1、高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积基丛点练理2019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积基丛点练理【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积3,6,10,11空间几何体的体积1,2,4,8,10,12,13,14与球有关的面积、体积问题5,9折叠与展开问题71.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为(B)(A)4 (B)8 (C)16 (D)20解析:由三视图知,此几何体是一个三棱锥,底面为一边长为6,高为2的三角形,三棱锥的高为4,所以体积为V=624=8.故选B.2.(xx黄冈中学月考)
2、某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为(C)(A)48 (B)56 (C)64 (D)72解析:该组合体由两个棱柱组成,上面的棱柱体积为245=40,下面的棱柱体积为461=24,故组合体的体积为64.故选C.3.(xx高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(A)(A)2 (B) (C)2 (D)1解析:所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S=211=2,故选A.4.(xx青岛模拟)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(D)(A)2 (B) (C) (D)3解析: 依题意,由三视图还原
3、出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且其底面积为2(1+2)=3,高为x,所以其体积V=3x=3,所以x=3.5.(xx高考陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(D)(A) (B)4 (C)2 (D)解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1,所以V球=13=.故选D.6.(xx江西九江模拟)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(A)(A)6+4+2 (B)8+4(C)6+6 (D)6+2+4解析:直观图是四棱锥PABCD,如图所示,SPAB=SPAD=SPDC=22=
4、2,SPBC=22sin 60=2,S四边形ABCD=22=4,故此棱锥的表面积为6+4+2.7.有一根长为3 cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图),由题意知BC=3 cm,AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=5(cm),故铁丝的最短长度为5 cm.答案:58.(xx高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图知该几何体由两个相
5、同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2121+122= m3.答案:9.(xx云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为 .解析:设等边三角形的边长为2a,则V圆锥=a2a=a3;又R2=a2+(a-R)2,所以R=a,故V球=（a）3=a3,则其体积比为.答案:10.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.解:(1)直观图如图所示.(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱
6、柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,AA1=BE=1,在RtBEB1中,BE=1,EB1=1,所以BB1=,所以几何体的表面积S=S正方形ABCD+2+=1+21+2(1+2)1+1+1=(7+)(m2).所以几何体的体积V=121=(m3),所以该几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3.能力提升练(时间:15分钟)11.(xx高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(D)(A)3 (B)4 (C)2+4 (D)3+4解析:由题中三视图知该几何体是底面半径为1,
7、高为2的半个圆柱,故其表面积S=212+12+22=3+4.故选D.12.(xx云南师范大学附属中学高三适应性月考)已知三棱锥OABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上,O是球心,AOB=120,当AOC与BOC的面积之和最大时,三棱锥OABC的体积为(B)(A) (B) (C) (D)解析:设球O的半径为R,因为SAOC+SBOC=R2(sinAOC+sinBOC),所以当AOC=BOC=90时,SAOC+SBOC 取得最大值,此时OAOC,OBOC,OBOA=O,所以OC平面AOB,所以=OCOAOBsin AOB=R3sinAOB=,故选B.13.(xx河北质量监测)多面体的三视图如图
8、所示,则该多面体的体积为 cm3.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图所示,在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰三角形,设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD平面ABC,且AD=4,所以三棱锥DABC的体积V=SABCAD=444=.答案:14.(xx杭州模拟)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.解:如图所示,在三棱台ABCABC中,O,O分别为上、下底面的中心,D,D分别是BC,BC的中点,则DD是等腰梯形BCCB的高,又AB=20 cm,AB=30 cm,
9、所以S侧=3(20+30)DD=75DD.S上+S下=(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=325,所以DD= cm,又因为OD=20=(cm),OD=30=5(cm),所以棱台的高h=OO=4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=(325+2030)=1 900(cm3).故棱台的体积为1 900 cm3.精彩5分钟1.(xx山西质量监测)某多面体的三视图如图所示,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(A)(A)2 (B)2 (C)2 (D)解题关键:由三视图还原几何体后把几何体补形为长方体后求解.解析:由三视图知,该几何体是棱长
10、为2的正方体截去两个角后得到的,几何体的直视图是多面体PABCDEF,如图所示.易知其最长棱为正方体的 一条面对角线,其长为2.故选A.2.(xx山西质量监测)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7,则三棱柱ABCA1B1C1的体积为.解题关键:确定出球心的位置在上、下底面中心的连线线段的中点.解析:如图,设球的半径为R,棱柱棱长为a,N,M分别是上、下底面的中心,由题意知,外接球球心O为MN的中点,则OA=R.由4R2=7,得OA=R=.易得AM=a,OM=a,在RtOAM中,由勾股定理,解得a=,所以该三棱柱的体积
11、为()2=.答案:2019-2020年高三数学一轮复习第八篇立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积与体积课时训练理 【选题明细表】知识点、方法题号空间几何体的侧面积与表面积3,6,10,11空间几何体的体积1,2,4,8,10,12,13,14与球有关的面积、体积问题5,9折叠与展开问题7基础对点练(时间:30分钟)1.如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为(C)(A)18 (B)12 (C)9 (D)6解析:该几何体为一个斜棱柱(可看作平行六面体),其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边长为3的正方形,高为,故V=33=9.
12、故选C. 2.(xx黄冈中学月考)某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为(C)(A)48 (B)56 (C)64 (D)72解析:该组合体由两个棱柱组成,上面的棱柱体积为245=40,下面的棱柱体积为461=24,故组合体的体积为64.故选C.3.(xx高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(A)(A)2 (B) (C)2 (D)1解析:所得圆柱体的底面半径为1,母线长为1,所以其侧面积S=211=2,故选A.4.(xx青岛质检)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(D)(A)2 (B) (C) (
13、D)3解析:依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且其底面积为2(1+2)=3,高为x, 所以其体积V=3x=3,所以x=3.5.(xx高考陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(D)(A) (B)4 (C)2 (D)解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r=1,所以V球=13=.故选D.6.(xx江西九江质检)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(A) (A)6+4+2 (B)8+4(C)6+6 (D)6+2+4解析:直观图是四棱锥PABCD,如图所示,
14、 SPAB=SPAD=SPDC=22=2,SPBC=22sin 60=2,S四边形ABCD=22=4,故此棱锥的表面积为6+4+2.7.有一根长为3 cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为cm.解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形ABCD(如图), 由题意知BC=3 cm,AB=4 cm,点A与点C分别是铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.AC=5(cm),故铁丝的最短长度为5 cm.答案:58.(xx高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积
15、为m3.解析:由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2121+122= m3.答案:9.(xx云南一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为.解析:设等边三角形的边长为2a,则V圆锥=a2a=a3;又R2=a2+(a-R)2,所以R=a,故V球=(a)3=a3,则其体积比为.答案:10.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.解:(1)直观图如图所示.(2)由三
16、视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以A1A,A1D1,A1B1为棱的长方体的体积的,在直角梯形AA1B1B中,作BEA1B1于E,则四边形AA1EB是正方形,AA1=BE=1,在RtBEB1中,BE=1,EB1=1,所以BB1=,所以几何体的表面积S=S正方形ABCD+2+=1+21+2(1+2)1+1+1=(7+)(m2).所以几何体的体积V=121=(m3),所以该几何体的表面积为(7+)m2,体积为 m3.能力提升练(时间:15分钟)11.(xx高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(D)(A)3 (B)4 (C)2+4 (D)3+4解析:
17、由题中三视图知该几何体是底面半径为1,高为2的半个圆柱,故其表面积S=212+12+22=3+4.故选D.12.(xx高考湖南卷)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=) (A)(A) (B)(C) (D)解析:原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形的边长为a,长方体的高为h,则0a,0h2.于是=,h=2-a.令f(a)=V长方体=a2h=2a2-a3,所以f(a)=4a-3a2,当f(a)=0
18、时,a=.易知f(a)max=f()=.所以材料利用率=.故选A.13.(xx河北质量监测)多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为 cm3.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,如图所示, 在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰三角形,设底边AB的中点为E,则底边AB及底边上的高CE均为4,侧棱AD平面ABC,且AD=4,所以三棱锥DABC的体积V=SABCAD=444=.答案:14.(xx杭州模拟)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.解:如图所示,在三棱台ABCABC中, O,O分别为上
19、、下底面的中心, D,D分别是BC,BC的中点,则DD是等腰梯形BCCB的高,又AB=20 cm,AB=30 cm,所以S侧=3(20+30)DD=75DD.S上+S下=(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD=325,所以DD= cm,又因为OD=20=(cm),OD=30=5(cm),所以棱台的高h=OO=4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=(325+2030)=1 900(cm3).故棱台的体积为1 900 cm3.精彩5分钟1.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,
20、则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.解题关键:数形结合列式求解.解析:如图,设球的半径为R,圆锥底面半径为r, 因为圆锥底面面积是这个球面面积的,得=,所以=,则体积较小圆锥的高为,体积较大圆锥的高为,所以比值为.答案:132.(xx山西质量监测)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7,则三棱柱ABCA1B1C1的体积为.解题关键:确定出球心的位置在上、下底面中心的连线线段的中点.解析:如图,设球的半径为R,棱柱棱长为a,N,M分别是上、下底面的中心, 由题意知,外接球球心O为MN的中点,则OA=R.由4R2=7,得OA=R=.易得AM=a,OM=a,在RtOAM中,由勾股定理,解得a=,所以该三棱柱的体积为()2=.答案:
