1、高中数学解题方法大全第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2 b2(
2、ab)2 2ab(ab)2 2ab；a2 abb2 (ab)2 ab(ab)2 3ab；a2 b2 c2 abbcca (ab)2 (bc) 2(ca) 2a 2b 2c 2(abc) 22(abbcca)(abc)2 2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。、再现性题组：1. 在正项等比数列a 中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a a _。2. 方程x y 4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k 或k13. 已知
3、sin cos 1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+) C. ( , D. ,3)5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a_。【简解】 1小题：利用等比数列性质a a a ，将已知等式左边后配方（a a ） 易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解r 0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出sincos，然后求出所求式的平方
4、值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3 。、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。长方体所求对角线长为： 5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三
5、个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程x kx2=0的两实根为p、q，若( ) +( ) 7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x kx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,( ) +( ) 7， 解得k 或k 。又 p、q为方程x kx2=0的两实根， k 80即k2 或k2 综合起来，k的取值范围是： k 或者 k 。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想
6、到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3. 设非零复数a、b满足a abb =0，求( ) ( ) 。【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。【解】由a abb =0变形得：( ) ( )10 ，设 ，则 10，可知为1的立方虚根，所以： ， 1。又由a abb =0变形得：(ab) ab ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 。【注】 本题通过配方，简化
7、了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a abb 0变形得：( ) ( )10 ，解出 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后，完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a abb 0解出：a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。、巩固性题组：1. 函数y(xa) (xb) （a、b为常数）的最小值为_。A. 8 B. C. D.最小值不存在2. 、是方程x 2axa60
8、的两实根，则(-1) +(-1) 的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知x、yR ，且满足x3y10，则函数t2 8 有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 4. 椭圆x 2ax3y a 60的一个焦点在直线xy40上，则a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65. 化简：2 的结果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设F 和F 为双曲线 y 1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F PF 90，则F PF 的面积是_。7. 若x1，则f(x)x 2x 的最小值为_。8. 已知
9、 ，cos(-) ，sin(+) ，求sin2的值。(92年高考题)9. 设二次函数f(x)Ax BxC，给定m、n（m0； 是否存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlog tlog s，ylog tlog sm(log tlog s), 将y表示为x的函数yf(x)，并求出f(x)的定义域； 若关于x的方程f(x)0有且仅有一个实根，求m的取值范围。二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，
10、从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设2 t（t0），而变为熟悉的一元二次不
11、等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y 的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x y r （r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设x t，y t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和
12、0, 。、再现性题组：1.ysinx?cosxsinx+cosx的最大值是_。2.设f(x 1)log (4x ) （a1），则f(x)的值域是_。3.已知数列a 中，a 1，a ?a a a ，则数列通项a _。4.设实数x、y满足x 2xy10，则xy的取值范围是_。5.方程 3的解是_。6.不等式log (2 1) ?log (2 2)2的解集是_。【简解】1小题：设sinx+cosxt , ，则y t ，对称轴t1，当t ，y ；2小题：设x 1t (t1)，则f(t)log -(t-1) 4，所以值域为(,log 4；3小题：已知变形为 1,设b ，则b 1,b 1(n1)(-1)n
13、，所以a ；4小题：设xyk，则x 2kx10, 4k 40,所以k1或k1；5小题：设3 y，则3y 2y10,解得y ，所以x1；6小题：设log (2 1)y，则y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx?cosx2a 的最大值和最小值。【解】 设sinxcosxt，则t- , ，由(sinxcosx) 12sinx?cosx得：sinx?cosx f(x)g(t) (t2a) （a0），t- , t- 时，取最小值：2a 2 a 当2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；当00恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log 、 log 、lo
14、g 三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设log t，则log log 3log 3log 3t，log 2log 2t，代入后原不等式简化为（3t）x 2tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以： ，解得 t0即log 00 1，解得0a0恒成立，求k的范围。【分析】由已知条件 1，可以发现它与a b 1有相似之处，于是实施三角换元。【解】由 1，设 cos， sin，即： 代入不等式xyk0得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化
15、为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k0)，则f(4)的值为_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函数y(x1) 2的单调增区间是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列a 的公差d ，且S 145，则a a a a 的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x 4y 4x，则xy的范围是_。5. 已知a0，b0，ab1，则 的范围是_。6. 不等式
16、ax 的解集是(4,b)，则a_，b_。7. 函数y2x 的值域是_。8. 在等比数列a 中，a a a 2，a a a 12，求a a a 。9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sin x2mcosx4m10,y0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正
17、确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方
18、面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。、再现性题组：1. 设f(x) m，f(x)的反函数f (x)nx5，那么m、n的值依次为_。A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，22. 二次不等式ax bx20的解集是( , )，则ab的值是_。A. 10 B.
19、 10 C. 14 D. 143. 在(1x )（1x） 的展开式中，x 的系数是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函数yabcos3x (b0)的最大值为 ，最小值为 ，则y4asin3bx的最小正周期是_。5. 与直线L：2x3y50平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_。6. 与双曲线x 1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是_。【简解】1小题：由f(x) m求出f (x)2x2m，比较系数易求，选C；2小题：由不等式解集( , )，可知 、 是方程ax bx20的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得ab，选D；3小题：分析x 的系数由C 与(1)C 两项组成，相加后得x 的系数，选D；4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案 ；5小题：设直线L方程2x3yc0，点A(1,-4)代入求得C10，即得2x3y100；6小题：设双曲线方程x ，点(2,2)代入求得3，即得方程 1。、示范性题组：例1. 已知函数y 的最大值为7，最小值为1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际
