1、特征值与特征向量定义与计算特征值与特征向量 特征值与特征向量的概念及其计算 定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵， 是一个未知量， 称为A的特征多项式，记 ( )=| E-A|，是一个P上的关于 的n次多项式，E是单位矩阵。 ( )=| E-A|= n+ 1 n-1+ n= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。 特征方程 ( )=| E-A|=0的根 (如： 0) 称为A的特征根(或特征值)。 n次代数方程在复数域有且仅有n 个根，而在实数域不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。 以A的特征值 0代入 ( E-A)X= ，得方程组 ( 0E-A)X= ，是一个
2、齐次方程组，称为A的关于 0的特征方程组。因为 | 0E-A|=0，( 0E-A)X= 必存在非零解X(0) ，X(0) 称为A的属于 0的特征向量。所有 0的特征向量全体构成了 0的特征向量空间。 一. 特征值与特征向量的求法 对于矩阵A，由AX= 0X， 0EX=AX，得： 0E-AX= 即齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是： 即说明特征根 是特征多项式 | 0E-A| =0的根，由代数基本定理 有n个复根 1, 2, n，为A的n个特征根。 当特征根 i (I=1,2,n)求出后，( iE-A)X= 是齐次方程， i均会使 | iE-A|=0，( iE-A)X= 必存在非零解，且有
3、无穷个解向量，( iE-A)X= 的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。 例1. 求矩阵 的特征值与特征向量。 解：由特征方程 解得A有2重特征值 1= 2=-2，有单特征值 3=4 对于特征值 1= 2=-2，解方程组 (-2E-A)x= 得同解方程组 x1-x2+x3=0 解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量) 分别令自由未知量 得基础解系 所以A的对应于特征值 1= 2=-2的全部特征向量为 x=k1 1+k2 2 (k1,k2不全为零) 可见，特征值 =-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数 特征根的重数。 对于特征值 3=4，方程组
4、 (4E-A)x= 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=2 得基础解系 所以A的对于特征值 3=4 得全部特征向量为 x= k3 3 例2. 求矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A有单特征值 1=1，有2重特征值 2= 3=0 对于 1=1，解方程组 (E-A) x = 得同解方程组为 同解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 所以A的对应于特征值 1=1的全部特征向量为 x=k1 1 (k1 0) 对于特征值 2= 3=0，解方程组 (0E-A)= 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 此处，二重根 =0 的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数
5、特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。 所以A的对应于特征值 2= 3=0 得全部特征向量为 x=k2 3 例3 矩阵 的特征值与特征向量 解：由特征方程 解得A的特征值为 1=1, 2=i, 3=-i 对于特征值 1=1，解方程组 (E-A)= ，由 得通解为 令自由未知量 x1=1，得基础解系 1=(1,0,0)T，所以A的对应于特征值 1=1得全部特征向量为 x=k1 1 对于特征值 2=i，解方程组 (iE-A)= 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 2=(0,i,1)T，所以A对应于特征值 2=1的全部特征向量为 x=k2 2 (k2 0)。 对于特征值
6、3=-i，解方程组 (-E-A)x= ，由 得同解方程组为 通解为 令自由未知量 x3=1，得基础解系 3=(0,-i,1)T，所以A的对应于 3=-i的全部特征向量为 x=k3 3 。特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。 特征向量只能属于一个特征值。而特征值 i的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组 ( iE-A)x= 的非0解。其中，方程组( iE-A)x= 的基础解系就是属于特征值 i的线性无关的特征向量。 性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为 1， 2，, n(包括重根)，则 证第二个式子： 由伟达定理， 1 2 n=(-1)n n 又 | E-A|= n+
7、1 n -1+ n-1 1+ n 中用 =0 代入二边，得： |-A|= n， 而 |A|=(-1)n n= 1 2 n， 性质2. 若 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证： 可见 是A-1的一个特征根。 其中 0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若 i=0, |A|= 1 2 n=0，A奇异，与A可逆矛盾。 性质3. 若 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 m是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。 证：1) Ax= x，二边左乘A，得：A2x=A x= Ax= x= 2x， 可见 2 是 A2 的特征根； 2)
8、 若 m 是 Am 的一个特征根，Amx= mx， 二边左乘A，得：Am+1x=AAmx=A mx= mAx= m x= m+1x， 得 m+1是Am+1的特征根 用归纳法证明了 m 是 Am 的一个特征根。 性质4. 设 1， 2，, m是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于 i 的特征向量( i=1,2,m)，则 x1,x2,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。 性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。 性质4可推广为：设 1， 2，, m为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,x1,k1是属于 1的线性无关特征向量，xm1,xm2,xm,k1是属于 m 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,x1,k1, xm1,xm2,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
