1、浙江高考数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积第二节空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小题体验1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A20 B24C28D32解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l
2、，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.2(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h3，所以该几何体的体积VSh33.答案：33若球O的表面积为4，则该球的体积为_解析：由题可得，设该球的半径为r，则其表面积为S4r24，解得r1.所以其体积为Vr3.答案：1求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失
3、误3易混侧面积与表面积的概念小题纠偏1(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23112若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S34222242246(26)227216.答案：7216题组练透1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82B112C142D15解析：选B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为4，侧面积为2(4)82，两底面的面积和为21(12)3，
4、所以该几何体的表面积为823112.2(2018浙江新高考联盟高三期初联考)如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A346 B4412C346 D326解析：选A由三视图知几何体底面是一个长为6，宽为2的矩形，高为4的四棱锥，所以该几何体的表面积为626422562346，故选A.3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为()A642 B84C66 D624解析：选A由三视图可知该棱锥为如图所示的四棱锥PABCD，SPABSPADSPDC222，SPBC22sin 602，S四边形ABCD224，故该棱锥的表面积为642.谨记通法几何体的表面积的
5、求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理典例引领1(2018金华高三期末考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C. D.解析：选D由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示底面ABCD的面积为224，高PO，故该几何体的体积V4.2(2018宁波十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_，表面积等于_解析：如图
6、，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为2236，表面积为22243231012.答案：61210由题悟法有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用1(
7、2018杭州高级中学模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A1 B.C. D.解析：选C由题可得，该几何体是一个四棱锥，底面是上下底边分别为1和2，高为1的直角梯形，又四棱锥的高为1.所以该几何体的体积为V(12)11.2(2019台州高三适考)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_，几何体中最长棱的长是_解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥MA1B1N，如图所示，M是棱AB上靠近点A的一个三等分点，N是棱C1D1的中点，所以VMA1B1N222.又A1B12，A1NB1N，A1M，B1M，MN，所以该几何体中最长棱的长是.
8、答案：3.(2018温州高三一模)如图，一个简单几何体的三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积为_，表面积为_解析：如图，还原三视图为正四棱锥，易得正四棱锥的高为，底面积为1，体积V1；易得正四棱锥侧面的高为1，所以表面积S41113.答案：3锁定考向与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)球与柱体的切、接问题；(2)球与锥体的切、接问题题点全练角度一：球与柱体的切、接问题1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A. B.
9、C. D.解析：选C平面ACD1截球O的截面为ACD1的内切圆因为正方体的棱长为1，所以ACCD1AD1，所以内切圆的半径rtan 30，所以Sr2.2(2018金华一模)一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积为V2，则的值为_解析：如图，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，球O的体积V1r3，圆柱内除了球之外的几何体体积 V2r22rr3r3，2.答案：2角度二：球与锥体的切、接问题3(2018绍兴质检)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径
10、为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是()A6 B5C. D.解析：选D过点P作PH平面ABCD于点H.由题知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点设PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h.4(2018嘉兴一模)如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为()A. B8C9 D.解析：选D如图，该几何体为三棱锥ABCD，设三棱锥外接球的球心为O，O1，O2分别为BCD，ABD的外心，依题意得，OO1AB，O1DC
11、D，球的半径R ，该几何体外接球的表面积S4R2.通法在握解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：演练冲关1一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为()A20 B.C5 D.解析：选D由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1，其高h1，球半径为R，该球的体积VR33.2(2018镇海期中)一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体体积的最大值为_解析：由题可得，要使正方体可以在纸盒内任意转动，则只需该正方体在正四面体的内接球内即可因为正
12、四面体的棱长为6，所以其底面正三角形的高为3，正四面体的高为2，则该正四面体的内球的半径为，设该正方体的边长为a，要满足条件，则a，即a.所以正方体的最大体积为Va32.答案：2 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2018浙江名校联考)“某几何体的三视图完全相同”是“该几何体为球”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由题可得，球的三个视图都是圆，所以三视图完全相同；三视图完全相同的几何体除了球，还有正方体，所以是必要不充分条件2(2018长兴中学适应性测试)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A64 B72C80 D112解析：选C
13、由题可得，该几何体是一个棱长为4的正方体与一个底面是边长为4的正方形，高为3的四棱锥的组合体，所以其体积为V4342380.3(2019杭二月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A B2C2 D解析：选A由三视图知，该几何体的上半部分是一个三棱锥，下半部分是一个圆柱由题图中的数据知V圆柱121，三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，故其高即为三棱锥的高，故三棱锥的高为，由于三棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，因此两直角边长都是，则底面三角形的面积是1，故V三棱锥1，故该几何体的体积为.4(2018嘉兴模拟)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a_，该几
14、何体的表面积为_解析：由题可得，该几何体是一个水平放置的三棱柱，其底面是一个底边长为2、高为a的等腰三角形，高为3.因为其体积为3，所以V2a33a3，解得a.所以该几何体的表面积为S22233218.答案：2185(2018丽水模拟)若三棱锥PABC的最长的棱PA2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是_，表面积是_解析：如图，根据题意，可把该三棱锥补成长方体，则该三棱锥的外接球即该长方体的外接球，易得外接球的半径RPA1，所以该三棱锥的外接球的体积V13，表面积S4R24.答案：4 二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面
15、积为84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.2(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12C8 D10解析：选B设圆柱的轴截面的边长为x，则x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2()22212.故选B.3(2018温州十校联考)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是()A4 B.C8 D. 解析：选B由题可得，该几何体是一个底面为长方形的四棱锥，所以其
16、体积为V422.4(2018兰州实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为()A. B.C3 D3解析：选A由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为，故体积为3，故选A.5(2018宁波十校联考)如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A2 B.C2 D. 解析：选C由题可得，该几何体是水平放置的四棱锥，其底面是一个直角梯形所以其最长的棱的长度为2.6.(2018宁波一模)某空间几何体的
17、三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B.C.D.解析：选B由三视图得，该几何体是从四棱锥PABCD中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，则所求的体积V222122.7(2018衢州调研)已知某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是_；表面积是_解析：该几何体是一个三棱锥，其高为2，其底面是一个等腰直角三角形，腰长为，所以其体积为V()22，表面积为S2()2223.答案：38(2018杭州模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB3，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：依题意得，球心O在底面ABCD上
18、的射影是矩形ABCD的中心，因此棱锥OABCD的高等于，所以棱锥OABCD的体积等于32.答案：9(2019舟山六校联考)某四面体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，正视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积为_解析：由三视图可知，该四面体是四面体ABCD，如图，其中，BE底面ACD，ADDCBE2，则该四面体的体积为222.答案：10(2018武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_解析：如图，正四棱锥PABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，为底面边长为2，所以AC4.在RtAOO1中，R
19、2(4R)222，所以R，所以球的表面积S4R225.答案：25 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A. B.C. D.解析：选C由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为2(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为，故选C.2(2018温州一模)三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为()A4 B2C4 D2解析：选A三棱锥的直观图如图，设H为三棱锥PABC外接球的球心，O
20、1为PAC外接圆的圆心，O2为ABC外接圆的圆心，取AC的中点O，连接PO，HO1，O2H，HB，结合三视图易知OO1PO，O2BAB.平面PAC平面ABC，HO2平面ABC，HO2平面PAC，HO2平面PAC，PO平面ABC，OO1HO2，连接OO2，易知OO2HO1，四边形HO1OO2为平行四边形，HO2OO1.在RtHO2B中，HB，即三棱锥PABC外接球的半径为，故所求体积为()34.3已知A，B，C是球O的球面上三点，且ABAC3，BC3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D ABC体积的最大值解：如图，在ABC中，ABAC3，BC3，由余弦定理可得cos A，sin A.设ABC外接圆O的半径为r，则2r，得r3.设球的半径为R，连接OO，BO，OB，则R2232，解得R2.由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D ABC的体积最大，SABC33，三棱锥D ABC体积的最大值为3.
