1、第四章 理论分布与抽样分布,为了便于理解统计分析的基本原理，正确掌握和应用统计分析方法，本章在介绍概率论中最基本的两个概念事件、概率的基础上，重点介绍科学研究中常用的几种随机变量的概率分布正态分布、二项分布、波松分布以及样本平均数的抽样分布和t分布。,1.1 事 件1.1.1 必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：,1 事件与概率,必然现象：事前可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生的（或必然不发生）。,随机现象：事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，
2、其结果未必相同（带有偶然性和不确定性）。有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的、特定的规律性频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。,1.1.2 随机试验与随机事件（1）随机试验 通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（trial）。当一个试验如果满足下述三个特性，则称其为一个随机试验（random trial），简称试验。,试验可以在相同条件下多次重复进行；每次试验的可能结果不止
3、一个，并且事先知道会有哪些可能的结果；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。,（2）随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，称为随机事件（random event），简称事件(event），通常用A、B、C 等来表示。a 基本事件 不能再分的事件（elementary event），也称为样本点（sample point）。,例如，从编号为1、2、3、10 的十个篮球中随机抽取1个篮球，有10种不同的可能结果：“取 得 一 个 编 号 是 1”、“取得一个编号是2”、“取得一个编号是10”，这10个事件都是
4、不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为 复合事件（compound event）。如“取得一个编号是 2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个编号是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5 个基本事件组合而成。,b 必然事件 在一定条件下必然会发生的事件（certain event），用表示。例如，一个大气压下，水加热到100C，水会沸腾；种瓜得瓜、种豆得豆。,c 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件（impossible event），用表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出小鸡，就是一个不可能事件。必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，它
5、们不是随机事件，但 是为了方便起见，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。,1.2.1 概率统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这个指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，称之为概率（probability）。事件A 的概率记为P（A）。,概率：刻划事件发生可能性大小的数量指标,1.2 概 率,统计概率定义：在相同条件下进行 n 次重复试验，如果随机事件A 发生的次数为 m，那么 m/n 称为随机事件 A 的频率（freq
6、uency）；当试验重复数 n 逐渐增大时，随机事件 A 的频率越来越稳定地接近某一数值 p，那么就把 p 称为随机事件 A 的概率。,如此定义的概率称为统计概率（statistics probability），或者称后验概率（posterior probability）。,例：为了确定抛掷一枚硬币出现正面朝上这个事件的概率，历史上有人作过成千上万次抛掷硬币的试验。下表列出了他们的试验记录。,可看出，随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确得到的。通常以试验次数 n 充分大时随机事件 A
7、的频率作为该随机事件概率的近似值。即 P（A）=pm/n（n 充分大）,1.2.2 概率的性质（1）对于任何事件A，有0P（A）1；（2）必然事件的概率为1，即P（）=1；（3）不可能事件的概率为0，即P（）=0。,2.1 随机变量,描述随机事件的变量称为随机变量。随机变量的取值在一次试验前不能确定，具有随机性。做一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量 x 的取值，则试验结果可用变量 x 来表示。【例】对10种品牌袋装奶粉进行质量检测，其可能结果是“0种合格”、“1种合格”、“2种合格”、“”、“10种袋装奶粉都合格”。若用 x 表示袋装奶粉合格品牌数，
8、则 x 的取值为0、1、2、10。,2、概率分布,事件的概率表示一次试验某一个结果发生的可能性大小。必须知道随机试验的概率分布。,【例】食品加工中高温杀菌可能结果只有两种，即“全部杀死细菌”与“未能全部杀死细菌”。若用变量 x 表示试验的两种结果，则可令x=0表示“未能全部杀死细菌”，x=1表示“全部杀死细菌”。【例】测定关中地区不同小麦品种的蛋白质含量，其蛋白质含量在9.3-13.5之间，如用 x 表示测定结果，那么 x 值可以是这个范围内的任何实数。,离散型随机变量：如果表示试验结果的变量x，其可能取值为可列个，且以各种确定的概率取这些不同的值(discrete random variab
9、le)；连续型随机变量：如果表示试验结果的变量x，其可能取值为某范围内的任何数值，且x 在其取值范围内的任一区间中取值时，其概率是确定的(continuous random variable)。,试验结果和取此结果的概率可以一一列出。,不能列出试验结果和取此结果的概率，只能给出一定范围和在此范围内取值的概率。,要了解离散型随机变量x的统计规律，就必须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。离散型随机变量x的概率分布或分布，常用分布列(distribution series)来表示：如果我们将离散型随机变量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=p
10、i i=1,2,(33),2.2 离散型随机变量的概率分布,从分布列可以一目了然看出随机变量X的可能取值及取这些值的概率。离散型随机变量的概率分布具有pi0和pi=1这两个基本性质。,100听罐头净重的次数分布,图为数据资料的频率分布直方图，图中纵座标取频率与组距的比值。如果样本取得越来越大(n+)，组分得越来越细(i0)，某一范围内的频率将趋近于一个稳定值 概率。这时，频率分布直方图各个直方上端中点的连线 频率分布折线将逐渐趋向于一条曲线。,频率分布密度曲线,连续型随机变量(如身高、体重等)的概率分布不能用分布列来表示，因为其可能取值是不可数的，不能一一列出。改用随机变量x在某个区间内取值的
11、概率P(axb)来表示。,2.3 连续型随机变量的概率分布,当n+、组距i 0时，频率分布折线的极限是一条稳定的函数曲线。对于样本是取自连续型随机变量的情况，这条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和测量的误差，完全反映了数据资料的变动规律。这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概率分布密度函数，简称分布密度。,上式 为连续型随机变量 x 在区间a,b上取值概率的表达式。连续型随机变量的概率由概率分布密度函数确定。,若变量X概率分布密度函数记为f(x)，则x取值于区间a,b）的概率为图中阴影部分的面积，即 P(axb)=,连续型随机变量概率分布的性质：分布密度函数总是大于或等于0，即f(x
12、)0；当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即(c为任意实数)所以，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值（点）的概率。,连续型随机变量某一点的概率为0。,随机变量x取值 在-x+范围内，所以,上式表示分布密度曲线与横轴所围成的区间全 部面积为1。,P(axb)=,随机变量X取a，b）区间值的概率为：,3 理论分布,3.1 二项分布 3.1.1 贝努利试验及其概率公式 贝努利试验：对于n次独立的试验，如果每次试验结果出现且只出现对立事件 A 与 之一，在每次试验中出现 A 的概率是常数p(0p1)，因而出现对立事件 的概率是1-p=q，则 称这一串重复的
13、独立试验为 n 重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials)。,重要的离散型分布,只有两种可能结果的随机试验称为贝努利试验,食品抽样中，产品合格或不合格，种子发芽或不发芽，施药后害虫死或活等等。,贝努利试验的概率公式,在贝努利试验中，事件A可能发生，也可能不发生，用随机变量x表示贝努利试验的两种结果，记A发生时取1，A不发生时取0。那么，贝努利试验的概率公式可以表示为：,也称为两点分布,在n重贝努利试验中，事件 A 可能发生0，1，2，n次，现在我们来求事件 A 恰好发生k(0kn)次的概率Pn(k)。事件A在n次试验中正好发生k次共有 种情况。由贝努利试验的独立性可知，A
14、在k次实验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为,3.1.2 二项分布的定义及其特点,一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为,k=0,1,2，n,把(3-1)式称作二项概率公式。,（3-1）,设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,，n，且有=k=0,1,2，n 其中p0，q0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomial distribution)，记为 xB(n，p)。,二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n 称为离散参数，只能取正整数；p 是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)
15、。,(1)二项分布定义,（5）,（3）,（4）,（m1m2）,(2)二项分布的特点 具有概率分布的一切性质，即：（1）P(x=k)=Pn(k)0(k=0,1,，n)（2）二项分布的概率之和等于1，即,二项分布由n和p两个参数决定，其特点是：（1）当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图所示；,图 n值不同的二项分布比较,图 p值不同的二项分布比较,（2）当 p 值 趋 于 0.5 时，分 布 趋于对称，如图所示；（3）对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。（4）在n较大，np、nq 较接近时，二项分布接近于正态分布；当n
16、时，二项分布的极限分布是正态分布。,（1）已知随机变量 x B(n，p)，求 x 正好有 k 次发生的概率。【例】有一批食品，其合格率为0.85，今在该批食品中随机抽取6份该食品，求正好有5份食品合格的概率？由题意可知，食品抽检结果有两种可能，合格与不合格，合格率为0.85，即P(A)=0.85，相应不合格率为P（）1-0.850.15，由概率公式得，正好有5个合格产品的概率为：,3.1.3 二项分布的概率计算及应用条件,（2）已知随机变量 x B(n，p)，求 x 最多发生 k 次的概率。例：有一批食品，其合格率为0.85，今在该批食品中随机抽取6份该食品，最多有4个合格的概率是多少？当产品
17、最多有k个合格时，即可能的合格数为0，1，2，k，那么为最多有k个合格产品的概率。在本例中，,二项分布的应用条件：（1）各观察单位只具有相互对立的一种结果，如合格或不合格，生存或死亡等等，非此即彼；（2）已知发生某一结果(如死亡)的概率为p，其对立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较稳定的数值；（3）n 次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其它观察单位的观察结果。,统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量x的平均数、标准差与参数n、p有如下关系。设x B(n，p)，那么，二项分布的总体特征数为：,均值=,标准差=,方差 2=,3.1.4 二项
18、分布的平均数与标准差,地信16,9.28,3.2 波松分布（Poisson distribution）,波松分布是一种可以用来描述和分析随机地发生在单位空间或时间里的稀有事件的概率分布。要观察到这类事件，样本含量 n 必须很大。稀有事件即是小概率事件，在生物、医学等研究中，服从波松分布的随机变量也是常见的。例如，正常生产线中单位事件生产出不合格产品个数，单位事件内机器出现故障的次数，每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，一批香肠中含有毛发的香肠数，1000袋面粉中含有金属物的袋数等等，都是服从或近似服从波松分布的。,若随机变量x(x=k)所有可能取值是非负整数，且其概率分布为 其中0；e
19、=2.7182，则称 x 服从参数为的波松分布(Poissons distribution)，记 为 x P()。,k=0，1，,3.2.1 波松分布的定义,是波松分布所依赖的唯一参数。值愈小分布愈偏倚，随着的增大，分布趋于对称。当=20 时分布接近于正态分布；当=50时可以认为波松分布呈正态分布。在实际工作中，当 20 时就可以用正态分布来近似地处理波松分布的问题。,波松分布为离散型随机变量的概率分布，其平均数和方差相等，都等于常数，即,3.2.2 波松分布重要的特征,=2=,图 不同的泊松分布,由波松分布的概率计算公式可以看出，依赖于参数 的确定，只要参数确定了，把k=0，1，2，代入即可
20、求得各项的概率。在大多数服从波松分布的实例中，分布参数往往是未知的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样本平均数作为 的估计值，将其代替计算公式中的，计算出 k=0，1，2，时的各项概率。,3.2.3 波松分布的概率计算,【例】为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数，共得400个记录如下表。试分析饮用水中细菌数的分布是否服从波松分布？若服从，按波松分布计算每毫升水中细菌数的概率及理论次数并将頻率分布与波松分布作直观比较。,经计算得每毫升水中平均细菌数=0.500,方差 S2=0.496。两者很接近，故可认为每毫升水中细菌数服从波松分布。以=0.500代替，得(k=0,1,2
21、)计算结果如表所示。,=2=,平均数采用加权法计算,如何计算,可见细菌数的频率分布与=0.5的波松分布是相当吻合的，进一步说明用波松分布描述单位容积(或面积)中细菌数的分布是适宜的。,细菌数的波松分布,注意，二项分布的应用条件也是波松分布的应用条件。比如二项分布要求n 次试验是相互独立的，这也是波松分布的要求。然而一些具有传染性的罕见疾病的发病数，因为首例发生之后可成为传染源，会影响到后续病例的发生，所以不符合波松分布的应用条件。对于在单位时间、单位面积或单位容积内，所观察的稀有事件由于某些原因分布不随机时，如细菌在牛奶中成集落存在时，不呈波松分布，不能用波松分布来描述其发生规律。,3.2.4
22、 波松分布应用条件,3.3 正态分布（normal distribution）,正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。自然现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的。如食品中各种成分的含量、有害物质残留量、瓶装食品的重量、分析测定过程中的随机误差等等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有十分重要的地位。,（地科16,9-28）,（1）正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 其中为平均数，2 为方差，则称随机变量 x 服从正态分布，记为x
23、N(,2)。相应的概率分布函数为,(3-3),3.3.1 正态分布的定义及其特征,图 正态分布密度（函数）曲线,正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=；f(x)在 x=处达到极大，极大值f(x)是非负函数，以 x 轴为渐近线，分布从-至+；曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+)区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的；正态分布有两个参数，即平均数和标准差。,（2）正态分布的特征,图 相同而不同的3个正态分布比较,是位置参数，如图所示。当恒定时，愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿x轴愈向左移动。,图3-6 相同而不同的3个正态分布比较大,是形状参数，
24、如图示。当恒定时，愈大，表示 x 的取值愈分散，曲线愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲线愈“瘦”。,分布密度曲线与横轴所围成的区间面积为1，即：,正态分布的次数多数集中在平均数的附近，离均数越远，其相应次数越少，在3以外的极少，这就是食品工业控制中的 3原理的基础。,正态分布是依赖于参数和2(或)的一簇分布，正态曲线的位置及形态随和2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难，通常将一般的N(，2)转 换为=0,2=1的正态分布。,3.3.2 标准正态分布,=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。,对于任何一个服从正态分布N(
25、,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换，u=(x-)将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u 称为标准正态变量或标准正态离差。,xN(,2),xN(0,1),标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作(u)和(u),0,1,随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1)，分布密度曲线如图所示。,（1）标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则u在u1，u2）内取值的概率为：(u2)(u1)(u1)与(u2)可由附表2查得。,3.3.3 正态分布的概率计算,例如，u=1.75时，由标准正态分布概率表可以查出(1.75)=0.9599 有时会遇到给定(u)值，例如(u)=0.284，反
26、过来查u值。这时只需在附表中找到与 0.284 最接近的值0.2843，对应查出相应的u值为 u=-0.57，即(-0.57)=0.284,【例3.7】已知uN(0，1)，试求：(1)P(u-1.64)?(2)P(u2.58)=?(3)P(u2.56)=?(4)P(0.34u1.53)=?,(1)P(u-1.64)=1-(1.64)=0.0505(2)P(u2.58)=1-(2.58)=0.0049(3)P(u2.56)=2（1-(2.56)）=20.0052=0.0104(4)P(0.34u1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93670-0.6331=0.3039,对于标准正态分布，
27、特殊区间的概率为：P（-1u1）=0.6826 P（-2u2）=0.9545 P（-3u3）=0.9973 P（-1.96u1.96）=0.95 P(-2.58u2.58)=0.99,U=（x-）/,标准正态分布的三个常用概率如图示,u变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(u1)=2(-1)=1-P(-1u1)=1-0.6826=0.3174 P(u2)=2(-2)=1-P（-2u2）=1-0.9545=0.0455 P(u3)=1-0.9973=0.0027 P(u1.96)=1-0.95=0.05 P(u2.58)=1-0.99=0.01,2.一般正态分布的概率计算 若随机变量 x 服从
28、正态分布N(,2)，则x的取值落在任意区间 x1,x2）的概率，记作P(x1 x x2)，等于图中阴影部分的面积。即：,图 正态分布的概率,对(3-18)式作变换u=(x-)，得dx=du，故有,(3-18),其中，,表明服从正态分布N(,2)的随机变量x 在 x1，x2）内取值的概率，等于服从标准 正态分布的随机变量u 在(x1-)/,(x2-)/）内取值的概率。因此，计算一般正态分布的概率时，只要将原区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求取某一区间的概率。,【例】已知xN（100，22），试求P(100 x102)？。,=P(0u1)=(1)-(0)=0.8
29、413-0.50000.3413,地信16,1013,【例】设x服从=30.26,2=5.102的正态分布，试求P(21.64x32.98)。令 则u服从标准正态分布，故=P(-1.69u0.53)=(0.53)-(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564,关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在加减不同倍数区间的概率)是经常用到的。,P(-x+)=P(-2x+2)=P(-3x+3)=P(-1.96x+1.96)=P(-2.58x+2.58)=,0.6826,0.9545,0.9973,0.95,0.99,在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差
30、区间（-k,+k）之内的概率，更关心的是x落在此区间之外的概率。把随机变量x 落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率（两尾概率），记作。对应于双侧概率，也可以求得随机变量 x 小于-k或大于+k的概率，称为单侧概率（一尾概率）,记作2。,图 两尾概率,研究总体与所抽取的样本之间的关系是统计学的中心内容。对这种关系的研究从两方面着手：一是从总体到样本，这就是研究抽样分布(sampling distribution)的问题；二是从样本到总体，这就是统计推断(statistical inference)问题。,4 抽样分布(地科15,9-29),统计推断是以总体分布和样本抽样分布的理
31、论关系为基础的。为了能正确地利用样本去推断总体，并能正确地理解统计推断的结论，必须对样本的抽样分布有所了解。由总体中随机地抽取若干个体组成样本，即使每次抽取的样本含量相等，其统计量(如，S)也将随着样本的不同而有所不同，因而样本统计量也是随机变量，也有其概率分布。我们把样本统计量的概率分布称为抽样分布。,由总体随机抽样(random sampling)的方法可两种：返置抽样：每次抽出一个个体后，这个个体返置回原总体；不返置抽样：每次抽出的个体不返置回原总体。对于无限总体，返置与否都可保证各个体被抽到的机会相等。对于有限总体，就应该采取返置抽样，否则各个体被抽到的机会就不相等。,4.1 样本平均
32、数的抽样分布,设有一个总体，总体平均数为,方差为2，总体中各变数为 x，将此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取样本数为 n 的样本，样本平均数记为。可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为 n 的样本。由这些样本算得的平均数有大有小，不尽相同，与原总体平均数相比往往表现出不同程度的差异。这种差异是由随机抽样造成的，称为 抽样误差(sampling error)。,设有一个总体，总体平均数为,方差为2，总体中各变量为 x，将此总体称为原总体。现从这个总体中随机抽取样本数为 n 的样本，样本平均数记为。可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个含量为 n 的样本。由这些样本算得的平均数
33、有大有小，不尽相同，与原总体平均数相比往往表现出不同程度的差异。这种差异是由随机抽样造成的，称为 抽样误差(sampling error)。,总 体,样 本,观测前,样本值1,样本值2,显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的总体称为样本平均数的抽样总体。其平均数和标准差分别记为 和。是样本平均数抽样总体的标准差，简称标准误(standard error)，它表示平均数抽样误差的大小。统计学上已证明 总体的两个参数与 x 总体的两个参数有如下关系：,(3-19),=，,（1）若随机变量x 服从正态分布N(2)，、是由 x 总体得来的随机样本，则统计量=xn 的概率分布也是正态分布，且有，即 N(,2n)。（2）若随机变量 x 服从平均数是，方差是2的分布(不是正态分布)；，是由此总体得来的随机样本，则统计量=xn的概率分布，当 n 相当大时逼
