1、绝密考研数学完整版及参考答案docx2019 考研数学完整版及参考答案一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .（1）设函数 y f ( x) 具有二阶导数， 且 f ( x ) 0, f ( x ) 0 ， x 为自变量 x在点 x0 处的增量， y与 d y 分别为 f ( x ) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 x 0 ，则（ ）(A) 0 dy y . (B) 0 y dy .(C) y dy 0 . (D) dy y 0 .x（2）设 f ( x ) 是奇函数，除x0 外处处连续，
2、x0 是其第一类间断点，则（ A）连续的奇函数 .（B）连续的偶函数（C）在 x0 间断的奇函数（D）在 x0 间断的偶函数 .（3）设函数 g ( x )可微， h(x)e1 g(x) , h (1)1,g (1)2，则 g(1)等于（ A） ln31.（B）ln3 1.（ C）ln 21.（D） ln 21.（4）函数 yC1exC2e 2xxex 满足的一个微分方程是（ A）yy2y3 ex.（B）yy2 3ex.xy（ C）yy2y3 ex.（D）yy2y3ex.x（5）设 f ( x, y) 为连续函数，则04 d10 f (r cos, r sin)rdr 等于（）21x 2f (
3、 x, y)d y .（ B）2dx1x 2（）02 dx20f ( x, y)d y .x021 y221y2(C)2dyf ( x, y)dx .(D)2 d yf ( x, y )d x .y000f (t )dt 是0（ ）（6）设 f ( x , y )与( x , y ) 均为可微函数，且y(,y)0 ，已知 (x , y )是 f ( x, y) 在约束x0 0条件 ( x , y )0 下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A)若 f x(x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0 .(B)若 f x(x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )
4、0 .(C)若 f x ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0.(D)若 f x ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0.（7）设 1, 2,L , s均为 n维列向量， A 为 m n矩阵，下列选项正确的是 (A)若 1, 2 ,L , s线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s线性相关 .(B)若 1, 2 ,L , s线性相关，则 A 1, A 2 ,L , A s线性无关 .(C)若 1, 2 ,L , s线性无关，则 A 1, A 2 ,L , A s 线性相关 .(D)若 1, 2 ,L , s线性无关，则 A 1, A
5、2 ,L , A s 线性无关 .（8）设A为 3阶矩阵，将A的第 2行加到第1 行得B，再将B的第 1列的1倍加到第1102 列得 C ，记 P010，则（）001（） CP 1 AP .（） CPAP1 .（） CPT AP .（） CPAP T .一填空题（9）曲线 yx4sinx的水平渐近线方程为2cos x5 x1x2sin tdt, x0在 x0 处连续，则 a（10）设函数 f ( x)x30a,x0（11）广义积分xdx.0(1 x2 )2（12） 微分方程 yy (1x ) 的通解是x（13）设函数 yy( x) 由方程 yydy1 xe 确定，则dxx 0（14）设矩阵 A
6、21， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵B 满足 BAB 2E ，则12B .三 、解答题： 15 23 小题，共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（15）（本题满分 10 分）试确定 A, B,C 的值，使得ex(1 Bx Cx2 ) 1 Ax o(x3 ) ，其中 o(x3)是当 x 0 时比 x 3 高阶的无穷小 .（16）（本题满分 10 分）求arcsinex dx. ex（17）（本题满分 10 分）设区域 D( x, y ) x2y 21, x1xydxdy.0 ， 计算二重积分22D 1 xy（18）（本题满分12 分）设数列 xn满足 0 x1, xn 1
7、sinxn (n 1,2,L )（）证明 lim xn 存在，并求该极限；n1（）计算 lim xn 1 x2n .nxn（19）（本题满分 10 分）证明：当 0 a b 时，b sin b2cos bba sin a2cosaa .（20）（本题满分 12分）设函数 f ( u) 在 (0,) 内具有二阶导数，且z fx 2y 2 满足等式2 z2 z0.x 2y2（ I ）验证 f ( u )f ( u )0 ；u（ II ）若 f (1)0,f (1)1 ，求函数 f ( u ) 的表达式 .（21）（本题满分 12分）已知曲线 L 的方程xt21,y4tt 2(t 0)（ I ）讨论
8、 L 的凹凸性；（ II ）过点 ( 1,0) 引 L 的切线，求切点 (x0, y0) ，并写出切线的方程；（ III ）求此切线与 L（对应于 x x0 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积 .（22）（本题满分 9 分）已知非齐次线性方程组x1x2x3 x414x13x25x3x41ax1x23x3bx41有 3 个线性无关的解 .（）证明方程组系数矩阵A 的秩 rA 2；（）求 a , b 的值及方程组的通解 .（23）（本题满分 9 分）设 3A 的各行元素之和均为3, 向量TT阶实对称矩阵11,2, 1 , 20, 1,1 是线性方程组 Ax 0 的两个解 .( )求 A 的特
9、征值与特征向量；( )求正交矩阵 Q 和对角矩阵, 使得 QT AQ.数学答案1. A 【分析 】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解 .【详解 】由 f ( x)0, f ( x)0 知，函数 f ( x) 单调增加，曲线yf ( x) 凹向，作函数y f ( x) 的图形如右图所示，显然当x0 时，y dyf (x0 )dx f (x0 ) x 0，故应选 ( ).【评注 】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法. 本题还可用拉格朗日定理求解：y f (x0x) f (x0 ) f ( ) x, x0x0x因为 f( x)0 ，所以 f (
10、x) 单调增加，即 f( )f (x0 ) ，又x 0 ，则y f ( ) x f (x0 ) x dy 0，即 0 dy y .定义一般教科书均有， 类似例题见 数学复习指南 （理工类） P.165【例 6.1 】，P.193【（）】 .2.B【分析 】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题xf (t )dt ，然后选择正确选项 .设条件的特殊函数f ( x ) 去计算 F ( x)0【详解 】取f ( x)x, x01,x.0则当 x 0 时， F ( x)xxtdt1lim x2 2 1 x 2 ，f (t)d tlim00202而 F (0) 0 lim
11、F ( x) ，所以 F ( x) 为连续的偶函数，则选项（）正确，故选（） .x0【评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效 .符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见 2006 文登最新模拟试卷（数学三） （8） .3. C 【分析 】题设条件h(x) e1 g (x) 两边对 x求导 , 再令 x1 即可 .【详解 】 h(x) e1g( x) 两边对 x求导 , 得h (x)e1 g(x) g (x) .上式中令 x1 ，又 h (1)1, g (1)2 ，可得1 g (1)1g (1)g(1)，故选（ C
12、） .1 h (1) eg (1)2eln2 1【评注 】本题考查复合函数求导，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学 第 2 讲第 2 节【例 12】，数学复习指南理工类 P.47 【例 2.4 】，数学题型集粹与练习题集理工类P.1 【典例精析】 .4.D【分析 】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系 . 故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式 .【详解 】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为1 1, 22.则对应的齐次微分方程的特征方程为(1)(2)0,即 2
13、20 .故对应的齐次微分方程为yy 2 y0 .yx而1为特征单根， 故原非齐次线性微分方程右端又 *ex 为原微分方程的一个特解，的非齐次项应具有形式fxCC为常数） . 所以综合比较四个选项，应选（D） .( )ex （【评注 】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式.完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第7 讲第 2 节【例 9】和【例 10】，数学复习指南 P.156 【例 5.16 】，数学题型集粹与练习题集 （理工类） P.195（题型演练 3），考研数学过关基本题型（理工类）P.126
14、【例 14】及练习 .5. C 【分析 】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可 .【详解 】 由题设可知积分区域 D 如右图所示，显然是 Y 型域，则221 y原式2 dyf ( x, y)dx .0y故选（） .【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形 .完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第 10 讲第 2 节例 4，数学复习指南（理工类） P.286 【例 10.6 】，考研数学过关基本题型 （理工类） P.93 【例 6】及练习 .6. D【分析 】 利用拉格朗日函数 F ( x, y
15、,)f ( x, y )( x, y) 在 (x0 , y0,0)（ 0 是对应x0 , y0 的参数的值）取到极值的必要条件即可 .【详解 】 作拉格朗日函数 F ( x, y ,)f ( x, y )( x, y) ，并记对应 x0 , y0 的参数的值为0 ，则Fx ( x0 , y0 , 0 ) 0fx (x0 , y0 )0 x ( x0 , y0 ) 0， 即.Fy (x0 , y0 , 0 ) 0fy (x0 , y0 )0 y (x0 , y0 ) 0消去0 ，得fx ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )0
16、 ,1f y ( x0 , y0 )x ( x0 , y0 ) . （因为y ( x , y )0 ），整理得f x (x0 , y0 )y ( x0 , y0 )若 fx ( x0 , y0 )0 ，则 f y ( x0 , y0 )0. 故选（） .【评注 】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见数学复习指南（理工类） .251定理 1 及 .253条件极值的求法 .7. A 【分析 】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解 】 记 B ( 1, 2 ,L , s) ，则 (A 1, A 2 ,L , A s) AB.所以，若向量组1, 2
17、,L , s线性相关，则r ( B)s ，从而 r ( AB )r ( B )s ，向量组A 1 , A 2 ,L , A s 也线性相关，故应选( ).【评注 】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论 .8. B【分析 】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得【详解 】由题设可得.110110110110B 010A,C B 010010A 010，001001001001110而 P 1010，则有 CPAP 1 . 故应选（） .001【评注 （】）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行 （列）变换，
18、相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见数学复习指南（理工类） P.381 【例 2.19 】，文登暑期辅导班线性代数第 2讲例 12.9. 【分析 】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.4sin x【详解 】limx4sin xlim1x1 .x5x2cos xx2cos x55x故曲线的水平渐近线方程为y1 .5【评注】本题为基本题型， 应熟练掌握曲线的水平渐近线， 垂直渐近线和斜渐近线的求法. 注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班 高等数学 第 6 讲第 4 节【例 12】，数
19、学复习指南（理工类） P.180 【例 6.30 】，【例 6.31 】 .10. 【分析 】本题为已知分段函数连续反求参数的问题. 直接利用函数的连续性定义即可 .【详解 】 由题设知，函数f ( x)在 x 0 处连续，则lim f ( x)f (0) a ，x0x2dtsint2lim 0lim sin x1又因为lim f (x)x3.x 0x 0x 0 3x23所以 a1 .3【评注 】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手. 本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班高等数学第1 讲第 1 节【例13】，数学复习指南（理工类） P.35 【例 1.51 】 .88 年， 89 年， 94 年和 03 年均考过该类型的试题，本题属重点题型 .11. 【分析 】利用凑微分法和牛顿莱布尼兹公式求解 .xdx1b d(1+x2 )11b1111【详解 】lim0 (1 x2 )2lim0lim2.0 (1 x2 )22 b2 b1+x22 b 1+b22【评注 】 本题属基
