1、无私奉献03年高考数学试题和答卷评价词清平乐禁庭春昼，莺羽披新绣。百草巧求花下斗，只赌珠玑满斗。日晚却理残妆，御前闲舞霓裳。谁道腰肢窈窕，折旋笑得君王。03年高考数学试题和答卷评价华南师范大学 王林全（广州,510631，） 引言. 我们处于一个改革变化的时代, 教育的理念,思维的方式都在发生变化, 03年高考数学试题（下称03年试题）反映了这种变化, 它向传统的教学方式提出了挑战.本文着重评价03年试题特色和答卷的有关问题1. 03年高考数学试题的特点1.1 根据大纲，重视基础，要求熟练03年试题按照考纲、大纲和现行课本要求命题.考题内容基本上没有超过课本与大纲。 考查的知识面比较宽阔. 涉
2、及代数，三角，立体几何，平面解析几何等多方面， 要求对基础知识有相当的熟练程度。如（12）题, 如果对正三棱锥的图形特点和数量关系没有相当熟练的掌握, 是不易做出来的.例1第（12）题. 一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为 (A) 3 (B)4 (C)3 (D)6分析: 如图1, 设正四面体P-ABC的外接球球心为O, 外接球半径为R, 则点O在四面体的高PO上(O是垂足), O在正ABC中AB的高CD上, 已知PA=PB=PC=AB=BC=CA=, 由直角三角形的边角关系算得: PD= /2, BO=CO=/3, PO=2/3, 在 rtOOB中, 用勾股定理
3、得(POR)2+ BO2=OB2, 从而得到关于R的方程:(2/3R)2+(/3)2= R2, 解得R=/2, 得球表面积 S = 3. 答案(A).图11.稳中求变，难点增加，难度提高年试题的题型结构,考题分量与近年历届试题持平，各分科所占比例大致合理。 对一些常用的公式给予适当的提示。然而，在数学学习中, 一定的记忆仍然需要。 提高起点，尾巴不翘. 年试题打破了过去由易到难的考题分布格局，填空题、选择题的难点分布明显增多，给考生形成一定的心理挑战。解答题的难度并非依题次而增高，几乎每题都设置了难点，作为解答题开始的(17)题，不同于往年设置较简单的代数题，而是有一定深度的立体几何问题，给考
4、生造成一定的心理威胁。 选择题的难点增多。（7）（12）等六题，都需要认真思考才能正确解答.例2第（9）题. 已知圆锥底面半径为R, 高为3R, 在它的所有内接圆柱中, 全面积的最大值是(A)2R2 (B) R2 (C) R2 (D) R2分析：如图2, 设R,r分别为圆锥及其内接圆柱的半径, 内接圆柱的高为r，则圆锥的高为R, 利用平行线截比例线段定理,得，先求得圆锥的内接圆柱的全面积与圆柱半径r的函数关系式S= 2(3Rr-2r2), 当r=R时, Smax= R2,从而答案为（B）.该题把圆锥与及其内接圆柱的关系, 圆柱的性质和全面积计算,平行线截比例线段定理, 二次函数的极值等知识结合
5、在一起, 具有相当的综合性。图2 难点分布广泛, 只需简单思考即可求解的问题明显减少. 选择题、填空题中的难度明显加大。学生完成这两部分的问题需要一个小时以上, 影响了做解答题的时间。1.3 动态情景，实验尝试，探求规律高中课标指出，要用数学“描述客观世界的变化规律”，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，年试题广泛出现运动变化的情境，要求学生解决相关的问题。如：例3第（1）题在同一直角坐标系中，表示直线：y=ax与：y=xa正确的是图 （A）（B）（C）（D）分析：由已知的直线方程可知，当a变化时，的斜率和的截距也分别在变化，它们满足：的斜率和的截距相同；通过坐标原点；的斜率为。由图像
6、可知，只有（C）同时满足上述条件。不少试题设置了运动变化的环境,要求考生通过尝试,探索,猜想,寻求动态图形的某些规律性,体现了高中数学课程标准的理念.反映了高考对高中课标的有力支持. 图例4第（8）题.已知圆C: 已知圆(x-a)2+ (y-2)2= 4(a0), 及直线: x- y+3=0, 当直线被圆C截得的弦长为时,则 a= (A) (B) 2- (C) -1 (D) +1分析: 本题的几何形象是: 半径为2的动圆C, 其圆心在直线y=2上运动, 当直线被圆C截得的弦长为时, 要求确定圆心的位置.如图, 考察ABC,作AB边上的高CD,CA=CB=2, AD=DB=CD=1,已知圆心为C
7、(a,2), 故可以用点到直线距离公式解决,设圆心C（a,2）到直线的距离为d，则 d=，求得a= -1.例5 第（11）题。已知长方形的四个顶点A(0,0), B(2,0), C(2,1), D(0,1). 一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1 后, 依次反射到CD、DA和AB上的点P2 、P3 和P4(入射角等于反射角). 设P4的坐标为(x4,0), 若1 x42, 则tg 的取值范围是 (A) (1/3, 1) (B) (1/3, 2/3) (C) (2/5, 1/2) (D) (2/5, 2/3). 图5分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实
8、践, 并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求. 如图5，本题需要求质点运动的入射角的正切的范围。先作实验尝试,选定特殊值tg= 1/2, 则P0, P1, P2, P3分别为AB, BC, CD, DA的中点, P4与P 0重合, 此时x4=1；如果tg 略小于1/2, 则P4的横坐标为x41，如图的虚线所示. 可见tg 1/2符合题目所给的条件的选择中, 只有(C)满足条件：分析: 高中数学课程标准提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中数学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求. 如图5，本题需要求质点运动的
9、入射角。先作实验尝试,先选定特殊值tg= 1/2, 则P0, P1, P2, P3分别为AB, BC, CD, DA的中点, P4与P 0重合, 此时x4=1；如果tg 略小于1/2, 则P4的横坐标为x41，如图的虚线所示. 可见tg 1/2符合题目所给的条件中, 只有(C)满足条件1 x42, 故应该选择(C). 经过计算可以知道, 当tg =2/5时, x4=2, 可见 tg (2/5,1/2), 从而可知选择(C)是正确的.由上题可见, 0年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点。1.4理性思考，数形结合，突出分类03年试题考查了多种数学思想方法.分类讨
10、论思想和数形结合思想在试题中占有重要分量。 分类讨论思想：（18）题: 讨论所得的两根, 按题意去掉负根;（19）题: 讨论a的范围，讨论P真Q假, Q真P假等两种情况, 这是解决问题的主导思想;（21）题: 首先要根据条件正确得到轨迹方程=1, 完成这一步可得8分，如能正确讨论a2的取值对轨迹的影响,确定所求轨迹的存在性以及曲线的不同类型，可再得4分.(22) 题: 处理(-1)n-1的符号,需要分别讨论n 是奇数和偶数两种不同情况, 根据上述两种情况, 确定a0的范围.讨论部分占全题14分中的8分. 由上述诸题可见, 分类讨论思想在03年试题中占有重要地位. 能否对解决问题的情况进行正确的
11、分类, 反映了考生思考问题是否全面, 是否慎密, 这是一种重要的思维品质. 数学的似真推理类比是数学发现的重要源泉, 然而, 由类比而得到的数学结论有待进一步的实验验证, 要肯定所得的猜想是真命题, 还需要证明。然而，我们不能够因为类比的局限性就不敢进行猜想. 03年试题重视数学思维品质的培养, 鼓励学生进行合理的猜想. 图例6:第(15)题. 在平面几何里, 由勾股定理: “设ABC的两边AB、AC互相垂直, 则AB2+AC2= BC”, 拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, A
12、DB两两互相垂直,则_.” 分析：（如图）由于三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB两两互相垂直, 故直角面可以类比于直角三角形的直角边, 底面BCD被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边, 从而可以得到猜想: S2ABC+ S2ACD + S2ADB = S2BCD. 当然, 上述猜想需要经过演绎论证后予以确认, 但回答填空题不要求写出证明过程.（事实上，上式左边（AB2AC2+AC2AD2+AD2AB2）= AB2AC2+( AC2+ AB2) AD2= ( AB2AC2+BC2 AD2)= (BC2AE2+ BC2 AD2) = BC2(AE2+ AD
13、2) = BC2DE2= S2BCD= 右边，猜想成立） 数形结合思想历年高考都十分重视考查学生对数形结合思想的运用, 03年试题对运用这种方法的考查也很突出。如（1），（2），（3），（5），（6），（8），（11），（12），（15），（16），（17），（18），（19），（20），（21）等题都可以借助数形结合思想方法寻找解题思路。共占分值108分, 可见这种思想方法是解决数学问题的重要方法.在数学教学中必须重视这种思想方法的运用 归纳与演绎思想数学归纳法既含有归纳思想，也运用了演绎推理。03年试题重视对运用归纳与演绎思想检查，如；（17）题,（22）题基本使用演绎推理的方法.（22）
14、题先由n=1,2时得到a 的范围, 0a0,再对任意的n N,证明a0 1/3, 这个过程既用到归纳推理,也用到演绎推理.1.4网上评卷,电子监控，准确高效年广东高考全面实行网上评卷，有利于宏观调控评卷过程, 及时发现问题, 及时解决; 成绩统计与质量评估方便准确; 实现小组长、题组长、科组长、评卷领导组四级电子监控; 杜绝了漏改, 漏登分, 登错分等现象, 提高了评卷质量.2答卷的成绩总计表1 03年高考数学成绩概况题次13-16 17 18 19 20 21 22总计 满分 16 12 12 12 12 12 1490平均分4.846.224.63 4.79 1.490.37 1.1223
15、.46得分率(%)30.2551.8338.5839.911.240.030.0826.06由上表可见,考生的成绩很不理想, 究其原因, 既有数学的教与学中的问题,也与考题的难度偏高, 考题分布不尽合理有关. 3. 考生答题情况分析考生在答卷中主要出现几类错误：3.1 审题错误 遗漏信息，如（16）题，无视题目中用数字作答的要求； 误解题意，如（16）题，未考虑也可以使用三种颜色；3.2思路错误判断有误，缺乏根据，如第17题，把D1E 看成点D1到平面BDE的距离以偏概全，忘记分类，（18），（19），（21），（22）题，分类不周，或者没有分类 策略不当，忽视特值。如（11）,忽视1/2的作
16、用；3.3计算错误误记公式,计算失效，例如（20）算错cos( -450)；方法冗繁，不善简化，如（21），不善于利用对称性化简，不善于利用利用整体代入化简；3.4 表述错误： 说理不清，因果倒置； 符号混用，混淆视听，例如（21），把边长a 中的a，与椭圆标准方程的长半轴a混为一谈 自定符号，不作交代：如（17），未讲清如何作辅助线，令人费解3.5 心理失误：例如，不敢实验，不敢猜想，填空题(13-16) 平均分共4.84分，得分集中在前两题, （15）,（16）题得分甚少. (13)题（题略）: 对于区间的开闭性未分清楚,把(2,4) 误写成(2,4);(14)题（题略）: 未掌握二项式展
17、开式的系数Tn+1的规律性;(15)题（题略）: 许多考生不敢于猜想, 要经过证明才放心;未能正确掌握类比的方法，因而猜想有误；例(16)题如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）图分析：对题意没有正确的理解; 误以为要使用全部四种颜色, 未想到三种颜色也可以符合涂色的要求. 绝大部分考生得不到正确的结果.审题不周，没有注意以数字作答，只写出组合算式注意到区域与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色如果涂四种颜色，则有涂法共2P4P3 =48种；如果涂三种颜色，则有涂
18、法共P4P3=24种；从而共有符合要求的涂色方法72种例:第(17)题. 已知 如图, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1, AA1=2, 点E为CC1的中点, F为BD1的中点. ()证明EF为BD1和CC1的公垂线;()求点D1到面BDE的距离.分析:在答卷中发现许多逻辑性错误,如: 只证明到EF垂直于BD1或CC1中的一条, 证不到EF垂直于另一条.下判断的根据不足.例如说EF面BDD1B1, DD1A2B2C2D2等,都没有列举足够的理由. 因果关系不清楚.例如, DD1BD, DD1CC1 EFCC1, 等等. 判断错误. 例如, 把D1E 看成点D1到平面BDE的距离.
19、 图8 ()因为E是CC1的中点，它关于两个侧面具有对称性，ED1=EB,又F是对角线D1B的中点，EFD1B;F是对角线D1B的中点，因而也是长方体的中心, FC1=FC,又点E为CC1的中点，EFCC1，从而EF为BD1和CC1的公垂线()本题可以使用四面体的顶点转换技巧予以解决在四面体D1BDE中，点D1到面BDE的距离不易直接求得，但是点E到面BDD1的距离恰为EF，而且四面体EBDD1的底面BDD1的面积也易求，从而可以间接求得点D1到面BDE的距离设点D1到面BDE的距离为h,则hSEDB =EFSD1DB=3VE-BDD1易求得EF，SEDB，SD1DB，h=.所以h 图例第(1
20、8)题：已知复数Z的辐角为600且z-1是z和z-2的等比中项，求z.分析：如图，考察复平面上O,Z,C,D四点，点Z表示复数z，O,C,D分别表示0,1,2,线段的长 ZO, ZC,ZD分别表示复数的模z，z-1，z-2，在ZOC中,利用余弦定理，得：z-1zz,在ZOD中,利用余弦定理，得：z-2z2z4,由条件得，z-1= zz-2,z-1z2z-22（zz）=z2(z2z4), 整理得z+2z-=0,解得z主要的问题有: 未充分利用 =600的条件，不熟习复数的几何意义; 未充分利用模的条件; 计算有明显的错误, 如z-2= r-2; 模的概念不清如z= r =2,等等.第(19) （
21、题略）： 主要的问题有: 未理解题意“P,Q中只有一个正确”它的正确含义是P真Q假,或Q真P假; 对于对数函数y= loga(x+1)的性质认识不清; 认为函数y= loga(x+1)在(0,)内单调递减时,应该有a1; 思路繁笨,未能直接利用对数函数的单调性, 而是从函数的单调性来考虑. 例10:第(20)题. 在某海滨城市附近海面有一台风. 据监测, 当前台风中心位于城市O(如图10)的东偏南 ( =arccos) 300km的海面P处, 并以20km/h 的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km, 并以10 km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台
22、风的侵袭? 分析: 本题展现了一种动态的问题情境.随着时间的变化, 台风中心Q的位置在变化, 台风的侵袭的范围在扩大, 这个圆形区域与城市O的距离越来越小. 类似的问题情境学生在初中就接触过,可以归结为解三角形的数学模型, 并利用余弦定理解决. 设经过t小时，台风中心到达的位置为Q，按题意得，在POQ中，PO300km, PQ=t20km, OPQ= -450, 根据余弦定理得，QO2= PO2+PQ2-2POPQcos( -450). 因为cos =, sin=, 从而cos( -450)4/5,代入 式并整理得QO290000+400t2-9600t,又以Q为中心的台风侵袭区域的半径为R,
23、 则R2=(60+10t)2, 当ROQ时，城市开始受到台风的侵袭从而化为解不等式t2-36t+2880, 解得12t24. 答：12小时后，城市受到台风侵袭考生不适应于题设的动态情境,出现诸多错误, 主要有: 思路不清,方向不明,就急于计算,从而产生错误;强加条件,认为OQPQ ; 不会利用cos =/10 求sin , 即不能把 =arccos(/10)翻译为cos =/10; 相当一部分考生未能把问题与解三角形联系起来； 两角和差三角函数不熟练，而考卷中的公式缺乏参考作用 图10例11: (21)题. 已知常数a0, 在矩形ABCD中, AB=4, BC=4a, O为AB的中点. 点E、
24、F、G分别在BC、CD、DA上移动, 且= =, P为GE与OF的交点(如图11). 问是否存在两个定点,使P到这两点的距离之和为定值？若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. 图11分析: 题中点E、F、G、P都在运动, 其中点P是由于点E、F、G的运动而生成, 通过设立定比比值为 , 求出动点E、F、G、P的坐标,消去参数, 就可以得到动点P的轨迹方程. 根据图11所建立的坐标系，矩形各顶点的坐标为A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 设= =，按题意， ，BE=BC，E(2,4a)，同理可得F(2-4,4a), G(-2,4a-4a). 设CD
25、,EG 分别交y轴于 Q,H，则Q（0,4a）,由对称性易知H(0,2a)则直线(利用对称性简化计算)EG的方程: y=a(2 -1)x+2a. OF的方程: y= x. 由 2 -1-2ax/y,代入整理得=1（2 -1作整体代换！）当a1/2时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当a 1/2时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆两焦点的距离之和为定值；设焦距为2c,当a1/2时，当a1/2时，则c2 =-,c=，点P到该椭圆两焦点（-,）, （,）的距离之和为;当a1/2时，则c2=a2-1/2,c=，点P到该椭圆两焦点（0,，）, （0, +，）的距离之和为2;考卷上发现的
26、主要的问题有: 比例式设置不当,坐标计算有误; 未知数设置过多,找不到它们的联系; 得到椭圆方程后,未能化为标准形式,从而看不出中心和焦点; 未能就a的取值的不同情况正确地进行讨论. 本题把动点轨迹问题,数学建模问题,分类讨论问题等几个难点结合在一起,使考生面临严峻的挑战. 该题的得分率是各题中最低的.说明应用题仍然是当前数学学习的薄弱环节.(22) 题（题略）：由于考生对数学归纳法有一定的认识,中等以上学生能够在第小题取得部分成绩,故本题的得分率比 (21)题略高。存在的主要的问题有: 时间不够,极少数人能正确完成; 用数学归纳法证明第小题时, 匆匆走过场, 关键步骤徒有形式，即从n到n1这一关键步骤实际上没有证明; 做第小题时, 大部分考生没有对（1）n-1 中n的奇偶性进行讨论. 试题和答卷的一些启示 03年高考试题和学生的答卷给当前中学数学教学提供了不少启示。我们希望，在今后数学教学中应该注意： 认真学习高中数学课标的新理念，新内容，重视能力、素质与观念的健康发展； 重视开展开放性, 探索性的数学学习活动，重视实验、探索、猜想，培养理性的精神； 抓好基础知识和基本技能的教学，双基是数学应用的基础，也是实验与探索的基础 必须予以落实； 把数学思想方法作为正式的学习内容，提高学生的数学表达能力。
