = ，进而求解即可解答：证 明：在平行四边形 ABCD 中，则 AD BC，AB CD， = = = = =1点评： 本 题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握9如图所示， 梯形 ABCD 中，ADBC，MN
16、 BC，且 MN 与对角线 BD 交于 O若 AD=DO=a ，BC=BO=b ，求 MN 15考点 ：相 似三角形的判定与性质；梯形专题 ：计算题分析：由 平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段 MN 的长解答：解：MN BC，在 ABD 中， = ，即 OM= = ，同理 ON= = ，MN=OM+ON= 点评：本 题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握10 P为ABC 内一点，过P 点作 DE，FG，IH 分别平行于AB ，BC， CA（如图所示） 求证： 考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：证 明题分析：（ 1）由平行线可得 PIFCAB ，得
17、出对应线段成比例， 即 = = ，同理得出= = ，即可证明结论；（ 2）证明方法与（ 1）相同解答：证 明：（ 1）DEAB ，IHAC ，FGBC，可得 PIFCAB ， = = ，同理 = = ，16+ + = + + =1（2）仿（ 1）可得 = = ， = = = ， + + = + + =1点评： 本 题主要考查了平行线的性质问题， 能够利用其性质通过线段之间的转化， 证明一些简单的结论11如图所示在梯形 ABCD 中， ABCD，AB CD一条直线交 BA 延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD 于 F，交 BD 于 G，交 AC 于 H，交 BC 于 I已知 EF=FG=
18、GH=HI=IJ ，求 DC：AB 考点 ：相 似三角形的判定与性质；梯形专题 ：计 算题分析： 由 平行线可得对应线段成比例，又由已知 EF=FG=CH=HI=IJ ，可分别求出线段 AB 、CD 与 AE、CJ 的关系，进而可求解结论解答：解 ：AB CD，EF=FG=CH=HI=IJ ， = = ， = = ， = = ，DJ=4AE ，又 = ，解得 AB= AE ，又 AE= CJ，AB= CJ，EB=4CJ ，= = ，CD=5CJ ，AB ：CD= ：5=1：2点评： 本 题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题， 应熟练掌握1712已知 P为ABC 内任
19、意一点，连AP，BP，CP 并延长分别交对边于 D，E，F求证：（1） （ 2） 三者中，至少有一个不大于 2，也至少有一个不少于 2考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：证 明题分析：（ 1）第一问可由三角形的面积入手，即 PBC+PAC+PAB=ABC ，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解（ 2）由（ 1）中得出 ，则其中至少有一个不大于 ，可设 ，即3AD PD，而 AD=AP+PD ，进而通过证明即可得出结论解答：解 ：（1）由面积概念得：SPBC+SPAC+SPAB=SABC整理等式得：+ + =1，由面积概念得：= ， = ， = ，即 = 同理得：= = 把式、代入式
20、得：18；（ 2）由 ，知 ， ， 中至少有一个不大于 ，不妨设 即 3AD PD而 AD=AP+PD ，AP 2PD， 2，即 不小于 2，同理可证三式中至少有一个不大于 2点评：本 题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系， 能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如图所示 在ABC 中，AM 是 BC 边上的中线， AE 平分BAC ，BDAE 的延长线于 D，且交 AM 延长线于 F求证： EFAB 考点 ：相 似三角形的判定与性质；角平分线的性质专题 ：证 明题分析：利 用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明 MEF MAB ，从而 EFA
21、B解答：证 明：过B 作 BGAC 交 AE 的延长线于 G，交 AM 的延长线于 HAE 是BAC 的平分线，BAE= CAEBGAC ，CAE= G，BAE= G，BA=BG 又 BD AG，ABG 是等腰三角形， ABF= HBF ，F 到 AB 与 BH 的距离相等，SABF：SHBF=AB ：BH ，SABF：SHBF=AF ：FH，AB ：BH=AF ：FH又 M 是 BC 边的中点，且 BHAC，易知 ABHC 是平行四边形，从而 BH=AC ，19AB ：AC=AF ：FHAE 是ABC 中BAC 的平分线，AB ：AC=BE ：EC，AF ：FH=BE ：EC，即（ AM+M
22、F ）：（AMMF）=（BM+ME ）：（BMME）（这是因为ABHC 是平行四边形，所以 AM=MH 及 BM=MC ）由合分比定理，上式变为 AM ：MB=FM ： ME在 MEF 与MAB 中，EMF= AMB ，MEF MABABM= FEM ，所以 EFAB 点评：此 题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握， 证明此题的关键是过B 引 BGAC 交 AE 的延长线于 G，交 AM 的延长线于 H和利用合分比定理14如图所示 P，Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB ，BC 上的点， 且 BP=BQ ，BHPC 于 H求证： QHDH 考点 ：相 似三角形的判定与性
23、质；直角三角形的性质；正方形的性质专题 ：证 明题分析：要 证 QHDH，只要证明 BHQ= CHD 由于 PBC 是直角三角形，且 BH PC，熟知PBH= PCB，从而HBQ= HCD ，因而 BHQ 与DHC 相似解答：证 明：在 RtPBC 中，BH PC，PBC=PHB=90 ，PBH= PCB显然， RtPBCRtBHC ， = ，由已知， BP=BQ ，BC=DC ， = ， = ABC= BCD=90 ， PBH=PCB，HBQ= HCD 在 HBQ 与HCD 中， = ，HBQ= HCD ，HBQ HCD ，BHQ= DHC ，BHQ+ QHC= DHC+ QHC又 BHQ+
24、 QHC=90 ，QHD= QHC+DHC=90 ，20即 DH HQ 点评：本 题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法15已知 M 是 RtABC 中斜边 BC 的中点， P、Q 分别在AB 、AC 上，且 PMQM 求证：2 2 2PQ =PB +QC考点 ：直 角三角形斜边上的中线；勾股定理专题 ：证 明题分析：以 M 点为中心，MCQ 顺时针旋转 180至 MBN ，根据旋转的旋转可得 MCQ 与MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得 BN=QC ，MN=MQ ，全等三角形对应角相等可得，MBN= C，再连接PN，可以证明 PM 垂直平
25、分 NQ，所以 PN=PQ，然后证明PBN 为直角三角形，根据勾股定理即可证明解答：证 明：如图，以 M 点为中心， MCQ 顺时针旋转 180至 MBN ，MCQ MBN ，BN=QC ，MN=MQ ，MBN= C，连接PN，PMQM ，PM 垂直平分 NQ ，PN=PQ ，ABC 是直角三角形， BC 是斜边，ABC+ C=90，ABC+ MBN=90 ，即 PBN 是直角三角形，2 2根据勾股定理可得， PN=PB +BN2 2 2PQ =PB +QC2，点评：本 题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以 PQ、PB、QC 转化为同一个直角三角形的
26、三边是证明的关键16如图所示在ABC 中，ACB=90 ，CDAB 于 D，AE 平分CAB ，CF 平分BCD求证： EFBC 21考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行线的判定专题 ：证 明题分析：由 题中条件可得 AC=AF ，即 ACF 是等腰三角形， 所以 EC=EF，进而得出ECF=EFC，结论得证解答：证 明：ACB=90 ，CDAB ，CAD= BCD ，又 AE 平分CAB ，CF 平分BCD，BCF=CAE，B= ACD ，B+ECF=B+BCF，即ACF= AFC ，又 AE 平分CAB ，AC=AF ，CE=EF，即ECF=EFC，EFC=BCF，即 EFBC点评：本
27、题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握17如图所示在 ABC 内有一点 P，满足APB= BPC=CPA若 2B=A+C，求证：2PB =PA?PC（提示：设法证明 PABPBC）考点 ：相 似三角形的判定与性质专题 ：证 明题分析：用 APB= APC=120， CBP=BAP 两个对应角相等证明 PABPBC，根据相似比可证到结论解答：证 明：APB=120 ，ABP+ BAP=60 ，又 ABC=60 ，ABP+ CBP=60，CBP=BAP ，又 APB= APC=120 ，ABP BCP， = ，2BP=PA?PC点评：本 题考查相似三角形的判定和性质定理， 先用判定定理
