1、用数对确定位置张齐华课堂实录1“用数对确定位置”教学实录一、谈话引入师：看来，二年级掌握的方法，还真能帮助我们很快确定一个人的位置。不过，换个角度看看，除了第4组第3个以外，还可以怎么确定他的位置？生：第3排第4个。师：既然这样的方式已经能够确定位置了，那我们今天还来研究什么呢？生：我觉得是不是有比像“第3排第4个，第4组第3个“更简洁的方法，也可以用来确定位置。师：是呀，真和数学们想一块儿去了！那你们觉得，会不会有比它更简洁的确定位置的方法呢？如果有，那又会是什么样的呢？下面的时间，我把这一任务留给四人小组，看看能不能集中大家的智慧，创造出一种更简洁，同时也很准确的方法。别忘了，把研究出的方
2、法，记录在自己的作业本上。如能找到不同的方法，都可以记录下来！（学生以小组为单位展开研究，时间是5分钟。教师巡视，并将学生中出现的典型方法记录下来，然后板书如下：4排3个434.3竖4横3434-34，3）三、交流建构师：这些方法似乎都挺简洁，到底该选哪一种呢？还是请大家来作评判吧。（生觉得前三种方法都不好。听了半天，老师听到的似乎都是批评的声音）师：难道，刚才被批评的方法，一点值得肯定的地方都没有吗？生：不对，它们好歹都比原来要简洁一些。师：这就是一种进步！不过，除了简洁，难道就没有别的什么共同的地方？生：哦，它们都有4和3这两个数。师：多善于观察！那剩下的几种方法呢？生：也都有这两个数。师
3、：既然每一个小组都不约而同地保留了这两个数，说明生：这两个数一定很重要。生：缺一不可！师：说得好！那这里的4和3究竟各表示什么意思呢？为了便于观察和思考，我们可以把这里的每个人都看做一个小圆圈。（出示下图）生：就里的4应该表示第4竖排。师：数学上，我们把竖着的排叫做列。从左往右起，这里第1列，这是（生答略）师：原来，4表示张老师的儿子在第4列。那3呢？生：3表示第3横排。生：3表示第3行。师：是的，数学上，横着的排就叫行。确定行，通常都是从前往后，从下往上。这是第1行，这是（生答略）师：现在，确定了第4列，又确定了第3行，能最终确定他的位置吗？（师利用课件，用两条直线表示相应的行和列，并相交于
4、一眯，以确定相应的位置。如下图）第5列师：试想，如果只给你第4列，行吗？只给第3行呢？（生答略）师：看来，行数和列数还真的缺一不可，少了谁，都无法确定他的位置。既然如此，我觉得剩下的几种方法似乎都不错呀。哪种更好呢？生：我觉得第4种肯定不行，既有数字又有汉字，看起来就不简洁。师：不过，老师很好奇：他们小组明知加上汉字不够简洁，为什么还非得要添上这两个字呢？生：我知道！不添上这两个字，那就不知道这里的和哪个是行，哪个是列了。生：如果这样，那我觉得第和第种也都不行。虽然它们都保留了和，并且也很简洁，但是，由于它没有说清楚哪个是行，哪个是列，所以很容易混淆。（该生的观点得到了全班多数同学的支持）所以
5、，我觉得还是第种方法比较好。竖着的箭头表示列，横着的箭头表示行。连在一起就是第列第行，而且也很简洁。师：同意这位同学观点的请举手。（绝大多数举手表示同意）这么多同学都同意啊？那你们不是成心要为难老师嘛！生：为什么？师：因为数学家们最终的方法，已经被你们给否定掉了！生：啊？师：猜猜看，他们最终采纳的可能是其中的哪种方法？生：不会是最后一种吧？师：真被你给猜中了。那现在，你们觉得这种方法怎么样？生：我还是觉得不行，你不说清楚哪个表示列，哪个表示行，别人还是要混淆的。师：这么说，连数学家们的观点你们也反驳？生：当然了，因为他们的观点是错的！师：那你们说该怎么办？数学家就这么定的，你们又不同意。别的方
6、法，你们又觉得不行。生：我觉得就可以用第种，既简洁又准确。生：用第种也行，但必须得加个规定。师：什么规定？生：得规定哪个数是行数，哪个数是列数，以后遇到这样的情况，都按照这样的规定。师：真是太棒了。你绝对和数学家们心有灵犀！告诉大家，其实数学家们选择第种方法时，也发现了它的漏洞。怎么办呢？后来一讨论，干脆一不做、二不休，给它来个规定：以后凡是像这样用行数和列数来确定一个点的位置的，我们通常都将列数写前面，行数写后面。现在，还会引起误会吗？生：不会了。师：按照这样的规定，哪个数写前面？生：4。师：后面呢？生：可以写上3。师：中间还得加上个逗号。后来，为了进一步作出区分，他们干脆又在列数和行数外面
7、加上了一个小括号。（边介绍边板书）像这样，用列数和行数所组成的一个数对来确定位置，就是我们今天要研究的内容。四、练习巩固（师出示图片）师：小邓和小白是张老师儿子最好的朋友，你能用数对表示他们的位置吗？（生答略）师：真不错。儿子还有一个要好的朋友叫小中，他的位置如果也用数对表示的话，应该是（5，3）。你知道他在哪儿吗？生：他在第5列第3行。师：你是怎么找到的？生：因为数对前一个数表示列数，后一个数表示行数。师：掌握得确实不错。瞧，今天，咱们的座位也排得整整齐齐的，如果让你用数对来表示你自己的位置，行吗？师：看来，自我介绍并不难。能用这样的方式介绍一下你最好的朋友吗？生：我最好的朋友，她的数对是（
8、4，2）。师：让我也来认识一下你的朋友，第列，第个。认识你很高兴。生：不对，弄错了，我说的是（，），不是（，）。师：（4，2），（2，4），不都是这两个数吗？怎么就不对了呢？生：前面的表示列数，后面的表示行 数，所以谁在前谁在后很重要。交换位置后，相应的点就不同了。师：看来，以后用数对确定位置时，这一点一定要弄清楚。师重新找到（4，2）处真正的朋友原来是你啊！下面，我想再提高要求，我直接报数对，请符合要求的同学迅速起立。看谁的反应最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。（相应的五名学生一一起立）师：奇怪，怎么就齐刷刷地站起来一队？生：因为你报的数对有规律。师：是吗，说来听听。
9、生：这五个数对列数都是3，说明他们都在第3列，当然就站起来一队了。师：说起来挺容易，如果也让你来出几个数队，你有本事也让一队同学站起来吗？谁来试试？生：（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。师：发现了什么？生：这次站起来的是一行。师：有变化了。能说说为什么吗？生：这次的五个数对虽然列数变了，但行数没变，所以站起来的自然就在同一行了。师：真不错！不对，张老师觉得这还不算什么。说五个数对，站起来一排。要是我说，我只给一个数对，就可以请一队同学站起来，你们信吗？生：不信！师：口说无凭，要不试试？【屏幕显示数对：（4，x）】符合要求的同学请站起来。（第4列同学陆陆续续站起来。教师面对第一
10、名学生）师：奇怪，我上面写（4，1）了没？生：没有。师：那你站起来干吗？还不坐下去。生：不对，（4，x）中的 x是一个未知数，既可以表示1，也可以表示2，3.4等，所以我们都站起来了。师：瞧老师厉害吧，一个数对，就让一排同学站起来。生：不厉害。我也会！师：是吗？谁来试试。生：（x,4）。生：老师，我还可以让全班同学都站起来。师：是吗？越来越厉害了。试试！生：（x,x）。师：来，符合要求的请起立（全班学生都站了起来）。嗯，让我来看看，当x等于1时，谁谁站起来？【数对为（1，1）的同学举手示意了一下】不错！当x等于2呢？【数对为（2，2）的学生也示意了一下，此时，有部分学生开始犹豫，也有学生重新坐
11、了下来】师：奇怪，有人开始坐下去了。采访一下，你为什么又不站了？生：一开始我觉得（x,x）应该包含所有人，但现在看来，我不算。师：不是说字母可以表示任何数吗？你怎么就不算了呢？生：字母是可以表示任何数，但我发现，当x等于1时，只有（1，1）可以站，同样，当x等于2、3、4时，只有（2，2）（3，3）（4，4）可以站，所以其他人都不能站。师：说得有没有道理啊？生：有！生：我还有补充。虽然字母可以表示任何数，但两个相同的字母只能表示两个相同的数，这样的话，就不是所有人都能站起来了。（此时，剩下的同学陆陆续续都坐了下去，只有符合要求的六名学生站着）生：我知道了，可以用（x,y）。师：这一次，符合要求
12、的请站起来。（所有学生都站了起来）其实，有错误并不重要，重要的是要从错误中吸取教训，并对问题获得更深入的认识。五、拓展延伸师：其实，除了教室里同学们的座位可以用数对来表示，平面图上的点有时也可以用数对来表示。（师出示下图）公园平面图水池师：瞧，把公园里的各个景点画在方格图上，也可以用数对表示它们的位置了。想不想试试？师：看来，用数对确定位置时，哪个数在前、哪个数在后还真的很重要。这儿还有一个超市，它用数对表示是（3，1）。你能在平面图形中找到它的位置吗？生：在第3列第1行。师：真好！不过，下面的问题恐怕就不容易解决了。（课件出示下图）观察一下平面图，怎么啦？-游乐场生：都出格了。师：说得好！已
13、经出格了，还能用数对表示它们的位置吗？生：我是估计的。我发现古塔大约在第7列第2行，所以古塔的数对应该是（7，2），报亭大约在第8列第4行，所以报亭的数对应该是（8，4）。师：有没有什么办法能确认一下这两个数对呢？生：很简单，只要把格子再往外画一些就行了。师：那游乐场呢？生：游乐场不行，因为它在下面，下面已经没数了。生：不对，游乐场也行，可以用负数。生：是的，游乐场可以用（2，-1）来表示。（不少同学连声附和）师：哈哈，连负数都用上了。能具体说说你的想法吗？生：因为它在第2列，可它比第一行还要下一行，应该算负一行，所以可以用（2，-1）来表示。师：可别小看这一小小的突破哦。有了负数的加盟，想一
14、想，如果再往下一些，或者干脆到了左边，我们还能用数对来表示这些点的位置吗？生：能！师：现在看来，只要确定了方格图，平面上的任何一个点，咱都可以用数对来确定它的位置。不过，这些都不算什么，想不想挑战更难的？瞧，这儿有一个三角形ABC。（出示下图）你能用数对表示出三角形三个顶点的位置吗？B生：不能！师：为什么？生：因为没有方格图。师：如果给了你方格图呢？生：那就能用数对来表示了。师：确定？生：确定！师：那行，谁来试试？（师接着出示下图）B生：啊？不对，还是不能确定。师：奇怪，不是说给了方格图就可以确定三个顶点的位置了吗？生：可是，你还没有标上行数和列数啊！没有行数和列数，怎么确定位置呀？师：看来，
15、光有方格图还不行，重要的是，我们还要确定行数和列数。（出示下图）现在，能用数对表示三个顶点的位置吗？B生：能！师：谁来具体说说？生：A是（1，1），B是（5，1），C是（4，4）。师：没听清楚，A是多少？生：A是（1，1）。（就在学生齐答的时候，师将画面悄悄替换成下图）B师：是（1，1）吗？我看好像不对哦。（生先是一愣，随后大呼大当）生：老师，你动了手脚，刚才明明是（1，1，）。生：你的方格图换了！师：换了吗？生：换了！肯定换了！师：呵呵，看来，群众的眼睛是雪亮的啊！老师这里的方格图的确是换了。那现在的三个顶点，你还能说出它们的数对吗？生：能！A是（2，2），B是（6，2），C是（5，5）。师
16、：不过，老师这儿有问题了。（出示下图）两幅图中，A、B、C三个点的位置有没有变化？（2，2）生：没有。师：对呀！点的位置都没有发生变化，可为什么同样是A点，相应的数对却发生变化了呢?生：因为方格图发生了变化。师：由此，你有什么新发现？生：哪性是同一个点，在不同的方格图上，也可能用不同的数对来表示。师：说得真好！不过，不管在哪张方格图上，什么东西一定不能缺？生：行数和列数。师：真的应当能少吗？生：真的！师：下面，我就不给你行数和列数。但我相信，只要善于思考，你也一定能根据前面的规则找出相应的数对。（师出示下图，生思考）（3，4）生：我觉得B点的数对应该是（7，4）。师：奇怪，不是没行数和列数了吗
17、？你又是怎么判断的？生：A点的数对是（3，4），说明A在第3列，照这样数下去，B就在第7列。而B点和A点在同一行，所以行数应该相同，都是4，所以B点的数对是（7，4）。师：真了不起，借助点与点之间的位置关系，再根据数对进行推理，同样可以找到B点的数对。用类似的方法，你能找到C点的数对吗？生：能！是（6，7）。既然A点在第3列、第4行，照这样数一数，我们便发现，C点在第6列、第7列，所以可以用数对（6，7）来表示。师：现在看来，没有行数和列数，我们能找出相应的数对吗？生：能！生：其实，这道题中的行数和列数还是告诉了我们。只不过没有直接告诉我们而已。因为，根据A点的数对，我们便可以判断行数和列数了
18、。所以我觉得，要找到相应的数对，还是需要行数和列数的。师：果然厉害！一下子就发现了问题的关键。六、小结提升师：今天这节课，我们一起研究了用数对确定位置。通过今天的学习，你觉得确定一个点的位置，需要几个数？生：需要丙从个数。师：一个数行吗？生：不行。师：为什么？比如，只给列数，行吗？生：不行，因为一列中有好多个点，不知道是哪一个点。师：只给行数呢？生：也不行，因为一行中也有好多个点。师：总之一句话，要确定一个点的位置，至少需要几个数？生：两个数。师：一个数真的不行吗？生：不行！师：那好，我们来看下面这幅图。（出示图片）瞧，他们正在排队买票呢。小明排在第2个，谁是小明？生：戴帽子的那个男孩儿。师：
19、奇怪，我只给了你一个数，你们不也一下子就确定了小明的位置吗？继续来看。（出示不完整的数轴）4个这点在哪儿？生：在3的后面。师：瞧，不也一个数就确定了点的位置了吗？生：老师，这不一样。师：哪儿不一样啦？生：这两幅图里只有一行，所以要确定点的位置，只需要一个数就行了。而今天学的不光是一行或一列了，而是有几行几列，我们先要确定它在第几列，然后再确定它在第几行，所以需要用两个数。师：说得真好！那么，既然确定位置，有时需要一个数，有时需要两个数，那么生：有时还需要三个数。师：多有气魄的联想！不过，用数对来确定位置时，究竟有没有什么时候才会需要用到三个数呢？这些问题，就留给大家在未来的数学学习过程中慢慢去
20、探索和研究吧！、张齐华.“用数对确定位置”教学实录J.小学教学，2010,(06):17-21.确定数学教学的“位置”一、确定内容本身所处的位置“确定位置”其内的结构及脉络线索：由具体情境中用较朴素的方式确定点的位置，逐步发展为用抽象的数对确定位置，进而再拓展到平面直角坐标系或极坐标系等，甚至还可以由二维进一步向三维或多维发展，并在这一过程中逐步衍生出坐标思想。然而，不少教师在教学这一内容时，往往在如何用“显微镜”对内容本身作微观解读方面做得更好，而在如何用“望远镜”对该教学内容的宏观定位作出把握上，显得关注不够。教学过程中就“数对”教“数对”的现象较为普遍，而“用数对确定位置”这一内容原本所
21、附着的更为丰富、饱满的教学价值，往往也因为这种不必要的忽视而无形中被普遍弱化。比如，二年级“用第几排第几个等方式确定位置”无疑是五年级“用数对确定位置”的雏形与基础，但两者的关系该如何去把握？知识及方法间的前后承接又该如何实现？这本身便是教学前需要考虑的问题。进而，如果愿意把线索再往前追溯一下，那么，一年级时学生所认识的“几和第几”无疑是“确定位置”知识序列更早的起点。由一年级时在某一行（或列）中借助“第几”来“确定”某个人或事物的位置，到二年级时用两个“第几”来确定相应的位置，看似简单的数量增加（“第几”的个数由原来的1增加到了2），而其内在的实质却是：给定的空间由最初的一维到二维，确定相应
22、空间中点的位置所需参数也自然应由最初的1个增加到2个。本节课教学之所以选择从学生二年级时已经掌握的“用第几排第几个等方式确定位置”的情境引入，继而引导学生尝试着探索、建构“更简洁准确”的确定位置的方式，由此引出“数对”，进而在课的最后引导学生对“为什么用数对确定位置需要两个数”“用一个数行吗”“为什么有的时候用一个数也行”“会不会存在需要用三个数来确定位置的情况”等问题作出思辨，从而在学生刚刚获得认知平衡的基础上，通过对比材料的引入，帮助学生在深入思考中再次打破平衡，并在“不平衡平衡不平衡”的螺旋上升过程中，促进学生获得对“用数对确定位置”这一问题的更深刻的理解和更准确的把握。张齐华.确定数学教学的“位置”J.小学教学，2010,(06):22-23.
