1、届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数23函数的奇偶性与周期性学doc2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2. 会运用甫数图象理解和研究函数的奇偶性.3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判 断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主， 常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函 数与方程思想、转化与化归思想的应用意识， 题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1. 奇函数、偶函数的概念图像关于厘点对称的函数叫作奇函数.图像关于洌对称的函数叫作偶函数.2. 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格
2、进行，一般步骤是(1) 考察定义域是否关于原点对称.(2) 考察表达式是否等于fd)或fg：若/( x) = f3 ,则为奇函数；若f(一劝=fd),则fx)为偶函数；若f(劝=(劝且代一x) = f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(方工_代方且f( ，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.3. 周期性(1) 周期函数：对于函数y= ,如果存在一个非零常数T,使得当丸取定义域内的任何值 时，都有fd+7)=fd),那么就称函数y=fx)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2) 最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最尘的正数，那么这个最小止 数就叫作fd)的最
3、小正周期.【知识拓展】1. 函数奇偶性常用结论仃)如果函数f(x)是偶函数，那么f=fx(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.（3）在公共定义域内有：奇土奇=奇，偶土偶=偶,奇X奇=偶,偶偶=他，奇偶=奇.2. 函数周期性常用结论对代力定义域内任一自变量的值%：若 Ax+a）=-Ax）,则 r=2a（30）. (2)若 fx+ a)r基础自测题组一思考辨析1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“ 丁 ”或“ X ”）（1） 偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.（X ）（2） 若函数y=fx+a）是偶函数，则函数y= f（x）关于
4、直线x=a对称.（V ）函数fd）在定义域上满足日）=f（0,则fd）是周期为2日（Q0）的周期函 数.（J ）（4） 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.（V ）（5） 若T是函数的一个周期，则/SWZ,刀工0）也是函数的周期.（V ）题组二教材改编2. 已知函数fd）是定义在R上的奇函数，且当 疋0时，（方=班1 +方，贝IJ /（-!） =答案一2(-若+2 = 1答案解析= _4X解析 f（l）= 1X2 = 2,又fd）为奇幣数,4. 设奇函数fd）的定义域为 5,5,若当”丘0,5时，代力的图像如图所示，则不等式 fx） 0的解集为 答案(-2, 0)U(2, 5解析
5、 由图像可知，当0/0；当2xW5时，fx) 0,又f(x)是奇函数, 当一2x0.综上，/(%) 0 的解集为(2,0) U (2,5.题组三易错自纠5. 已知+ 是定义在白一1,2白上的偶函数，那么a+b的值是()1 1 1 1A，-3 B-3 C- _2 -2答案B解析 依题意得/( 0 ，方=0,又日一1 = 2日，.I 日 + 方=+， 故选 B.6. 偶函数y= f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3,则/( 1) = .答案3解析: fg为偶函数,f( l)=f(l).又/(%)的图像关于直线x=2对称，.f(l)= f(3). A /(-1)=3.题型分类深度剖析貝题典
6、题深度剖析董点难点多维探究题型一 判断函数的奇偶性-”“- “-“师生共研典例判断下列函数的奇偶性：(1) fx) =yj3 x + 寸,_3；|x-2|-2;即函数f(x)的定义域为羽，羽,fx) 3 x x3 0. = f(x)且 fx) =fx),函数fd)既是奇函数又是偶函数.(2) 由| 得定义域为(一1,0) U (0,1),关于原点对称.x 2 72z20,贝】J fx) = X)1 X= X X= fx);当无0时，一/VO,贝 1J f X) x) X=XX= fx);综上可知：对于定义域内的任意尢总有f(一力=一(力，函数代对为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个
7、必备条件：(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2) 判断与f( 0是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式门方+门一方=0(奇函数)或 f3 一 fi =0(偶函数)是否成立.跟踪训练(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()2A. y=x+sin 2x B. y= x cos xC. y=2+矛 D. y=x +sin x答案D解析对于 A, f(x) = %+sin 2( /)=d+sin 2方=f(x),为奇函数；对于 B, f(方=(02cos(方=,cos x= f(x),为偶函数；对于C,
8、f(方=2+右=2”+寺=心)，为偶函数；对于D, y=z+sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)函数 /*U)=lg|sin ”是()A. 最小正周期为n的奇函数B. 最小正周期为2 ii的奇函数C. 最小正周期为Ji的偶函数D. 最小正周期为2兀的偶函数答案C解析 易知函数的定义域为xxk , WGZ,关于原点对称，又/( %) =lg|sin( %) | = lg|sin %|=lg|sin x=fx)所以f(x)是偶函数，又函数y= |sin x的最小正周期 为兀，所以函数A%)=lg|sin ”是最小正周期为Ji的偶函数.题型二 函数的周期性及其应用一自主演练1. 若函数
9、fCr)dUR)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为= 01,则爸+奔卜_.sin nx, 1/W2, (4丿(6丿口木16解析 由于函数代方是周期为4的奇函数，/=1, f(2)=2, A3)=A-3)=-l, f(4)=f(一2)=0, A5)=A-l)=-h A6)=A0)=0,f(l)+f(2)+ + f(6)=l, f(l)+f(2)+f(3)+ + f(2 015) +A2 016)又 f(2 017)=f=1, f(2 018)=f(2)=2,A Al) +f(2) +f(3) + + f(2 018) =339.思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周
10、期性的考查，主要涉 及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式典例(1)(2017 全国II)已知函数厂(方是定义在R上的奇函数，当0)时，fg= 2x+x,则f(2)= .答案12解析方法一令0,则一/0) A2)=2X2-22=12.方法二 /(2)=-A-2)=-2X (-2)3+ (一2)勺=12. (2) (2016 全国HI改编)已知 代方为偶函数，当xWO时，tx) =ev_1 %,则fx)=解析当/0时，一/VO,e 虑0,ex + x, x0.9.f(x)=f( x)=ex l + x,命题点2求参数问题典例（1）设函数广3皆
11、2）（兀+斤）为奇函数，则&= .tan x答案2解析 J f （力为奇函数，f（一力=一 f（力，.（卄2）（卄斤） （卄2）（卄&） tan x tan（ x）/. （/+2） （/+） = （2力（&力，x + 2x+ kx+ 2k= 2kkx2x+ x ,：k=_2.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间一 1, 1 , /V）=劲+1, 1W*O,加+2 0V/V1 其中已圧出若彳|）=彳|），则日+30的值为 答案TO解析 因为fd）是定义在R上且周期为2的函数,尹2 1从rfii =日+ 9 尹1即3曰+2方=2.由 f （ 1） = f,得一a+1 = 2 即b=_2a
12、.由得已=2, =4,从而臼+3力=10.命题点3利用函数的性质解不等式0,贝】J()A. f(3)f(-2)f(l) B. A1XA-2XA3)c. /(-2XA1XA3) d. r(3)Ai)21,/. A3) /(2) 即 A3XA-2XA1),故选 A若为奇函数，且在(一-,0)上是减函数，又代一2)=0,则x- /UX0的解集为QO, /Wo.答案（一8, 2）U（2, +oo）x0,解析 rh x tx）oV f(x)为奇函数，在(, 0)上是减函数，f( 2)=0,/.X- /UXO 的解集为(一8, -2) U (2, 4-00).思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合
13、性问题，关键是将未知区间上的问题转化 为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：1 f(方为偶函数今f(方=f(I刃)2 若奇函数在丸=0处有意义，则A0) =0.跟踪训练(1)已知fd)是定义在R上的奇函数，且在0, +8)上是增加的，若AlgXO, 则/的取值范围是()A. (0, 1) B. (1, 10)C. (1, 4-oo) D. (10, +8)答案A解析 由题意，函数fd)在R上是增函数，且/(0)=0,不等式Aig0=A0)等价于IgX0,故 0Xl,故选A.(2)己知定义在R上的奇函数fd)满足fd4)= fd),且在区间0,2上是增函数，则()A. A
14、-25XA11XA80)B. /(80)/(11)/(-25)C. /(11)/(80)/(-25)D. /(-25)/(80)/(11)答案D解析 因为tx)满足fx 4) = fx),所以A%-8)=ra),所以函数他0是以8为周期的周期函数，则代一25)=f(1), A80)=f(o), All) = A3).由f(方是定义在R上的奇函数且满足fCv4) = f(x), 得 f (11) = f(3) = H 1) = H1)因为fd)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数, 所以代刃在区间 2, 2上是增函数，所以 A-1XA0XA1).所以 A-25)/(80)f(曲,则白的
15、取值范围是 .解析(1)由fd2)=fd+2),可知函数代方的最小正周期7=4,又由于该函数是奇函(2)由已知函数x=a+2 018空在1, +s)上是增函数，且y0恒成立.X* y =1+$,令 / NO 得吕$ #(以$1),X8三1.又由当 x=l 时，y=l+2 018 日0,得 aA-a/2)=/(2),又由已知可得fU)在(0, +8)上是减少的，2“70时，f(x)=x+xlf 则AA-1)等于()A. -1 B. 1 C. 2 D. -2答案A解析 Ty=f(x)是奇函数，/*(1) = f(l) = 1,且当 圧(_|, 0)时,f(x).-./(/(-I) =f(l)= l
16、.4. 已知函数fd)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4,= log2(3x+l),则 f(2 021)等于( )A. 4 B. 2 C. -2 D. log27答案C解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，英最小正周期为4,代2 021) =(4X505+1)= A1) = -A-1). 0fx) =log2( 3%+l),/( 1) log2 3 X ( 1) +1 =2,f(2 021) =-/(-!) =-2.5-若心)Y”为奇函数，则心一1)宀的解集为()A. ( 8, 2) B. (8, 1)C. (2, +oo) D(1, +oo)答案A解析 因为f()=e-aex为奇函数,所
17、以f(0)=l日=0,即日=1,则fx) =ev-e_x在R上单调递增，且f(l)=e-.则由Ax-l)e-,得Ay-lXAl),即%-11,解得 e e2,所以不等式fd1) Ve丄的解集为(一8, 2).e6. 已知偶函数fd)对于任意圧R都有fd+l)= fd),且在区间0, 1上是增加的, 则代一6.5), A-l), f(0)的大小关系是()A. A0XA-6.5XA-1)B. A-6. 5)/(0)/(-1)C. f(-l)Vf(6. 5)/(0)D. A-l)f(0)f(-6. 5)答案A解析 由f(x+l)=-f(x)，得/U+2)= /U+l)=/U),函数/*(0的周期是2
18、.函数代方为偶函数，(一6 5) =f(-0 5) =f(0 5), A-l) =A1)V fx)在区间0, 1上是增加的, AO) 0时，/U) =yx+1,则当X0时，/(%)= 答案一Jr1解析 V fx)为奇函数，当Q0时，f(x) =yx+1,当*0时，一Q0,fx) = f x) = (/ %+1),即当 %0 时，f3 =(寸_才+1) = yj xl.9. 设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(力+f( *) =0；f(x) =fx+i)；当 0W/W1 时，Ax) =2 -1,则(|+f(l)+彳另+ f(2)+|)= .答案y2./|j+Al) += +%) +解
19、析 依题意知：函数代方为奇函数且周期为2,=2*1+2 1 + 2110. 若函数fd)是定义在R上的偶函数，且在区间0, +8)上是增函数.如果实数r满足Hln+(ln ,那么才的取值范围是 答案 e解析 由于函数广匕)是定义在R上的偶函数，所以 f(ln t) = /ln,由Hln “+心器2产(1),得 Hln t)Wf(l).又函数fd)在区间0, +0,11. 己知函数fd)= 1,结合广(方的图像知一2W1,所以13,故实数臼的取值范围是(1,3.12. 设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2,且f(l+x)=f(l 方，当一1W/W0 时，fx) = x.(1) 判断的
20、奇偶性；(2) 试求出函数fd)在区间一 1, 2上的表达式.解 (1) Tf(l + x) =f(l /), /./( %) =f(2+x).又 f(x+2) = f(x), f( x) = fx)又O)的定义域为R,代方是偶函数.(2)当久0,1时，一/丘一1,0, 则 /(%) =/( %) =x； 从而当 1W/W2 时,lWx2W0, fx) =f(x2)= (才一2) =x+2.x, xE： 1, 0,故 fx) =o, fd+2) =019)等于 答案1所以 f(x+4) =f(x+2) +2 = /(、+，?) =”一=fx)，丽即函数代方的周期是4,所以 f(2 019) =
21、f(505X4l)=广(一1).因为函数fd)为偶函数，所以 /(2 019) =/(-!) =/(!).A-1+2)由 f(x) 0，得 Al)=b 所以 f(2 019) =/(!)=!.14. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的用R恒有/V+ l) = f(xl),已知当0,1时,代方=2,则有1 2是函数代0的周期；2 函数fd)在(1,2)是减函数，在(2, 3)上是增函数；3 函数f3的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是 答案解析 在 f(x+1) = f(x 1)中，令 Xl=t,则有因此2是函数f3的周期，故正确；当圧0,1时,f(x)=2”是增函数,根据函
